Номер 57, страница 77 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

57. Найдите производную функции:

1) $y = \log_6 x$;

2) $y = \ln 7x$;

3) $y = \ln(x^2 - 5x)$;

4) $y = \log_{\frac{1}{2}} (3x^2 - 7x + 6)$;

5) $y = \ln^5 x$;

6) $y = x^4 \ln x$;

7) $y = \frac{x^2}{\ln x}$;

8) $y = \frac{\ln^2 x}{x^3}$.

1) Для нахождения производной функции $y = \log_6 x$ используется стандартная формула производной логарифма по основанию $a$: $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$.

В данном случае, основание логарифма $a = 6$. Подставляя это значение в формулу, получаем:

$y' = \frac{1}{x \ln 6}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{x \ln 6}$.

2) Для нахождения производной функции $y = \ln(7x)$ можно сначала воспользоваться свойством логарифмов: $\ln(ab) = \ln a + \ln b$.

Таким образом, функцию можно переписать в виде: $y = \ln 7 + \ln x$.

Теперь найдем производную. Производная константы $(\ln 7)'$ равна нулю, а производная $(\ln x)'$ равна $\frac{1}{x}$.

$y' = (\ln 7 + \ln x)' = (\ln 7)' + (\ln x)' = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{x}$.

3) Функция $y = \ln(x^2 - 5x)$ является сложной. Для нахождения ее производной применяется цепное правило (производная сложной функции). Пусть $u(x) = x^2 - 5x$, тогда $y = \ln(u)$.

Производная находится по формуле: $y' = (\ln u)'_u \cdot u'_x = \frac{1}{u} \cdot u'$.

Находим производную внутренней функции: $u' = (x^2 - 5x)' = 2x - 5$.

Подставляем все в формулу:

$y' = \frac{1}{x^2 - 5x} \cdot (2x - 5) = \frac{2x - 5}{x^2 - 5x}$.

Ответ: $y' = \frac{2x - 5}{x^2 - 5x}$.

4) Это также сложная функция $y = \log_{\frac{1}{2}}(3x^2 - 7x + 6)$. Применяем цепное правило для логарифма по основанию $a$: $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$.

Здесь внутренняя функция $u = 3x^2 - 7x + 6$, а основание $a = \frac{1}{2}$.

Находим производную внутренней функции: $u' = (3x^2 - 7x + 6)' = 6x - 7$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{6x - 7}{(3x^2 - 7x + 6) \ln\frac{1}{2}}$.

Так как $\ln\frac{1}{2} = \ln(2^{-1}) = -\ln 2$, выражение можно упростить:

$y' = \frac{6x - 7}{-(3x^2 - 7x + 6)\ln 2} = -\frac{6x - 7}{(3x^2 - 7x + 6)\ln 2} = \frac{7 - 6x}{(3x^2 - 7x + 6)\ln 2}$.

Ответ: $y' = \frac{7 - 6x}{(3x^2 - 7x + 6)\ln 2}$.

5) Функция $y = \ln^5 x$ может быть записана как $y = (\ln x)^5$. Это сложная функция, где внешняя функция — степенная $u^5$, а внутренняя — $u = \ln x$.

Применяем цепное правило: $y' = (u^5)'_u \cdot u'_x = 5u^4 \cdot u'$.

Производная внутренней функции: $u' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.

Подставляем обратно:

$y' = 5(\ln x)^4 \cdot \frac{1}{x} = \frac{5\ln^4 x}{x}$.

Ответ: $y' = \frac{5\ln^4 x}{x}$.

6) Для нахождения производной функции $y = x^4 \ln x$ используем правило производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = x^4$ и $v = \ln x$.

Находим производные сомножителей: $u' = (x^4)' = 4x^3$ и $v' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.

Подставляем в формулу производной произведения:

$y' = (4x^3)(\ln x) + (x^4)\left(\frac{1}{x}\right) = 4x^3 \ln x + x^3$.

Можно вынести общий множитель $x^3$ за скобки:

$y' = x^3(4\ln x + 1)$.

Ответ: $y' = x^3(4\ln x + 1)$.

7) Для функции $y = \frac{x^2}{\ln x}$ применяем правило производной частного: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u = x^2$ и $v = \ln x$.

Находим производные числителя и знаменателя: $u' = (x^2)' = 2x$ и $v' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(2x)(\ln x) - (x^2)\left(\frac{1}{x}\right)}{(\ln x)^2} = \frac{2x \ln x - x}{(\ln x)^2}$.

Вынесем $x$ в числителе за скобки для упрощения:

$y' = \frac{x(2\ln x - 1)}{\ln^2 x}$.

Ответ: $y' = \frac{x(2\ln x - 1)}{\ln^2 x}$.

8) Для функции $y = \frac{\ln^2 x}{x^3}$ также применяем правило производной частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u = \ln^2 x$ и $v = x^3$.

Находим производную числителя $u'$, используя цепное правило: $u' = (\ln^2 x)' = 2(\ln x) \cdot (\ln x)' = 2\ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\ln x}{x}$.

Находим производную знаменателя: $v' = (x^3)' = 3x^2$.

Подставляем в формулу производной частного:

$y' = \frac{\left(\frac{2\ln x}{x}\right)(x^3) - (\ln^2 x)(3x^2)}{(x^3)^2} = \frac{2x^2\ln x - 3x^2 \ln^2 x}{x^6}$.

Упростим выражение, вынеся общий множитель $x^2 \ln x$ в числителе и сократив дробь:

$y' = \frac{x^2 \ln x (2 - 3\ln x)}{x^6} = \frac{\ln x (2 - 3\ln x)}{x^4}$.

Ответ: $y' = \frac{\ln x (2 - 3\ln x)}{x^4}$.