Номер 53, страница 76 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

53. При каких значениях $a$ число $-2$ является решением неравенства $\log_a (1 - 2x) < 2$?

Для того чтобы число -2 являлось решением неравенства, необходимо, чтобы при подстановке $x = -2$ в неравенство $log_a(1 - 2x) < 2$ получалось верное числовое неравенство.

Выполним подстановку:

$log_a(1 - 2(-2)) < 2$

$log_a(1 + 4) < 2$

$log_a(5) < 2$

Теперь решим полученное неравенство относительно переменной $a$. Необходимо помнить, что основание логарифма $a$ должно удовлетворять следующим условиям: $a > 0$ и $a \neq 1$.

Решение неравенства зависит от величины основания $a$. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $0 < a < 1$

В этом случае логарифмическая функция $y = log_a(x)$ является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмического неравенства к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма по основанию $a$: $2 = log_a(a^2)$.

$log_a(5) < log_a(a^2)$

$5 > a^2$

Решая неравенство $a^2 < 5$, получаем $-\sqrt{5} < a < \sqrt{5}$.

Теперь найдём пересечение этого интервала с условием, рассматриваемым в данном случае ($0 < a < 1$):

$a \in (-\sqrt{5}, \sqrt{5}) \cap (0, 1)$, что даёт $a \in (0, 1)$.

Случай 2: $a > 1$

В этом случае логарифмическая функция $y = log_a(x)$ является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется.

$log_a(5) < log_a(a^2)$

$5 < a^2$

Решая неравенство $a^2 > 5$, получаем совокупность $a > \sqrt{5}$ или $a < -\sqrt{5}$.

Найдём пересечение полученного решения с условием $a > 1$:

$a \in ((-\infty, -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}, +\infty)) \cap (1, +\infty)$, что даёт $a \in (\sqrt{5}, +\infty)$.

Объединяя решения, полученные в обоих случаях, находим все значения $a$, при которых число -2 является решением исходного неравенства.

Ответ: $a \in (0, 1) \cup (\sqrt{5}, +\infty)$.