Номер 40, страница 73 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

40. Решите уравнение:

1) $log_{\frac{1}{8}}(7x - 2) = log_{\frac{1}{8}}(5x + 12);$

2) $log_{15}(6 - x) = log_{15}(3x - 22);$

3) $log_2(x^2 - 8x + 13) = log_2(x - 5);$

4) $2log_3(-x) = log_3(2x + 3).$

1) $log_{\frac{1}{8}}(7x - 2) = log_{\frac{1}{8}}(5x + 12)$

Данное логарифмическое уравнение определено, если выражения под знаками логарифмов положительны. Запишем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 7x - 2 > 0 \\ 5x + 12 > 0 \end{cases}$

$\begin{cases} 7x > 2 \\ 5x > -12 \end{cases}$

$\begin{cases} x > \frac{2}{7} \\ x > -\frac{12}{5} \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > \frac{2}{7}$.

Поскольку основания логарифмов равны, мы можем приравнять выражения под знаками логарифмов:

$7x - 2 = 5x + 12$

$7x - 5x = 12 + 2$

$2x = 14$

$x = 7$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $7 > \frac{2}{7}$, корень подходит.

Ответ: 7

2) $log_{15}(6 - x) = log_{15}(3x - 22)$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), при которых уравнение имеет смысл:

$\begin{cases} 6 - x > 0 \\ 3x - 22 > 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x < 6 \\ 3x > 22 \end{cases}$

$\begin{cases} x < 6 \\ x > \frac{22}{3} \end{cases}$

Так как $\frac{22}{3} = 7\frac{1}{3}$, система неравенств принимает вид $\begin{cases} x < 6 \\ x > 7\frac{1}{3} \end{cases}$.

Эта система не имеет решений, так как нет числа, которое одновременно меньше 6 и больше $7\frac{1}{3}$. Следовательно, область допустимых значений пуста, и уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней

3) $log_{2}(x^2 - 8x + 13) = log_{2}(x - 5)$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x^2 - 8x + 13 > 0 \\ x - 5 > 0 \end{cases}$

Из второго неравенства следует, что $x > 5$.

Приравняем выражения под знаками логарифмов, так как основания равны:

$x^2 - 8x + 13 = x - 5$

$x^2 - 9x + 18 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 9, а произведение равно 18. Корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = 6$.

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ.

Для $x_1 = 3$: условие $x > 5$ не выполняется, так как $3 \ngtr 5$. Этот корень является посторонним.

Для $x_2 = 6$: условие $x > 5$ выполняется, так как $6 > 5$. Проверим второе условие ОДЗ: $x^2 - 8x + 13 > 0$. Подставляем $x = 6$: $6^2 - 8 \cdot 6 + 13 = 36 - 48 + 13 = 1$. Так как $1 > 0$, второе условие также выполняется. Следовательно, $x = 6$ является решением уравнения.

Ответ: 6

4) $2log_{3}(-x) = log_{3}(2x + 3)$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} -x > 0 \\ 2x + 3 > 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x < 0 \\ 2x > -3 \end{cases}$

$\begin{cases} x < 0 \\ x > -\frac{3}{2} \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $-\frac{3}{2} < x < 0$.

Используем свойство логарифма $n \cdot log_a(b) = log_a(b^n)$ для левой части уравнения:

$log_{3}((-x)^2) = log_{3}(2x + 3)$

$log_{3}(x^2) = log_{3}(2x + 3)$

Приравняем выражения под знаками логарифмов:

$x^2 = 2x + 3$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, произведение равно -3. Корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($-\frac{3}{2} < x < 0$).

Корень $x_1 = 3$ не принадлежит интервалу $(-\frac{3}{2}; 0)$, поэтому является посторонним.

Корень $x_2 = -1$ принадлежит интервалу $(-\frac{3}{2}; 0)$, так как $-1.5 < -1 < 0$. Следовательно, это решение уравнения.

Ответ: -1