Номер 67, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

67. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке:

1) $f(x) = 6x^2 - 6x + 7$, $[1; 4];$

2) $f(x) = 5^x + 5^{-x}$, $[-1; 1];$

3) $f(x) = e^{-\frac{2}{3}x+1} (x^2 - 4x)$, $[0; 3].$

1) Дана функция $f(x) = 6x^2 - 6x + 7$ на промежутке $[1; 4]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо найти ее производную, определить критические точки, а затем сравнить значения функции в тех критических точках, которые принадлежат данному отрезку, и на его концах.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (6x^2 - 6x + 7)' = 12x - 6$.

2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:

$f'(x) = 0 \implies 12x - 6 = 0 \implies 12x = 6 \implies x = \frac{1}{2}$.

3. Проверяем, принадлежит ли критическая точка $x = \frac{1}{2}$ заданному промежутку $[1; 4]$.

Точка $x = \frac{1}{2}$ не принадлежит отрезку $[1; 4]$, поэтому мы ее не рассматриваем.

4. Так как на отрезке $[1; 4]$ нет критических точек, наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах этого отрезка. Вычислим значения функции в точках $x=1$ и $x=4$.

$f(1) = 6(1)^2 - 6(1) + 7 = 6 - 6 + 7 = 7$.

$f(4) = 6(4)^2 - 6(4) + 7 = 6 \cdot 16 - 24 + 7 = 96 - 24 + 7 = 79$.

5. Сравнивая полученные значения, заключаем, что наименьшее значение функции на отрезке равно 7, а наибольшее равно 79.

Ответ: наименьшее значение $f_{наим} = 7$, наибольшее значение $f_{наиб} = 79$.

2) Дана функция $f(x) = 5^x + 5^{-x}$ на промежутке $[-1; 1]$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (5^x + 5^{-x})' = 5^x \ln 5 + 5^{-x} \ln 5 \cdot (-1) = \ln 5 (5^x - 5^{-x})$.

2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:

$f'(x) = 0 \implies \ln 5 (5^x - 5^{-x}) = 0$.

Так как $\ln 5 \neq 0$, то $5^x - 5^{-x} = 0$, откуда $5^x = 5^{-x}$.

Это равенство выполняется при $x = -x$, то есть $2x=0$, $x=0$.

3. Проверяем, принадлежит ли критическая точка $x = 0$ заданному промежутку $[-1; 1]$.

Точка $x = 0$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x=0$ и на концах отрезка $x=-1$ и $x=1$.

$f(0) = 5^0 + 5^{-0} = 1 + 1 = 2$.

$f(-1) = 5^{-1} + 5^{-(-1)} = 5^{-1} + 5^1 = \frac{1}{5} + 5 = 5,2$.

$f(1) = 5^1 + 5^{-1} = 5 + \frac{1}{5} = 5,2$.

5. Сравниваем полученные значения: $2$, $5,2$ и $5,2$.

Наименьшее значение равно 2, а наибольшее равно 5,2.

Ответ: наименьшее значение $f_{наим} = 2$, наибольшее значение $f_{наиб} = 5,2$.

3) Дана функция $f(x) = e^{-\frac{2}{3}x+1}(x^2 - 4x)$ на промежутке $[0; 3]$.

1. Находим производную функции, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (e^{-\frac{2}{3}x+1})' (x^2 - 4x) + e^{-\frac{2}{3}x+1} (x^2 - 4x)'$

$f'(x) = e^{-\frac{2}{3}x+1} \cdot (-\frac{2}{3}) \cdot (x^2 - 4x) + e^{-\frac{2}{3}x+1} \cdot (2x - 4)$

Вынесем общий множитель $e^{-\frac{2}{3}x+1}$ за скобки:

$f'(x) = e^{-\frac{2}{3}x+1} \left( -\frac{2}{3}(x^2 - 4x) + (2x - 4) \right)$

$f'(x) = e^{-\frac{2}{3}x+1} \left( -\frac{2}{3}x^2 + \frac{8}{3}x + 2x - 4 \right)$

$f'(x) = e^{-\frac{2}{3}x+1} \left( -\frac{2}{3}x^2 + \frac{14}{3}x - 4 \right)$

2. Находим критические точки. Так как $e^{-\frac{2}{3}x+1} > 0$ для любого $x$, приравниваем выражение в скобках к нулю:

$-\frac{2}{3}x^2 + \frac{14}{3}x - 4 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-\frac{3}{2}$:

$x^2 - 7x + 6 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения $x_1=1$ и $x_2=6$.

3. Проверяем, принадлежат ли критические точки $x=1$ и $x=6$ заданному промежутку $[0; 3]$.

Точка $x = 1$ принадлежит отрезку $[0; 3]$.

Точка $x = 6$ не принадлежит отрезку $[0; 3]$.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x=1$ и на концах отрезка $x=0$ и $x=3$.

$f(0) = e^{-\frac{2}{3}(0)+1}(0^2 - 4(0)) = e^1 \cdot 0 = 0$.

$f(1) = e^{-\frac{2}{3}(1)+1}(1^2 - 4(1)) = e^{\frac{1}{3}}(1-4) = -3e^{\frac{1}{3}}$.

$f(3) = e^{-\frac{2}{3}(3)+1}(3^2 - 4(3)) = e^{-2+1}(9-12) = e^{-1}(-3) = -\frac{3}{e}$.

5. Сравниваем полученные значения: $0$, $-3e^{\frac{1}{3}}$ и $-\frac{3}{e}$.

Очевидно, $0$ является наибольшим значением, так как два других значения отрицательны.

Сравним $-3e^{\frac{1}{3}}$ и $-\frac{3}{e}$. Для этого сравним $e^{\frac{1}{3}}$ и $\frac{1}{e} = e^{-1}$. Так как функция $y=e^t$ возрастающая, а $\frac{1}{3} > -1$, то $e^{\frac{1}{3}} > e^{-1}$.

Следовательно, $3e^{\frac{1}{3}} > \frac{3}{e}$, а значит, $-3e^{\frac{1}{3}} < -\frac{3}{e}$.

Таким образом, наименьшее значение функции равно $-3e^{\frac{1}{3}}$, а наибольшее равно $0$.

Ответ: наименьшее значение $f_{наим} = -3e^{\frac{1}{3}}$, наибольшее значение $f_{наиб} = 0$.