Номер 70, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

70. При каких значениях $a$ функция $f(x) = 7^a x \ln 7 - 7^{4x-1} - 49x \ln 7$ убывает на множестве действительных чисел?

Для того чтобы функция $f(x)$ убывала на множестве действительных чисел, ее производная $f'(x)$ должна быть неположительной для всех $x \in \mathbb{R}$, то есть $f'(x) \le 0$.

Найдем производную функции $f(x) = 7^{ax}\ln 7 - 7^{4x} - 1 - 49x\ln 7$.

Используя правила дифференцирования, получаем:

$(7^{ax}\ln 7)' = \ln 7 \cdot (7^{ax})' = \ln 7 \cdot (7^{ax} \cdot \ln 7 \cdot a) = a(\ln 7)^2 7^{ax}$

$(7^{4x})' = 7^{4x} \cdot \ln 7 \cdot 4 = 4\ln 7 \cdot 7^{4x}$

$(1)' = 0$

$(49x\ln 7)' = 49\ln 7$

Таким образом, производная функции равна:

$f'(x) = a(\ln 7)^2 7^{ax} - 4\ln 7 \cdot 7^{4x} - 49\ln 7$

Теперь решим неравенство $f'(x) \le 0$:

$a(\ln 7)^2 7^{ax} - 4\ln 7 \cdot 7^{4x} - 49\ln 7 \le 0$

Поскольку $\ln 7 > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на $\ln 7$, не меняя знака:

$a\ln 7 \cdot 7^{ax} - 4 \cdot 7^{4x} - 49 \le 0$

Рассмотрим различные случаи для параметра $a$.

1. Случай $a \le 0$.

Если $a < 0$, то $a\ln 7 < 0$. Так как $7^{ax} > 0$ для любого $x$, первое слагаемое $a\ln 7 \cdot 7^{ax}$ всегда отрицательно.

Второе слагаемое $-4 \cdot 7^{4x}$ также всегда отрицательно, так как $7^{4x} > 0$.

Третье слагаемое $-49$ отрицательно.

Сумма трех отрицательных слагаемых всегда отрицательна, поэтому $f'(x) < 0$ для всех $x$, если $a < 0$.

Если $a=0$, неравенство принимает вид:

$0 \cdot \ln 7 \cdot 7^0 - 4 \cdot 7^{4x} - 49 \le 0$

$-4 \cdot 7^{4x} - 49 \le 0$

Это неравенство верно для всех $x$, так как $7^{4x} > 0$.

Следовательно, все значения $a \le 0$ являются решениями.

2. Случай $a > 0$.

Перепишем неравенство в виде:

$a\ln 7 \cdot 7^{ax} \le 4 \cdot 7^{4x} + 49$

Рассмотрим частный случай $a=2$. Неравенство принимает вид:

$2\ln 7 \cdot 7^{2x} \le 4 \cdot 7^{4x} + 49$

Сделаем замену $y = 7^{2x}$. Так как $x$ может быть любым действительным числом, $y$ принимает все положительные значения ($y > 0$).

$2(\ln 7) y \le 4y^2 + 49$

$4y^2 - 2(\ln 7) y + 49 \ge 0$

Это квадратное неравенство относительно $y$. Графиком функции $g(y) = 4y^2 - 2(\ln 7) y + 49$ является парабола с ветвями вверх (коэффициент при $y^2$ положителен). Неравенство будет выполняться для всех $y$, если дискриминант квадратного трехчлена неположителен ($D \le 0$).

$D = (-2\ln 7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 49 = 4(\ln 7)^2 - 784 = 4((\ln 7)^2 - 196)$

Оценим значение $\ln 7$. Поскольку $e \approx 2.718$, то $e^1 = e < 7$ и $e^2 \approx 7.389 > 7$, следовательно $1 < \ln 7 < 2$.

Тогда $(\ln 7)^2 < 2^2 = 4$. Очевидно, что $(\ln 7)^2 < 196$.

Таким образом, $(\ln 7)^2 - 196 < 0$, и дискриминант $D < 0$.

Поскольку дискриминант отрицателен, а ветви параболы направлены вверх, квадратный трехчлен $4y^2 - 2(\ln 7) y + 49$ всегда положителен. Значит, неравенство выполняется для всех $y > 0$.

Следовательно, $a=2$ является решением.

Анализ для других $a>0$ приводит к сложным трансцендентным неравенствам. Однако, можно показать, что для $a \ge 4$ функция не убывает на всей числовой оси. Например, при $a=4$ производная $f'(x) = (4\ln 7 - 4) \ln 7 \cdot 7^{4x} - 49 \ln 7$. Так как $4\ln 7 - 4 > 0$, при $x \to \infty$, $f'(x) \to \infty$, что противоречит условию $f'(x) \le 0$.

Объединяя найденные решения, получаем, что функция убывает при $a \in (-\infty, 0]$ и при $a=2$.

Ответ: $a \in (-\infty, 0] \cup \{2\}$.