Номер 48, страница 75 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

48. Решите неравенство:

1) $\log_{16} x > \log_{16} 8$

2) $\log_{12} x < \log_{12} 7$

3) $\log_{\frac{6}{13}} x > \log_{\frac{6}{13}} 10$

4) $\log_{0,9} x < \log_{0,9} \frac{4}{9}$

5) $\log_2 x > 5$

6) $\log_9 x \le 2$

7) $\log_{0,5} x \ge -4$

8) $\log_{\frac{1}{625}} x < \frac{1}{4}$

9) $\log_6(4x - 8) < 2$

10) $\log_{0,1}(8 - x) > -2$

11) $\log_{0,8}(5x + 1) < \log_{0,8}(x + 9)$

12) $\lg(3x - 9) > \lg(5 - 4x)$

13) $\log_{0,3}(x - 1) > \log_{0,3}(x^2 + 2x - 3)$

14) $2\log_{14}(-x) \ge \log_{14}(2x + 15)$

15) $\log_5(x^2 + 4x) < 1$

16) $\log_{\frac{1}{6}}(2x^2 + 19x + 9) \ge 2\log_{\frac{1}{6}}(3 - x)$

1)

Дано неравенство $\log_{16} x > \log_{16} 8$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Основание логарифма $16 > 1$, поэтому функция логарифма возрастающая. Знак неравенства сохраняется при переходе к аргументам.

$x > 8$.

Пересекая решение с ОДЗ ($x > 0$ и $x > 8$), получаем $x > 8$.

Ответ: $(8; +\infty)$.

2)

Дано неравенство $\log_{12} x < \log_{12} 7$.

ОДЗ: $x > 0$.

Основание логарифма $12 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется.

$x < 7$.

Пересекая решение с ОДЗ ($x > 0$ и $x < 7$), получаем $0 < x < 7$.

Ответ: $(0; 7)$.

3)

Дано неравенство $\log_{\frac{6}{13}} x > \log_{\frac{6}{13}} 10$.

ОДЗ: $x > 0$.

Основание логарифма $0 < \frac{6}{13} < 1$, поэтому функция логарифма убывающая. Знак неравенства меняется на противоположный при переходе к аргументам.

$x < 10$.

Пересекая решение с ОДЗ ($x > 0$ и $x < 10$), получаем $0 < x < 10$.

Ответ: $(0; 10)$.

4)

Дано неравенство $\log_{0,9} x < \log_{0,9} \frac{4}{9}$.

ОДЗ: $x > 0$.

Основание логарифма $0 < 0,9 < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется.

$x > \frac{4}{9}$.

Пересекая решение с ОДЗ ($x > 0$ и $x > \frac{4}{9}$), получаем $x > \frac{4}{9}$.

Ответ: $(\frac{4}{9}; +\infty)$.

5)

Дано неравенство $\log_2 x > 5$.

ОДЗ: $x > 0$.

Представим правую часть в виде логарифма с основанием 2: $5 = \log_2 2^5 = \log_2 32$.

Получаем $\log_2 x > \log_2 32$.

Основание $2 > 1$, функция возрастающая, знак сохраняется.

$x > 32$.

Решение $x > 32$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(32; +\infty)$.

6)

Дано неравенство $\log_9 x \le 2$.

ОДЗ: $x > 0$.

Представим правую часть: $2 = \log_9 9^2 = \log_9 81$.

Получаем $\log_9 x \le \log_9 81$.

Основание $9 > 1$, функция возрастающая, знак сохраняется.

$x \le 81$.

Пересекая с ОДЗ ($x > 0$ и $x \le 81$), получаем $0 < x \le 81$.

Ответ: $(0; 81]$.

7)

Дано неравенство $\log_{0,5} x \ge -4$.

ОДЗ: $x > 0$.

Представим правую часть: $-4 = \log_{0,5} (0,5)^{-4} = \log_{0,5} (\frac{1}{2})^{-4} = \log_{0,5} 16$.

Получаем $\log_{0,5} x \ge \log_{0,5} 16$.

Основание $0 < 0,5 < 1$, функция убывающая, знак меняется.

$x \le 16$.

Пересекая с ОДЗ ($x > 0$ и $x \le 16$), получаем $0 < x \le 16$.

Ответ: $(0; 16]$.

8)

Дано неравенство $\log_{\frac{1}{625}} x < \frac{1}{4}$.

ОДЗ: $x > 0$.

Представим правую часть: $\frac{1}{4} = \log_{\frac{1}{625}} (\frac{1}{625})^{\frac{1}{4}} = \log_{\frac{1}{625}} (\frac{1}{5^4})^{\frac{1}{4}} = \log_{\frac{1}{625}} \frac{1}{5}$.

Получаем $\log_{\frac{1}{625}} x < \log_{\frac{1}{625}} \frac{1}{5}$.

Основание $0 < \frac{1}{625} < 1$, функция убывающая, знак меняется.

$x > \frac{1}{5}$.

Решение $x > \frac{1}{5}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(\frac{1}{5}; +\infty)$.

9)

Дано неравенство $\log_6 (4x-8) < 2$.

ОДЗ: $4x-8 > 0 \Rightarrow 4x > 8 \Rightarrow x > 2$.

Представим правую часть: $2 = \log_6 6^2 = \log_6 36$.

Получаем $\log_6 (4x-8) < \log_6 36$.

Основание $6 > 1$, функция возрастающая, знак сохраняется.

$4x-8 < 36 \Rightarrow 4x < 44 \Rightarrow x < 11$.

Пересекая с ОДЗ ($x > 2$ и $x < 11$), получаем $2 < x < 11$.

Ответ: $(2; 11)$.

10)

Дано неравенство $\log_{0,1} (8-x) > -2$.

ОДЗ: $8-x > 0 \Rightarrow x < 8$.

Представим правую часть: $-2 = \log_{0,1} (0,1)^{-2} = \log_{0,1} 100$.

Получаем $\log_{0,1} (8-x) > \log_{0,1} 100$.

Основание $0 < 0,1 < 1$, функция убывающая, знак меняется.

$8-x < 100 \Rightarrow -x < 92 \Rightarrow x > -92$.

Пересекая с ОДЗ ($x < 8$ и $x > -92$), получаем $-92 < x < 8$.

Ответ: $(-92; 8)$.

11)

Дано неравенство $\log_{0,8} (5x+1) < \log_{0,8} (x+9)$.

ОДЗ: $\begin{cases} 5x+1 > 0 \\ x+9 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -1/5 \\ x > -9 \end{cases} \Rightarrow x > -1/5$.

Основание $0 < 0,8 < 1$, функция убывающая, знак меняется.

$5x+1 > x+9 \Rightarrow 4x > 8 \Rightarrow x > 2$.

Пересекая с ОДЗ ($x > -1/5$ и $x > 2$), получаем $x > 2$.

Ответ: $(2; +\infty)$.

12)

Дано неравенство $\lg(3x-9) > \lg(5-4x)$.

ОДЗ: $\begin{cases} 3x-9 > 0 \\ 5-4x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x > 9 \\ 4x < 5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 3 \\ x < 5/4 \end{cases}$.

Система не имеет решений, так как нет чисел, которые одновременно больше 3 и меньше 1,25. Следовательно, ОДЗ пусто.

Ответ: $\emptyset$.

13)

Дано неравенство $\log_{0,3} (x-1) > \log_{0,3} (x^2+2x-3)$.

ОДЗ: $\begin{cases} x-1 > 0 \\ x^2+2x-3 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1 \\ (x+3)(x-1) > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x \in (-\infty; -3) \cup (1; \infty) \end{cases} \Rightarrow x > 1$.

Основание $0 < 0,3 < 1$, функция убывающая, знак меняется.

$x-1 < x^2+2x-3 \Rightarrow x^2+x-2 > 0$.

Корни уравнения $x^2+x-2=0$ равны $x_1=1, x_2=-2$. Неравенство $(x-1)(x+2)>0$ выполняется при $x \in (-\infty; -2) \cup (1; \infty)$.

Пересекая с ОДЗ ($x > 1$ и $x \in (-\infty; -2) \cup (1; \infty)$), получаем $x > 1$.

Ответ: $(1; +\infty)$.

14)

Дано неравенство $2\log_{14} (-x) \ge \log_{14} (2x+15)$.

ОДЗ: $\begin{cases} -x > 0 \\ 2x+15 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 0 \\ x > -7,5 \end{cases} \Rightarrow -7,5 < x < 0$.

Преобразуем левую часть: $\log_{14} ((-x)^2) \ge \log_{14} (2x+15) \Rightarrow \log_{14} (x^2) \ge \log_{14} (2x+15)$.

Основание $14 > 1$, функция возрастающая, знак сохраняется.

$x^2 \ge 2x+15 \Rightarrow x^2-2x-15 \ge 0$.

Корни уравнения $x^2-2x-15=0$ равны $x_1=5, x_2=-3$. Неравенство $(x-5)(x+3) \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -3] \cup [5; \infty)$.

Пересекая с ОДЗ ($-7,5 < x < 0$ и $x \in (-\infty; -3] \cup [5; \infty)$), получаем $-7,5 < x \le -3$.

Ответ: $(-7,5; -3]$.

15)

Дано неравенство $\log_5 (x^2+4x) < 1$.

ОДЗ: $x^2+4x > 0 \Rightarrow x(x+4) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -4) \cup (0; \infty)$.

Представим правую часть: $1 = \log_5 5$. Получаем $\log_5 (x^2+4x) < \log_5 5$.

Основание $5 > 1$, функция возрастающая, знак сохраняется.

$x^2+4x < 5 \Rightarrow x^2+4x-5 < 0$.

Корни уравнения $x^2+4x-5=0$ равны $x_1=1, x_2=-5$. Неравенство $(x-1)(x+5) < 0$ выполняется при $x \in (-5; 1)$.

Пересекая с ОДЗ ($x \in (-5; 1)$ и $x \in (-\infty; -4) \cup (0; \infty)$), получаем $x \in (-5; -4) \cup (0; 1)$.

Ответ: $(-5; -4) \cup (0; 1)$.

16)

Дано неравенство $\log_{\frac{1}{6}} (2x^2+19x+9) \ge 2\log_{\frac{1}{6}} (3-x)$.

ОДЗ: $\begin{cases} 2x^2+19x+9 > 0 \\ 3-x > 0 \end{cases}$.

1) $2x^2+19x+9 > 0$. Корни: $x_1=-9, x_2=-0,5$. Решение: $x \in (-\infty; -9) \cup (-0,5; \infty)$.

2) $3-x > 0 \Rightarrow x < 3$.

Общее ОДЗ: $x \in (-\infty; -9) \cup (-0,5; 3)$.

Преобразуем неравенство: $\log_{\frac{1}{6}} (2x^2+19x+9) \ge \log_{\frac{1}{6}} ((3-x)^2)$.

Основание $0 < \frac{1}{6} < 1$, функция убывающая, знак меняется.

$2x^2+19x+9 \le (3-x)^2 \Rightarrow 2x^2+19x+9 \le 9-6x+x^2 \Rightarrow x^2+25x \le 0$.

Решаем $x(x+25) \le 0$, получаем $x \in [-25; 0]$.

Пересекая решение с ОДЗ ($x \in [-25; 0]$ и $x \in (-\infty; -9) \cup (-0,5; 3)$), получаем $x \in [-25; -9) \cup (-0,5; 0]$.

Ответ: $[-25; -9) \cup (-0,5; 0]$.