Номер 43, страница 74 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

43. Решите уравнение:

1) $x^{\log_2 x - 6} = \frac{1}{32}$;

2) $x^{\log_5 x} = \frac{x^5}{625}$;

3) $3^{\log_3^2 x} + x^{\log_3 x} = 162$;

4) $x^{\log_{13} 15} + 15^{\log_{13} x} = 450$.

1) $x^{\log_2 x - 6} = \frac{1}{32}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

$\log_2(x^{\log_2 x - 6}) = \log_2(\frac{1}{32})$

Используя свойство логарифма $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$ и то, что $\frac{1}{32} = 2^{-5}$, получаем:

$(\log_2 x - 6) \cdot \log_2 x = \log_2(2^{-5})$

$(\log_2 x)^2 - 6 \log_2 x = -5$

$(\log_2 x)^2 - 6 \log_2 x + 5 = 0$

Сделаем замену $t = \log_2 x$. Уравнение примет вид:

$t^2 - 6t + 5 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.

Возвращаемся к исходной переменной:

1) $\log_2 x = 1 \implies x = 2^1 = 2$.

2) $\log_2 x = 5 \implies x = 2^5 = 32$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $2; 32$.

2) $x^{\log_5 x} = \frac{x^5}{625}$

ОДЗ: $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 5:

$\log_5(x^{\log_5 x}) = \log_5(\frac{x^5}{625})$

Используя свойства логарифмов $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$ и $\log_a(\frac{b}{c}) = \log_a b - \log_a c$, получаем:

$(\log_5 x) \cdot \log_5 x = \log_5(x^5) - \log_5(625)$

$(\log_5 x)^2 = 5 \log_5 x - \log_5(5^4)$

$(\log_5 x)^2 = 5 \log_5 x - 4$

$(\log_5 x)^2 - 5 \log_5 x + 4 = 0$

Сделаем замену $t = \log_5 x$.

$t^2 - 5t + 4 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.

Возвращаемся к замене:

1) $\log_5 x = 1 \implies x = 5^1 = 5$.

2) $\log_5 x = 4 \implies x = 5^4 = 625$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $5; 625$.

3) $3^{\log_3^2 x} + x^{\log_3 x} = 162$

ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем второе слагаемое, используя основное логарифмическое тождество $a = b^{\log_b a}$:

$x = 3^{\log_3 x}$

Тогда $x^{\log_3 x} = (3^{\log_3 x})^{\log_3 x} = 3^{\log_3 x \cdot \log_3 x} = 3^{\log_3^2 x}$.

Уравнение принимает вид:

$3^{\log_3^2 x} + 3^{\log_3^2 x} = 162$

$2 \cdot 3^{\log_3^2 x} = 162$

$3^{\log_3^2 x} = 81$

Так как $81 = 3^4$, получаем:

$3^{\log_3^2 x} = 3^4$

Приравниваем показатели степеней:

$\log_3^2 x = 4$

Отсюда:

1) $\log_3 x = 2 \implies x = 3^2 = 9$.

2) $\log_3 x = -2 \implies x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $9; \frac{1}{9}$.

4) $x^{\log_{13} 15} + 15^{\log_{13} x} = 450$

ОДЗ: $x > 0$.

Воспользуемся свойством $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$. Применим его к первому слагаемому:

$x^{\log_{13} 15} = 15^{\log_{13} x}$

Уравнение примет вид:

$15^{\log_{13} x} + 15^{\log_{13} x} = 450$

$2 \cdot 15^{\log_{13} x} = 450$

$15^{\log_{13} x} = 225$

Так как $225 = 15^2$, получаем:

$15^{\log_{13} x} = 15^2$

Приравниваем показатели степеней:

$\log_{13} x = 2$

$x = 13^2 = 169$.

Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $169$.