Номер 59, страница 78 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

59. Решите неравенство $f'(x) \ge g'(x)$, если $f(x) = 2.5x^2 - 4x$, $g(x) = \ln(-4x)$.

Для решения неравенства $f'(x) \geq g'(x)$ сначала найдем производные функций $f(x)$ и $g(x)$.

Дана функция $f(x) = 2,5x^2 - 4x$. Ее производная находится по правилам дифференцирования степенной функции:

$f'(x) = (2,5x^2 - 4x)' = 2,5 \cdot 2x - 4 = 5x - 4$.

Дана функция $g(x) = \ln(-4x)$. Ее производная находится по правилу дифференцирования сложной функции:

$g'(x) = (\ln(-4x))' = \frac{1}{-4x} \cdot (-4x)' = \frac{1}{-4x} \cdot (-4) = \frac{1}{x}$.

Далее, определим область допустимых значений (ОДЗ). Функция $g(x) = \ln(-4x)$ определена, когда ее аргумент строго положителен: $-4x > 0$. Отсюда следует, что $x < 0$. Производная $g'(x) = \frac{1}{x}$ не определена при $x=0$, что согласуется с найденным ОДЗ. Таким образом, все решения неравенства должны удовлетворять условию $x < 0$.

Теперь составим и решим неравенство $f'(x) \geq g'(x)$:

$5x - 4 \geq \frac{1}{x}$

Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем к общему знаменателю:

$5x - 4 - \frac{1}{x} \geq 0$

$\frac{5x^2 - 4x - 1}{x} \geq 0$

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $5x^2 - 4x - 1 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 \pm 6}{10}$.

$x_1 = \frac{4 - 6}{10} = \frac{-2}{10} = -0,2$.

$x_2 = \frac{4 + 6}{10} = \frac{10}{10} = 1$.

Нуль знаменателя: $x = 0$.

Отметим точки -0,2, 0 и 1 на числовой оси. Они разбивают ось на интервалы. Определим знак дроби $\frac{5x^2 - 4x - 1}{x}$ на каждом из них.

На интервале $(-\infty; -0,2)$ дробь отрицательна.

На интервале $(-0,2; 0)$ дробь положительна.

На интервале $(0; 1)$ дробь отрицательна.

На интервале $(1; +\infty)$ дробь положительна.

Неравенство $\frac{5x^2 - 4x - 1}{x} \geq 0$ выполняется, когда дробь положительна или равна нулю. Учитывая, что нули числителя $x = -0,2$ и $x = 1$ включаются в решение, а нуль знаменателя $x = 0$ исключается, получаем: $x \in [-0,2; 0) \cup [1; +\infty)$.

На последнем шаге сопоставим полученное решение с ОДЗ ($x < 0$).

Пересечение множеств $[-0,2; 0) \cup [1; +\infty)$ и $(-\infty; 0)$ дает итоговый результат: $x \in [-0,2; 0)$.

Ответ: $x \in [-0,2; 0)$.