Номер 63, страница 78 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

63. Найдите уравнение касательной к графику функции:

1) $f(x) = 3e^{\frac{x}{3}}$, которая параллельна прямой $y = ex + 6$;

2) $f(x) = e^{2x-4}$, которая параллельна прямой $y = 2x - 7$.

1) Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$.
Угловой коэффициент прямой $y = ex + 6$ равен $e$. Следовательно, угловой коэффициент искомой касательной также должен быть равен $e$. Таким образом, нам нужно найти точку $x_0$, для которой выполняется условие $f'(x_0) = e$.
Сначала найдем производную функции $f(x) = 3e^{\frac{x}{3}}$:
$f'(x) = (3e^{\frac{x}{3}})' = 3 \cdot e^{\frac{x}{3}} \cdot (\frac{x}{3})' = 3 \cdot e^{\frac{x}{3}} \cdot \frac{1}{3} = e^{\frac{x}{3}}$.
Теперь приравняем производную к заданному угловому коэффициенту:
$f'(x_0) = e^{\frac{x_0}{3}} = e$.
Так как $e = e^1$, получаем уравнение:
$e^{\frac{x_0}{3}} = e^1$.
Приравнивая показатели степени, получаем:
$\frac{x_0}{3} = 1 \implies x_0 = 3$.
Теперь найдем ординату точки касания, вычислив значение функции при $x_0 = 3$:
$f(x_0) = f(3) = 3e^{\frac{3}{3}} = 3e^1 = 3e$.
Точка касания имеет координаты $(3, 3e)$.
Подставим найденные значения $x_0 = 3$, $f(x_0) = 3e$ и $f'(x_0) = e$ в уравнение касательной:
$y = 3e + e(x - 3)$
$y = 3e + ex - 3e$
$y = ex$.
Ответ: $y = ex$.

2) Найдем уравнение касательной к графику функции $f(x) = e^{2x-4}$, которая параллельна прямой $y = 2x - 7$.
Угловой коэффициент прямой $y = 2x - 7$ равен $2$. Значит, угловой коэффициент касательной $f'(x_0)$ также должен быть равен $2$.
Найдем производную функции $f(x) = e^{2x-4}$:
$f'(x) = (e^{2x-4})' = e^{2x-4} \cdot (2x-4)' = e^{2x-4} \cdot 2 = 2e^{2x-4}$.
Приравняем производную к угловому коэффициенту $2$:
$f'(x_0) = 2e^{2x_0-4} = 2$.
Разделим обе части уравнения на 2:
$e^{2x_0-4} = 1$.
Так как $1 = e^0$, получаем уравнение:
$e^{2x_0-4} = e^0$.
Приравнивая показатели степени, получаем:
$2x_0 - 4 = 0 \implies 2x_0 = 4 \implies x_0 = 2$.
Найдем ординату точки касания, вычислив значение функции при $x_0 = 2$:
$f(x_0) = f(2) = e^{2 \cdot 2 - 4} = e^{4-4} = e^0 = 1$.
Точка касания имеет координаты $(2, 1)$.
Подставим найденные значения $x_0 = 2$, $f(x_0) = 1$ и $f'(x_0) = 2$ в уравнение касательной:
$y = 1 + 2(x - 2)$
$y = 1 + 2x - 4$
$y = 2x - 3$.
Ответ: $y = 2x - 3$.