Номер 77, страница 81 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

77. Найдите общий вид первообразных функции:

1) $f(x) = (6x + 10)^8;$

2) $f(x) = \cos 12x;$

3) $f(x) = \sin \frac{x}{14};$

4) $f(x) = \frac{3}{\cos^2 \frac{x}{16}}$ на промежутке $(-8\pi; 8\pi);$

5) $f(x) = \frac{8}{\sqrt{2x + 7}}$ на промежутке $(-3,5; +\infty);$

6) $f(x) = \frac{1}{(5x - 4)^2}$ на промежутке $(0,8; +\infty);$

7) $f(x) = 7^{8x} \ln 7;$

8) $f(x) = e^{\frac{x}{4}};$

9) $f(x) = e^{10x} - 6^x;$

10) $f(x) = 4^{-2x} \ln 4 + e^{-0,3x};$

11) $f(x) = 18e^{9x-4} - 12e^{6-3x}.$

1) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = (6x + 10)^8$ воспользуемся формулой интегрирования степенной функции сложного аргумента $\int (kx+b)^n dx = \frac{(kx+b)^{n+1}}{k(n+1)} + C$. В данном случае $k=6$, $b=10$ и $n=8$.
$F(x) = \int (6x+10)^8 dx = \frac{(6x+10)^{8+1}}{6 \cdot (8+1)} + C = \frac{(6x+10)^9}{6 \cdot 9} + C = \frac{(6x+10)^9}{54} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{(6x+10)^9}{54} + C$.

2) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = \cos(12x)$ воспользуемся формулой $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$. В данном случае $k=12$.
$F(x) = \int \cos(12x) dx = \frac{1}{12}\sin(12x) + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{12}\sin(12x) + C$.

3) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = \sin\frac{x}{14}$ воспользуемся формулой $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$. В данном случае $k = \frac{1}{14}$.
$F(x) = \int \sin(\frac{x}{14}) dx = -\frac{1}{1/14}\cos(\frac{x}{14}) + C = -14\cos(\frac{x}{14}) + C$.
Ответ: $F(x) = -14\cos(\frac{x}{14}) + C$.

4) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = \frac{3}{\cos^2\frac{x}{16}}$ воспользуемся формулой $\int \frac{1}{\cos^2(kx)} dx = \frac{1}{k}\tan(kx) + C$.
$F(x) = \int \frac{3}{\cos^2(\frac{x}{16})} dx = 3 \int \frac{dx}{\cos^2(\frac{x}{16})}$. В данном случае $k = \frac{1}{16}$.
$F(x) = 3 \cdot \frac{1}{1/16}\tan(\frac{x}{16}) + C = 3 \cdot 16 \tan(\frac{x}{16}) + C = 48\tan(\frac{x}{16}) + C$.
На заданном промежутке $(-8\pi; 8\pi)$ функция и ее первообразная непрерывны.
Ответ: $F(x) = 48\tan(\frac{x}{16}) + C$.

5) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = \frac{8}{\sqrt{2x+7}}$, представим ее в виде $f(x) = 8(2x+7)^{-1/2}$. Воспользуемся формулой $\int (kx+b)^n dx = \frac{(kx+b)^{n+1}}{k(n+1)} + C$. Здесь $k=2$, $b=7$ и $n = -1/2$.
$F(x) = \int 8(2x+7)^{-1/2} dx = 8 \cdot \frac{(2x+7)^{-1/2+1}}{2(-1/2+1)} + C = 8 \cdot \frac{(2x+7)^{1/2}}{2 \cdot 1/2} + C = 8\sqrt{2x+7} + C$.
Функция определена при $2x+7>0$, то есть $x > -3.5$, что соответствует заданному промежутку.
Ответ: $F(x) = 8\sqrt{2x+7} + C$.

6) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = \frac{1}{(5x-4)^2}$, представим ее в виде $f(x) = (5x-4)^{-2}$. Воспользуемся формулой $\int (kx+b)^n dx = \frac{(kx+b)^{n+1}}{k(n+1)} + C$. Здесь $k=5$, $b=-4$ и $n = -2$.
$F(x) = \int (5x-4)^{-2} dx = \frac{(5x-4)^{-2+1}}{5(-2+1)} + C = \frac{(5x-4)^{-1}}{5(-1)} + C = -\frac{1}{5(5x-4)} + C$.
Функция определена при $5x-4 \neq 0$, то есть $x \neq 0.8$, что соответствует заданному промежутку $(0.8; +\infty)$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{5(5x-4)} + C$.

7) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = 7^{8x} \ln 7$ воспользуемся формулой для интегрирования показательной функции $\int a^{kx} dx = \frac{a^{kx}}{k \ln a} + C$.
$F(x) = \int 7^{8x} \ln 7 dx = \ln 7 \int 7^{8x} dx = \ln 7 \cdot \frac{7^{8x}}{8 \ln 7} + C = \frac{7^{8x}}{8} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{7^{8x}}{8} + C$.

8) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = e^{\frac{x}{4}}$ воспользуемся формулой $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$. Здесь $k = \frac{1}{4}$.
$F(x) = \int e^{x/4} dx = \frac{1}{1/4}e^{x/4} + C = 4e^{x/4} + C$.
Ответ: $F(x) = 4e^{x/4} + C$.

9) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = e^{10x} - 6^x$ воспользуемся правилом, что первообразная разности функций равна разности первообразных.
$\int e^{10x} dx = \frac{1}{10}e^{10x}$.
$\int 6^x dx = \frac{6^x}{\ln 6}$.
$F(x) = \int (e^{10x} - 6^x) dx = \frac{1}{10}e^{10x} - \frac{6^x}{\ln 6} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{e^{10x}}{10} - \frac{6^x}{\ln 6} + C$.

10) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = 4^{-2x} \ln 4 + e^{-0.3x}$ воспользуемся правилом, что первообразная суммы функций равна сумме первообразных.
$\int 4^{-2x} \ln 4 dx = \ln 4 \int 4^{-2x} dx = \ln 4 \cdot \frac{4^{-2x}}{-2 \ln 4} + C_1 = -\frac{1}{2}4^{-2x} + C_1$.
$\int e^{-0.3x} dx = \frac{e^{-0.3x}}{-0.3} + C_2 = -\frac{10}{3}e^{-0.3x} + C_2$.
$F(x) = -\frac{1}{2}4^{-2x} - \frac{10}{3}e^{-0.3x} + C$, где $C = C_1 + C_2$.
Ответ: $F(x) = -\frac{4^{-2x}}{2} - \frac{10}{3}e^{-0.3x} + C$.

11) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = 18e^{9x-4} - 12e^{6-3x}$ воспользуемся правилом, что первообразная разности функций равна разности первообразных.
$\int 18e^{9x-4} dx = 18 \int e^{9x-4} dx = 18 \cdot \frac{e^{9x-4}}{9} + C_1 = 2e^{9x-4} + C_1$.
$\int 12e^{6-3x} dx = 12 \int e^{6-3x} dx = 12 \cdot \frac{e^{6-3x}}{-3} + C_2 = -4e^{6-3x} + C_2$.
$F(x) = (2e^{9x-4} + C_1) - (-4e^{6-3x} + C_2) = 2e^{9x-4} + 4e^{6-3x} + C$, где $C = C_1 - C_2$.
Ответ: $F(x) = 2e^{9x-4} + 4e^{6-3x} + C$.