Страница 73 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

37. Найдите область определения функции:

1) $y = \log_{0,4}(3x - 14);$

2) $y = \log_{12}(9 - 8x - x^2);$

3) $y = 2\log_8(5x + 20) - \log_8(5 - x);$

4) $y = \frac{9}{\log_4(x - 12)};$

5) $y = \log_{x+9}(14 - x);$

6) $y = \log_{0,1}(18 + 3x - x^2) - \frac{1}{\log_{0,1}(x + 2)}.$

1) Область определения логарифмической функции $y = \log_a f(x)$ находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $f(x) > 0$. Основание логарифма $a=0,4$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$.
Для данной функции $y = \log_{0,4}(3x - 14)$ получаем неравенство:
$3x - 14 > 0$
$3x > 14$
$x > \frac{14}{3}$
Таким образом, область определения функции – это интервал $(\frac{14}{3}; +\infty)$.
Ответ: $D(y) = (\frac{14}{3}; +\infty)$.

2) Для функции $y = \log_{12}(9 - 8x - x^2)$ аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.
$9 - 8x - x^2 > 0$
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x^2 + 8x - 9 < 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 8x - 9$. По теореме Виета, $x_1 = 1$ и $x_2 = -9$.
Графиком функции $f(x) = x^2 + 8x - 9$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше нуля на интервале между корнями.
Следовательно, $-9 < x < 1$.
Область определения функции – это интервал $(-9; 1)$.
Ответ: $D(y) = (-9; 1)$.

3) Область определения функции $y = 2\log_{8}(5x + 20) - \log_{8}(5 - x)$ является пересечением областей определения каждого из слагаемых. Для этого аргументы обоих логарифмов должны быть положительны. Составим систему неравенств:
$\begin{cases} 5x + 20 > 0 \\ 5 - x > 0 \end{cases}$
Решим каждое неравенство:
$5x > -20 \implies x > -4$
$-x > -5 \implies x < 5$
Пересечением двух полученных условий $x > -4$ и $x < 5$ является интервал $(-4; 5)$.
Ответ: $D(y) = (-4; 5)$.

4) Для функции $y = \frac{9}{\log_{4}(x - 12)}$ область определения находится из следующих условий:
1. Аргумент логарифма, стоящего в знаменателе, должен быть положителен: $x - 12 > 0 \implies x > 12$.
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $\log_{4}(x - 12) \neq 0$.
Это равносильно тому, что $x - 12 \neq 4^0$, то есть $x - 12 \neq 1 \implies x \neq 13$.
Объединяя оба условия ($x > 12$ и $x \neq 13$), получаем область определения.
Ответ: $D(y) = (12; 13) \cup (13; +\infty)$.

5) Для логарифмической функции с переменным основанием $y = \log_{g(x)}f(x)$ область определения задается системой из трех условий:
1. Аргумент логарифма должен быть положителен: $f(x) > 0$.
2. Основание логарифма должно быть положительно: $g(x) > 0$.
3. Основание логарифма не должно равняться единице: $g(x) \neq 1$.
Для функции $y = \log_{x+9}(14 - x)$ получаем систему:
$\begin{cases} 14 - x > 0 \\ x + 9 > 0 \\ x + 9 \neq 1 \end{cases}$
Решаем систему:
$\begin{cases} x < 14 \\ x > -9 \\ x \neq -8 \end{cases}$
Объединяя условия, получаем, что $x$ находится в интервале от -9 до 14, за исключением точки -8.
Ответ: $D(y) = (-9; -8) \cup (-8; 14)$.

6) Область определения функции $y = \log_{0,1}(18 + 3x - x^2) - \frac{1}{\log_{0,1}(x + 2)}$ находится как пересечение областей определения двух ее частей. Это требует одновременного выполнения следующих условий:
1. Аргумент первого логарифма положителен: $18 + 3x - x^2 > 0 \implies x^2 - 3x - 18 < 0$.
Корни уравнения $x^2 - 3x - 18 = 0$ это $x_1 = 6$ и $x_2 = -3$. Неравенство выполняется между корнями: $-3 < x < 6$.
2. Аргумент второго логарифма (в знаменателе) положителен: $x + 2 > 0 \implies x > -2$.
3. Знаменатель не равен нулю: $\log_{0,1}(x + 2) \neq 0 \implies x + 2 \neq (0,1)^0 \implies x + 2 \neq 1 \implies x \neq -1$.
Теперь необходимо найти пересечение всех трех условий:
$\begin{cases} -3 < x < 6 \\ x > -2 \\ x \neq -1 \end{cases}$
Пересечение интервалов $(-3; 6)$ и $(-2; +\infty)$ дает интервал $(-2; 6)$. Из этого интервала нужно исключить точку $x = -1$.
Ответ: $D(y) = (-2; -1) \cup (-1; 6)$.

38. Постройте график функции:

1) $y = \log_4(x - 3);$

2) $y = \log_4 x - 3;$

3) $y = -\log_4 x;$

4) $y = \log_4(-x);$

5) $y = |\log_4 x|;$

6) $y = \log_4 |x|.$

Для построения графиков в данной задаче мы будем использовать преобразования графика основной логарифмической функции $y = \log_4 x$. График этой функции является возрастающей кривой, определенной для всех $x > 0$. Он проходит через ключевые точки $(1/4, -1)$, $(1, 0)$ и $(4, 1)$, и имеет вертикальную асимптоту $x=0$ (ось Oy).

1) Для функции $y = \log_4(x - 3)$.
Это преобразование вида $f(x-c)$, где $c=3$. График этой функции получается из графика $y = \log_4 x$ путем его сдвига на 3 единицы вправо вдоль оси Ox.

• Область определения функции: $x - 3 > 0$, то есть $x > 3$.
• Вертикальная асимптота смещается вправо и становится прямой $x = 3$.
• Ключевые точки смещаются вправо: $(1, 0)$ переходит в $(4, 0)$, а $(4, 1)$ переходит в $(7, 1)$.

Ответ: График функции $y = \log_4(x-3)$ получается из графика $y = \log_4 x$ параллельным переносом на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс.

2) Для функции $y = \log_4 x - 3$.
Это преобразование вида $f(x) - c$, где $c=3$. График этой функции получается из графика $y = \log_4 x$ путем его сдвига на 3 единицы вниз вдоль оси Oy.

• Область определения функции остается прежней: $x > 0$.
• Вертикальная асимптота $x = 0$ не изменяется.
• Ключевые точки смещаются вниз: $(1, 0)$ переходит в $(1, -3)$, а $(4, 1)$ переходит в $(4, -2)$.

Ответ: График функции $y = \log_4 x - 3$ получается из графика $y = \log_4 x$ параллельным переносом на 3 единицы вниз вдоль оси ординат.

3) Для функции $y = -\log_4 x$.
Это преобразование вида $-f(x)$. График этой функции получается из графика $y = \log_4 x$ путем его симметричного отражения относительно оси Ox.

• Область определения: $x > 0$.
• Вертикальная асимптота $x = 0$ не изменяется.
• Возрастающая функция $y = \log_4 x$ становится убывающей.
• Ключевые точки: $(1, 0)$ остается на месте, а $(4, 1)$ переходит в $(4, -1)$. Точка $(1/4, -1)$ переходит в $(1/4, 1)$.

Ответ: График функции $y = -\log_4 x$ симметричен графику функции $y = \log_4 x$ относительно оси Ox.

4) Для функции $y = \log_4(-x)$.
Это преобразование вида $f(-x)$. График этой функции получается из графика $y = \log_4 x$ путем его симметричного отражения относительно оси Oy.

• Область определения: $-x > 0$, то есть $x < 0$.
• Вертикальная асимптота $x = 0$ не изменяется.
• Ключевые точки: $(1, 0)$ переходит в $(-1, 0)$, а $(4, 1)$ переходит в $(-4, 1)$.

Ответ: График функции $y = \log_4(-x)$ симметричен графику функции $y = \log_4 x$ относительно оси Oy.

5) Для функции $y = |\log_4 x|$.
Это преобразование вида $y = |f(x)|$. Для построения этого графика необходимо ту часть графика $y = \log_4 x$, которая лежит ниже оси Ox, отразить симметрично вверх относительно этой оси, а остальную часть графика оставить без изменений.

• При $x \ge 1$, $\log_4 x \ge 0$, поэтому $y = \log_4 x$. Эта часть графика не меняется.
• При $0 < x < 1$, $\log_4 x < 0$, поэтому $y = - \log_4 x$. Эта часть графика является отражением соответствующей части $y = \log_4 x$ относительно оси Ox.
• Область определения: $x > 0$. Область значений: $y \ge 0$.
• Вертикальная асимптота $x=0$. При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$.

Ответ: Часть графика $y = \log_4 x$, лежащая не ниже оси абсцисс (при $x \ge 1$), сохраняется, а часть графика, лежащая ниже оси абсцисс (при $0 < x < 1$), симметрично отражается относительно оси абсцисс.

6) Для функции $y = \log_4|x|$.
Это преобразование вида $y = f(|x|)$. Функция является четной, т.к. $\log_4|-x| = \log_4|x|$, следовательно, ее график симметричен относительно оси Oy.

• Для $x > 0$, $|x| = x$, и график совпадает с графиком $y = \log_4 x$.
• Для $x < 0$, график строится как симметричное отражение части графика для $x > 0$ относительно оси Oy.
• Область определения: $|x| > 0$, то есть $x \ne 0$.
• Вертикальная асимптота $x = 0$.

Ответ: График функции $y = \log_4|x|$ состоит из графика функции $y = \log_4 x$ (для $x > 0$) и кривой, симметричной ему относительно оси ординат.

39. Решите уравнение:

1) $\log_6(5x + 6) = 3;$

2) $\log_{0.5}(x + 9) = -4;$

3) $\log_{\frac{1}{64}}(x^2 + 4x) = -\frac{5}{6};$

4) $\log_{27} \log_{\sqrt[3]{3}} \log_7 x = \frac{1}{3};$

5) $\lg(11 - 10x) = 1 - x;$

6) $\log_{x-3}(2x^2 - 8x + 1) = 2.$

1) $ \log_{6}(5x + 6) = 3 $

Для решения данного логарифмического уравнения необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$ 5x + 6 > 0 $
$ 5x > -6 $
$ x > -1.2 $

Теперь, используя определение логарифма ($ \log_a b = c \iff a^c = b $), преобразуем уравнение:
$ 5x + 6 = 6^3 $
$ 5x + 6 = 216 $
$ 5x = 216 - 6 $
$ 5x = 210 $
$ x = \frac{210}{5} $
$ x = 42 $

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ:
$ 42 > -1.2 $. Условие выполняется.
Ответ: 42.

2) $ \log_{0.5}(x + 9) = -4 $

ОДЗ: $ x + 9 > 0 \implies x > -9 $.

По определению логарифма:
$ x + 9 = (0.5)^{-4} $
Так как $ 0.5 = \frac{1}{2} $, то:
$ x + 9 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-4} $
$ x + 9 = 2^4 $
$ x + 9 = 16 $
$ x = 16 - 9 $
$ x = 7 $

Проверка ОДЗ: $ 7 > -9 $. Корень подходит.
Ответ: 7.

3) $ \log_{\frac{1}{64}}(x^2 + 4x) = -\frac{5}{6} $

ОДЗ: $ x^2 + 4x > 0 \implies x(x + 4) > 0 $.
Решением этого неравенства является объединение интервалов $ x \in (-\infty; -4) \cup (0; +\infty) $.

По определению логарифма:
$ x^2 + 4x = \left(\frac{1}{64}\right)^{-\frac{5}{6}} $
Представим основание $ \frac{1}{64} $ как степень двойки: $ \frac{1}{64} = \frac{1}{2^6} = 2^{-6} $.
$ x^2 + 4x = (2^{-6})^{-\frac{5}{6}} $
$ x^2 + 4x = 2^{(-6) \cdot (-\frac{5}{6})} $
$ x^2 + 4x = 2^5 $
$ x^2 + 4x = 32 $
$ x^2 + 4x - 32 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:
Сумма корней: $ x_1 + x_2 = -4 $.
Произведение корней: $ x_1 \cdot x_2 = -32 $.
Корни уравнения: $ x_1 = -8 $ и $ x_2 = 4 $.

Проверка ОДЗ:
Корень $ x_1 = -8 $ принадлежит интервалу $ (-\infty; -4) $, следовательно, является решением.
Корень $ x_2 = 4 $ принадлежит интервалу $ (0; +\infty) $, следовательно, является решением.
Ответ: -8; 4.

4) $ \log_{27} \log_{\sqrt[3]{3}} \log_{7} x = \frac{1}{3} $

ОДЗ для этого вложенного логарифма определяется последовательно для каждого аргумента:
1. $ x > 0 $
2. $ \log_{7} x > 0 \implies \log_{7} x > \log_{7} 1 \implies x > 1 $
3. $ \log_{\sqrt[3]{3}} (\log_{7} x) > 0 \implies \log_{7} x > (\sqrt[3]{3})^0 \implies \log_{7} x > 1 \implies x > 7^1 \implies x > 7 $
Итоговая ОДЗ: $ x > 7 $.

Решаем уравнение последовательно, начиная с внешнего логарифма:
$ \log_{\sqrt[3]{3}} \log_{7} x = 27^{\frac{1}{3}} $
$ \log_{\sqrt[3]{3}} \log_{7} x = (3^3)^{\frac{1}{3}} $
$ \log_{\sqrt[3]{3}} \log_{7} x = 3 $

Теперь решаем для следующего логарифма:
$ \log_{7} x = (\sqrt[3]{3})^3 $
$ \log_{7} x = (3^{\frac{1}{3}})^3 $
$ \log_{7} x = 3 $

Наконец, находим $x$:
$ x = 7^3 $
$ x = 343 $

Проверка ОДЗ: $ 343 > 7 $. Корень подходит.
Ответ: 343.

5) $ \lg(11 - 10^x) = 1 - x $

Здесь $ \lg $ — это десятичный логарифм ($ \log_{10} $).
ОДЗ: $ 11 - 10^x > 0 \implies 10^x < 11 $.

По определению логарифма:
$ 11 - 10^x = 10^{1-x} $
$ 11 - 10^x = \frac{10^1}{10^x} $

Сделаем замену переменной: пусть $ y = 10^x $. Так как показательная функция всегда положительна, $ y > 0 $.
$ 11 - y = \frac{10}{y} $
Умножим обе части на $ y $ (так как $y \neq 0$):
$ 11y - y^2 = 10 $
$ y^2 - 11y + 10 = 0 $

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
Сумма корней: $ y_1 + y_2 = 11 $.
Произведение корней: $ y_1 \cdot y_2 = 10 $.
Корни: $ y_1 = 1 $, $ y_2 = 10 $. Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:
1) $ 10^x = y_1 = 1 \implies 10^x = 10^0 \implies x_1 = 0 $
2) $ 10^x = y_2 = 10 \implies 10^x = 10^1 \implies x_2 = 1 $

Проверим корни по ОДЗ ($ 10^x < 11 $):
Для $ x_1 = 0 $: $ 10^0 = 1 $. $ 1 < 11 $, корень подходит.
Для $ x_2 = 1 $: $ 10^1 = 10 $. $ 10 < 11 $, корень подходит.
Ответ: 0; 1.

6) $ \log_{x-3}(2x^2 - 8x + 1) = 2 $

Это уравнение с переменной в основании логарифма, поэтому ОДЗ имеет несколько условий:
1. Аргумент логарифма положителен: $ 2x^2 - 8x + 1 > 0 $.
2. Основание логарифма положительно: $ x - 3 > 0 \implies x > 3 $.
3. Основание логарифма не равно единице: $ x - 3 \neq 1 \implies x \neq 4 $.
Общая ОДЗ для $ x $: $ x \in (3; 4) \cup (4; +\infty) $.

По определению логарифма:
$ 2x^2 - 8x + 1 = (x-3)^2 $
$ 2x^2 - 8x + 1 = x^2 - 6x + 9 $
Перенесем все члены в левую часть:
$ 2x^2 - x^2 - 8x + 6x + 1 - 9 = 0 $
$ x^2 - 2x - 8 = 0 $

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
Сумма корней: $ x_1 + x_2 = 2 $.
Произведение корней: $ x_1 \cdot x_2 = -8 $.
Корни: $ x_1 = 4 $ и $ x_2 = -2 $.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ:
Корень $ x_1 = 4 $ не удовлетворяет условию $ x \neq 4 $. Следовательно, это посторонний корень.
Корень $ x_2 = -2 $ не удовлетворяет условию $ x > 3 $. Следовательно, это также посторонний корень.
Так как оба найденных корня не удовлетворяют ОДЗ, уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.

40. Решите уравнение:

1) $log_{\frac{1}{8}}(7x - 2) = log_{\frac{1}{8}}(5x + 12);$

2) $log_{15}(6 - x) = log_{15}(3x - 22);$

3) $log_2(x^2 - 8x + 13) = log_2(x - 5);$

4) $2log_3(-x) = log_3(2x + 3).$

1) $log_{\frac{1}{8}}(7x - 2) = log_{\frac{1}{8}}(5x + 12)$

Данное логарифмическое уравнение определено, если выражения под знаками логарифмов положительны. Запишем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 7x - 2 > 0 \\ 5x + 12 > 0 \end{cases}$

$\begin{cases} 7x > 2 \\ 5x > -12 \end{cases}$

$\begin{cases} x > \frac{2}{7} \\ x > -\frac{12}{5} \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > \frac{2}{7}$.

Поскольку основания логарифмов равны, мы можем приравнять выражения под знаками логарифмов:

$7x - 2 = 5x + 12$

$7x - 5x = 12 + 2$

$2x = 14$

$x = 7$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $7 > \frac{2}{7}$, корень подходит.

Ответ: 7

2) $log_{15}(6 - x) = log_{15}(3x - 22)$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), при которых уравнение имеет смысл:

$\begin{cases} 6 - x > 0 \\ 3x - 22 > 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x < 6 \\ 3x > 22 \end{cases}$

$\begin{cases} x < 6 \\ x > \frac{22}{3} \end{cases}$

Так как $\frac{22}{3} = 7\frac{1}{3}$, система неравенств принимает вид $\begin{cases} x < 6 \\ x > 7\frac{1}{3} \end{cases}$.

Эта система не имеет решений, так как нет числа, которое одновременно меньше 6 и больше $7\frac{1}{3}$. Следовательно, область допустимых значений пуста, и уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней

3) $log_{2}(x^2 - 8x + 13) = log_{2}(x - 5)$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x^2 - 8x + 13 > 0 \\ x - 5 > 0 \end{cases}$

Из второго неравенства следует, что $x > 5$.

Приравняем выражения под знаками логарифмов, так как основания равны:

$x^2 - 8x + 13 = x - 5$

$x^2 - 9x + 18 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 9, а произведение равно 18. Корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = 6$.

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ.

Для $x_1 = 3$: условие $x > 5$ не выполняется, так как $3 \ngtr 5$. Этот корень является посторонним.

Для $x_2 = 6$: условие $x > 5$ выполняется, так как $6 > 5$. Проверим второе условие ОДЗ: $x^2 - 8x + 13 > 0$. Подставляем $x = 6$: $6^2 - 8 \cdot 6 + 13 = 36 - 48 + 13 = 1$. Так как $1 > 0$, второе условие также выполняется. Следовательно, $x = 6$ является решением уравнения.

Ответ: 6

4) $2log_{3}(-x) = log_{3}(2x + 3)$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} -x > 0 \\ 2x + 3 > 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x < 0 \\ 2x > -3 \end{cases}$

$\begin{cases} x < 0 \\ x > -\frac{3}{2} \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $-\frac{3}{2} < x < 0$.

Используем свойство логарифма $n \cdot log_a(b) = log_a(b^n)$ для левой части уравнения:

$log_{3}((-x)^2) = log_{3}(2x + 3)$

$log_{3}(x^2) = log_{3}(2x + 3)$

Приравняем выражения под знаками логарифмов:

$x^2 = 2x + 3$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, произведение равно -3. Корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($-\frac{3}{2} < x < 0$).

Корень $x_1 = 3$ не принадлежит интервалу $(-\frac{3}{2}; 0)$, поэтому является посторонним.

Корень $x_2 = -1$ принадлежит интервалу $(-\frac{3}{2}; 0)$, так как $-1.5 < -1 < 0$. Следовательно, это решение уравнения.

Ответ: -1

41. Решите уравнение:

1) $\log_6(x+1) + \log_6(2x+1) = 1;$

2) $\log_3(x-2) = 2 - \log_3(x-10);$

3) $\log_7(x+8) - \log_7(x+2) = \log_7(6-x);$

4) $\log_{\sqrt{2}}(49^x - 5) - \log_{\sqrt{2}}(2 \cdot 7^x - 3) = 4;$

5) $\log_4(x+3) + 3\log_{64}(x+15) = 3;$

6) $\lg 8 - \frac{1}{2}\lg(x+6) = \lg 16 - \lg(x-2);$

7) $2\log_5(4-x) - \log_5(2-x)^2 = 2.$

1) Исходное уравнение: $log_6(x + 1) + log_6(2x + 1) = 1$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $\begin{cases} x + 1 > 0 \\ 2x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x > -0.5 \end{cases} \implies x > -0.5$.
Используем свойство суммы логарифмов $log_a(b) + log_a(c) = log_a(bc)$:
$log_6((x + 1)(2x + 1)) = 1$.
По определению логарифма:
$(x + 1)(2x + 1) = 6^1$
$2x^2 + 2x + x + 1 = 6$
$2x^2 + 3x - 5 = 0$
Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
$x_2 = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x > -0.5$):
$x_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $1 > -0.5$.
$x_2 = -2.5$ не удовлетворяет условию, так как $-2.5 \ngtr -0.5$.
Ответ: $1$.

2) Исходное уравнение: $log_3(x - 2) = 2 - log_3(x - 10)$.
ОДЗ: $\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x - 10 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > 10 \end{cases} \implies x > 10$.
Перенесем логарифм в левую часть:
$log_3(x - 2) + log_3(x - 10) = 2$
$log_3((x - 2)(x - 10)) = 2$
$(x - 2)(x - 10) = 3^2$
$x^2 - 10x - 2x + 20 = 9$
$x^2 - 12x + 11 = 0$
По теореме Виета: $x_1 = 1, x_2 = 11$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x > 10$):
$x_1 = 1$ не удовлетворяет условию.
$x_2 = 11$ удовлетворяет условию.
Ответ: $11$.

3) Исходное уравнение: $log_7(x + 8) - log_7(x + 2) = log_7(6 - x)$.
ОДЗ: $\begin{cases} x + 8 > 0 \\ x + 2 > 0 \\ 6 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -8 \\ x > -2 \\ x < 6 \end{cases} \implies -2 < x < 6$.
Используем свойство разности логарифмов $log_a(b) - log_a(c) = log_a(b/c)$:
$log_7\frac{x + 8}{x + 2} = log_7(6 - x)$
Приравниваем аргументы логарифмов:
$\frac{x + 8}{x + 2} = 6 - x$
$x + 8 = (6 - x)(x + 2)$
$x + 8 = 6x + 12 - x^2 - 2x$
$x + 8 = -x^2 + 4x + 12$
$x^2 - 3x - 4 = 0$
По теореме Виета: $x_1 = 4, x_2 = -1$.
Проверяем корни по ОДЗ ($-2 < x < 6$):
$x_1 = 4$ удовлетворяет условию.
$x_2 = -1$ удовлетворяет условию.
Ответ: $-1; 4$.

4) Исходное уравнение: $log_{\sqrt{2}}(49^x - 5) - log_{\sqrt{2}}(2 \cdot 7^x - 3) = 4$.
ОДЗ: $\begin{cases} 49^x - 5 > 0 \\ 2 \cdot 7^x - 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} (7^x)^2 > 5 \\ 7^x > 1.5 \end{cases}$.
Так как $7^x > 1.5$, то $(7^x)^2 > 2.25$. Условие $(7^x)^2 > 5$ является более строгим. Из него следует, что $7^x > \sqrt{5}$. Значит, ОДЗ: $7^x > \sqrt{5}$.
$log_{\sqrt{2}}\frac{49^x - 5}{2 \cdot 7^x - 3} = 4$
$\frac{49^x - 5}{2 \cdot 7^x - 3} = (\sqrt{2})^4 = 4$
Сделаем замену $y = 7^x$, где $y > \sqrt{5}$:
$\frac{y^2 - 5}{2y - 3} = 4$
$y^2 - 5 = 4(2y - 3)$
$y^2 - 5 = 8y - 12$
$y^2 - 8y + 7 = 0$
По теореме Виета: $y_1 = 1, y_2 = 7$.
Проверяем по условию $y > \sqrt{5}$ (где $\sqrt{5} \approx 2.23$):
$y_1 = 1$ не удовлетворяет условию.
$y_2 = 7$ удовлетворяет условию.
Возвращаемся к замене: $7^x = 7 \implies x = 1$.
Ответ: $1$.

5) Исходное уравнение: $log_4(x + 3) + 3log_{64}(x + 15) = 3$.
ОДЗ: $\begin{cases} x + 3 > 0 \\ x + 15 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -3 \\ x > -15 \end{cases} \implies x > -3$.
Приведем логарифмы к одному основанию 4, используя формулу $log_{a^k}(b) = \frac{1}{k}log_a(b)$:
$log_{64}(x + 15) = log_{4^3}(x + 15) = \frac{1}{3}log_4(x + 15)$.
Уравнение принимает вид:
$log_4(x + 3) + 3 \cdot \frac{1}{3}log_4(x + 15) = 3$
$log_4(x + 3) + log_4(x + 15) = 3$
$log_4((x + 3)(x + 15)) = 3$
$(x + 3)(x + 15) = 4^3 = 64$
$x^2 + 15x + 3x + 45 = 64$
$x^2 + 18x - 19 = 0$
По теореме Виета: $x_1 = 1, x_2 = -19$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x > -3$):
$x_1 = 1$ удовлетворяет условию.
$x_2 = -19$ не удовлетворяет условию.
Ответ: $1$.

6) Исходное уравнение: $lg(8) - \frac{1}{2}lg(x + 6) = lg(16) - lg(x - 2)$.
ОДЗ: $\begin{cases} x + 6 > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -6 \\ x > 2 \end{cases} \implies x > 2$.
Сгруппируем члены с переменной и константы:
$lg(x - 2) - \frac{1}{2}lg(x + 6) = lg(16) - lg(8)$
Используем свойства логарифмов $k \cdot log_a(b) = log_a(b^k)$ и $log_a(b) - log_a(c) = log_a(b/c)$:
$lg(x - 2) - lg(\sqrt{x + 6}) = lg(\frac{16}{8})$
$lg\frac{x - 2}{\sqrt{x + 6}} = lg(2)$
$\frac{x - 2}{\sqrt{x + 6}} = 2$
$x - 2 = 2\sqrt{x + 6}$
Возведем обе части в квадрат. Так как по ОДЗ $x > 2$, то $x - 2 > 0$, поэтому возведение в квадрат является равносильным преобразованием.
$(x - 2)^2 = (2\sqrt{x + 6})^2$
$x^2 - 4x + 4 = 4(x + 6)$
$x^2 - 4x + 4 = 4x + 24$
$x^2 - 8x - 20 = 0$
Решаем через дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.
$x_1 = \frac{8 + 12}{2} = 10$.
$x_2 = \frac{8 - 12}{2} = -2$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x > 2$):
$x_1 = 10$ удовлетворяет условию.
$x_2 = -2$ не удовлетворяет условию.
Ответ: $10$.

7) Исходное уравнение: $2log_5(4 - x) - log_5(2 - x)^2 = 2$.
ОДЗ: $\begin{cases} 4 - x > 0 \\ (2 - x)^2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 4 \\ x \neq 2 \end{cases}$.
Используем свойство $k \cdot log_a(b) = log_a(b^k)$:
$log_5((4 - x)^2) - log_5((2 - x)^2) = 2$
$log_5\frac{(4 - x)^2}{(2 - x)^2} = 2$
$log_5\left(\left(\frac{4 - x}{2 - x}\right)^2\right) = 2$
По определению логарифма:
$\left(\frac{4 - x}{2 - x}\right)^2 = 5^2 = 25$
Это уравнение распадается на два:
а) $\frac{4 - x}{2 - x} = 5$
$4 - x = 5(2 - x)$
$4 - x = 10 - 5x$
$4x = 6 \implies x = 1.5$.
б) $\frac{4 - x}{2 - x} = -5$
$4 - x = -5(2 - x)$
$4 - x = -10 + 5x$
$14 = 6x \implies x = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x < 4, x \neq 2$):
$x_1 = 1.5$ удовлетворяет условию.
$x_2 = \frac{7}{3} \approx 2.33$ удовлетворяет условию.
Ответ: $1.5; \frac{7}{3}$.