Страница 67 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Найдите значение выражения:

1) $7(\sqrt{2}-1)^2 \cdot 72\sqrt{2}$;

2) $10\sqrt{32} : 1000\sqrt{2}$;

3) $((\sqrt[5]{2})^{\sqrt{15}})^{\sqrt{15}}$

1) Для нахождения значения выражения $7^{(\sqrt{2}-1)^2} \cdot 7^{2\sqrt{2}}$ воспользуемся свойством степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).
Сначала упростим показатель первой степени, раскрыв скобки по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(\sqrt{2}-1)^2 = (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2}$.
Теперь сложим показатели степеней:
$(3 - 2\sqrt{2}) + 2\sqrt{2} = 3$.
Таким образом, исходное выражение равно $7^3$.
$7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$.
Ответ: 343.

2) Для нахождения значения выражения $10^{\sqrt{32}} : 1000^{\sqrt{2}}$ приведем степени к одному основанию. Основание $1000$ можно представить как $10^3$.
$1000^{\sqrt{2}} = (10^3)^{\sqrt{2}} = 10^{3\sqrt{2}}$.
Теперь упростим показатель степени у первого числа: $\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
Выражение принимает вид: $10^{4\sqrt{2}} : 10^{3\sqrt{2}}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$):
$10^{4\sqrt{2} - 3\sqrt{2}} = 10^{(4-3)\sqrt{2}} = 10^{\sqrt{2}}$.
Ответ: $10^{\sqrt{2}}$.

3) Для нахождения значения выражения $((\sqrt[5]{2})^{\sqrt{15}})^{\sqrt{15}}$ воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$.
$((\sqrt[5]{2})^{\sqrt{15}})^{\sqrt{15}} = (\sqrt[5]{2})^{\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = (\sqrt[5]{2})^{15}$.
Представим корень в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$.
$\sqrt[5]{2} = 2^{1/5}$.
Теперь подставим это в наше выражение:
$(2^{1/5})^{15} = 2^{\frac{1}{5} \cdot 15} = 2^{\frac{15}{5}} = 2^3$.
$2^3 = 8$.
Ответ: 8.

2. Упростите выражение:

1) $(a\sqrt{2} - 6)(a\sqrt{2} + 6) - (a\sqrt{2} - 1)^2;$

2) $\frac{a^2\sqrt{3} - 2a\sqrt{3}}{a^2\sqrt{3} - 4}.$

1) Для упрощения выражения $(a^{\sqrt{2}} - 6)(a^{\sqrt{2}} + 6) - (a^{\sqrt{2}} - 1)^2$ воспользуемся формулами сокращенного умножения: разностью квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ и квадратом разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Первая часть выражения, $(a^{\sqrt{2}} - 6)(a^{\sqrt{2}} + 6)$, является произведением разности и суммы. Применим формулу разности квадратов, где $x = a^{\sqrt{2}}$ и $y = 6$:
$(a^{\sqrt{2}} - 6)(a^{\sqrt{2}} + 6) = (a^{\sqrt{2}})^2 - 6^2 = a^{2\sqrt{2}} - 36$.
Вторая часть, $(a^{\sqrt{2}} - 1)^2$, является квадратом разности. Применим соответствующую формулу, где $x = a^{\sqrt{2}}$ и $y = 1$:
$(a^{\sqrt{2}} - 1)^2 = (a^{\sqrt{2}})^2 - 2 \cdot a^{\sqrt{2}} \cdot 1 + 1^2 = a^{2\sqrt{2}} - 2a^{\sqrt{2}} + 1$.
Теперь подставим полученные выражения в исходное:
$(a^{2\sqrt{2}} - 36) - (a^{2\sqrt{2}} - 2a^{\sqrt{2}} + 1)$.
Раскроем скобки, помня, что знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри на противоположные:
$a^{2\sqrt{2}} - 36 - a^{2\sqrt{2}} + 2a^{\sqrt{2}} - 1$.
Приведем подобные слагаемые:
$(a^{2\sqrt{2}} - a^{2\sqrt{2}}) + 2a^{\sqrt{2}} + (-36 - 1) = 0 + 2a^{\sqrt{2}} - 37 = 2a^{\sqrt{2}} - 37$.
Ответ: $2a^{\sqrt{2}} - 37$.

2) Для упрощения дроби $\frac{a^{2\sqrt{3}} - 2a^{\sqrt{3}}}{a^{2\sqrt{3}} - 4}$ разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе $a^{2\sqrt{3}} - 2a^{\sqrt{3}}$ вынесем общий множитель $a^{\sqrt{3}}$ за скобки:
$a^{2\sqrt{3}} - 2a^{\sqrt{3}} = a^{\sqrt{3}}(a^{\sqrt{3}} - 2)$.
В знаменателе $a^{2\sqrt{3}} - 4$ представим $a^{2\sqrt{3}}$ как $(a^{\sqrt{3}})^2$ и $4$ как $2^2$. Получим разность квадратов:
$a^{2\sqrt{3}} - 4 = (a^{\sqrt{3}})^2 - 2^2 = (a^{\sqrt{3}} - 2)(a^{\sqrt{3}} + 2)$.
Теперь подставим разложенные числитель и знаменатель обратно в дробь:
$\frac{a^{\sqrt{3}}(a^{\sqrt{3}} - 2)}{(a^{\sqrt{3}} - 2)(a^{\sqrt{3}} + 2)}$.
Сократим общий множитель $(a^{\sqrt{3}} - 2)$:
$\frac{a^{\sqrt{3}}}{a^{\sqrt{3}} + 2}$.
Ответ: $\frac{a^{\sqrt{3}}}{a^{\sqrt{3}} + 2}$.

3. Сравните значения выражений:

1) $5^{1,2}$ и $5^{0,8}$;

2) $0,7^6$ и $0,7^{11}$;

3) $(\frac{2}{3})^{\frac{1}{5}}$ и $1$;

4) $0,36^{-\sqrt{5}}$ и $1$;

5) $(\sqrt{3})^{-6}$ и $(\sqrt{3})^{-8}$;

6) $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^7$ и $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^9$.

Для сравнения значений выражений будем использовать свойства показательной функции $y = a^x$:

• Если основание $a > 1$, функция возрастает, то есть большему значению показателя $x$ соответствует большее значение функции $y$.
• Если $0 < a < 1$, функция убывает, то есть большему значению показателя $x$ соответствует меньшее значение функции $y$.

1) $5^{1,2}$ и $5^{0,8}$

Основание степени $a=5$ больше единицы ($5 > 1$), следовательно, показательная функция $y=5^x$ является возрастающей. Сравниваем показатели степеней: $1,2 > 0,8$. Так как функция возрастающая, большему показателю соответствует большее значение. Значит, $5^{1,2} > 5^{0,8}$.

Ответ: $5^{1,2} > 5^{0,8}$

2) $0,7^6$ и $0,7^{11}$

Основание степени $a=0,7$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < 0,7 < 1$), следовательно, показательная функция $y=0,7^x$ является убывающей. Сравниваем показатели степеней: $6 < 11$. Так как функция убывающая, меньшему показателю соответствует большее значение. Значит, $0,7^6 > 0,7^{11}$.

Ответ: $0,7^6 > 0,7^{11}$

3) $(\frac{2}{3})^{\frac{1}{5}}$ и $1$

Представим $1$ как степень с основанием $\frac{2}{3}$: $1 = (\frac{2}{3})^0$. Теперь сравним $(\frac{2}{3})^{\frac{1}{5}}$ и $(\frac{2}{3})^0$. Основание степени $a=\frac{2}{3}$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < \frac{2}{3} < 1$), значит, функция $y=(\frac{2}{3})^x$ убывающая. Сравниваем показатели: $\frac{1}{5} > 0$. Так как функция убывающая, большему показателю соответствует меньшее значение. Следовательно, $(\frac{2}{3})^{\frac{1}{5}} < (\frac{2}{3})^0$, то есть $(\frac{2}{3})^{\frac{1}{5}} < 1$.

Ответ: $(\frac{2}{3})^{\frac{1}{5}} < 1$

4) $0,36^{-\sqrt{5}}$ и $1$

Представим $1$ как степень с основанием $0,36$: $1 = 0,36^0$. Сравниваем $0,36^{-\sqrt{5}}$ и $0,36^0$. Основание степени $a=0,36$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < 0,36 < 1$), значит, функция $y=0,36^x$ убывающая. Сравниваем показатели: $-\sqrt{5} < 0$. Так как функция убывающая, меньшему показателю соответствует большее значение. Следовательно, $0,36^{-\sqrt{5}} > 0,36^0$, то есть $0,36^{-\sqrt{5}} > 1$.

Ответ: $0,36^{-\sqrt{5}} > 1$

5) $(\sqrt{3})^{-6}$ и $(\sqrt{3})^{-8}$

Основание степени $a=\sqrt{3}$ больше единицы ($\sqrt{3} \approx 1,73 > 1$), следовательно, функция $y=(\sqrt{3})^x$ является возрастающей. Сравниваем показатели степеней: $-6 > -8$. Так как функция возрастающая, большему показателю соответствует большее значение. Значит, $(\sqrt{3})^{-6} > (\sqrt{3})^{-8}$.

Ответ: $(\sqrt{3})^{-6} > (\sqrt{3})^{-8}$

6) $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^7$ и $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^9$

Оценим основание степени $a = \sqrt{3} - \sqrt{2}$. Так как $3>2$, то $\sqrt{3}>\sqrt{2}$, значит $\sqrt{3} - \sqrt{2} > 0$. Сравним $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ с $1$. Предположим, что $\sqrt{3} - \sqrt{2} < 1$, тогда $\sqrt{3} < 1 + \sqrt{2}$. Так как обе части неравенства положительны, возведем их в квадрат: $(\sqrt{3})^2 < (1 + \sqrt{2})^2$, что дает $3 < 1 + 2\sqrt{2} + 2$, или $3 < 3 + 2\sqrt{2}$, или $0 < 2\sqrt{2}$. Последнее неравенство верно. Значит, основание $a = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Следовательно, функция $y = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^x$ является убывающей. Сравниваем показатели степеней: $7 < 9$. Так как функция убывающая, меньшему показателю соответствует большее значение. Значит, $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^7 > (\sqrt{3} - \sqrt{2})^9$.

Ответ: $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^7 > (\sqrt{3} - \sqrt{2})^9$

4. Сравните с числом 1 положительное число $a$, если:

1) $a^{\frac{1}{3}} < a^{\frac{1}{2}};$

2) $a^{1,2} < a^{-3};$

3) $a^{-0,6} > 1.$

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами степенной функции $y = a^x$ (где $a > 0$):

• Если основание степени $a > 1$, то функция является возрастающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$. То есть, большему показателю степени соответствует большее значение степени.
• Если основание степени $0 < a < 1$, то функция является убывающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$. То есть, большему показателю степени соответствует меньшее значение степени.

1) Дано неравенство $a^{\frac{1}{3}} < a^{\frac{1}{2}}$.

Сначала сравним показатели степеней: $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$. Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$;
$\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$.

Так как $2 < 3$, то $\frac{2}{6} < \frac{3}{6}$, следовательно, $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$.

Мы видим, что меньшему показателю степени ($\frac{1}{3}$) соответствует меньшее значение степени ($a^{\frac{1}{3}}$), а большему показателю ($\frac{1}{2}$) — большее значение ($a^{\frac{1}{2}}$). Знак неравенства для показателей степеней совпадает со знаком неравенства для самих степеней. Это соответствует свойству возрастающей степенной функции, основание которой больше единицы.
Ответ: $a > 1$.

2) Дано неравенство $a^{1{,}2} < a^{-3}$.

Сравним показатели степеней: $1{,}2$ и $-3$.
Очевидно, что $1{,}2 > -3$.

В данном случае большему показателю степени ($1{,}2$) соответствует меньшее значение степени ($a^{1{,}2}$), а меньшему показателю ($-3$) — большее значение ($a^{-3}$). Знак неравенства для показателей степеней противоположен знаку неравенства для самих степеней. Это соответствует свойству убывающей степенной функции, основание которой находится в интервале от 0 до 1.
Ответ: $0 < a < 1$.

3) Дано неравенство $a^{-0{,}6} > 1$.

Представим число 1 как степень с основанием $a$: $1 = a^0$ (поскольку любое положительное число в нулевой степени равно 1).
Тогда неравенство примет вид: $a^{-0{,}6} > a^0$.

Сравним показатели степеней: $-0{,}6$ и $0$.
Очевидно, что $-0{,}6 < 0$.

Мы видим, что меньшему показателю степени ($-0{,}6$) соответствует большее значение степени ($a^{-0{,}6}$), а большему показателю ($0$) — меньшее значение ($a^0$). Знак неравенства для показателей степеней противоположен знаку неравенства для самих степеней. Это соответствует свойству убывающей степенной функции, основание которой находится в интервале от 0 до 1.
Ответ: $0 < a < 1$.

5. Сравните числа m и n, если:

1) $4,2^m > 4,2^n;$

2) $0,6^m < 0,6^n;$

3) $(\frac{\pi}{2})^m < (\frac{\pi}{2})^n.$

Для решения данной задачи необходимо использовать свойства показательной функции $y = a^x$.

• Если основание $a > 1$, то функция является возрастающей. Это означает, что если $a^{x_1} > a^{x_2}$, то $x_1 > x_2$. Знак неравенства для показателей степеней сохраняется.
• Если $0 < a < 1$, то функция является убывающей. Это означает, что если $a^{x_1} > a^{x_2}$, то $x_1 < x_2$. Знак неравенства для показателей степеней меняется на противоположный.

1) Дано неравенство $4,2^m > 4,2^n$.

Основание степени $a = 4,2$. Так как $4,2 > 1$, показательная функция $y = 4,2^x$ является возрастающей. При сравнении степеней с одинаковым основанием, большим единицы, знак неравенства для показателей степеней сохраняется.

Следовательно, из $4,2^m > 4,2^n$ следует, что $m > n$.

Ответ: $m > n$.

2) Дано неравенство $0,6^m < 0,6^n$.

Основание степени $a = 0,6$. Так как $0 < 0,6 < 1$, показательная функция $y = 0,6^x$ является убывающей. При сравнении степеней с одинаковым основанием, которое больше нуля, но меньше единицы, знак неравенства для показателей степеней меняется на противоположный.

Следовательно, из $0,6^m < 0,6^n$ следует, что $m > n$.

Ответ: $m > n$.

3) Дано неравенство $(\frac{\pi}{2})^m < (\frac{\pi}{2})^n$.

Основание степени $a = \frac{\pi}{2}$. Оценим значение этого основания. Число $\pi$ приблизительно равно $3,14159...$, значит, $\pi > 3$. Тогда $\frac{\pi}{2} > \frac{3}{2} = 1,5$.

Так как основание $a = \frac{\pi}{2} > 1$, показательная функция $y = (\frac{\pi}{2})^x$ является возрастающей. Знак неравенства для показателей степеней сохраняется.

Следовательно, из $(\frac{\pi}{2})^m < (\frac{\pi}{2})^n$ следует, что $m < n$.

Ответ: $m < n$.

6. Найдите область значений функции:

1) $y = -9x$;

2) $y = 9x + 6$;

3) $y = \left(\frac{1}{9}\right)^x - 4$;

4) $y = 9|x|$.

Рассмотрим функцию $y = -9^x$.

Область значений показательной функции $f(x) = a^x$ (где $a > 0$ и $a \neq 1$) есть интервал $(0, +\infty)$.

Для функции $g(x) = 9^x$ область значений — это все положительные числа, то есть $9^x > 0$ для любого действительного числа $x$.

Наша функция $y = -9^x$ получается умножением значений функции $g(x)$ на -1. Если мы умножим неравенство $9^x > 0$ на -1, знак неравенства изменится на противоположный:

$-1 \cdot 9^x < -1 \cdot 0$

$-9^x < 0$

Следовательно, значения функции $y$ всегда отрицательны. Таким образом, область значений функции — это интервал $(-\infty, 0)$.

Ответ: $(-\infty, 0)$

Рассмотрим функцию $y = 9^x + 6$.

Область значений функции $g(x) = 9^x$ — это интервал $(0, +\infty)$. Это означает, что $9^x > 0$ для любого действительного $x$.

Функция $y$ получается прибавлением константы 6 к значениям функции $g(x)$. Прибавим 6 к обеим частям неравенства:

$9^x + 6 > 0 + 6$

$y > 6$

Это означает, что значения функции $y$ всегда больше 6. Таким образом, область значений функции — это все числа в интервале $(6, +\infty)$.

Ответ: $(6, +\infty)$

Рассмотрим функцию $y = \left(\frac{1}{9}\right)^x - 4$.

Область значений показательной функции $g(x) = \left(\frac{1}{9}\right)^x$ — это интервал $(0, +\infty)$, так как основание $\frac{1}{9}$ положительно и не равно 1. Следовательно, $\left(\frac{1}{9}\right)^x > 0$ для любого $x$.

Функция $y$ получается вычитанием 4 из значений функции $g(x)$. Вычтем 4 из обеих частей неравенства:

$\left(\frac{1}{9}\right)^x - 4 > 0 - 4$

$y > -4$

Это означает, что значения функции $y$ всегда больше -4. Таким образом, область значений функции — это все числа в интервале $(-4, +\infty)$.

Ответ: $(-4, +\infty)$

Рассмотрим функцию $y = 9^{|x|}$.

Выражение в показателе степени — это модуль $x$, то есть $|x|$. Область значений модуля — это все неотрицательные числа. То есть, $|x| \ge 0$ для любого действительного $x$.

Пусть $t = |x|$, тогда $t \ge 0$. Наша функция принимает вид $y = 9^t$, где $t \in [0, +\infty)$.

Так как основание степени $9 > 1$, функция $y = 9^t$ является возрастающей. Это означает, что свое наименьшее значение она принимает при наименьшем значении аргумента $t$.

Наименьшее значение $t$ равно 0. При $t=0$ получаем:

$y_{min} = 9^0 = 1$

Поскольку $t$ может принимать сколь угодно большие значения (стремится к $+\infty$), значения $y = 9^t$ также будут стремиться к $+\infty$.

Таким образом, функция принимает все значения от 1 (включительно) до бесконечности.

Ответ: $[1, +\infty)$

7. Найдите наибольшее значение функции $y = 0,6^x$ на промежутке $[-2; 1]$.

Дана показательная функция $y = 0,6^x$.

Основание степени в этой функции $a = 0,6$.

Поскольку основание $a$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$ (так как $0 < 0,6 < 1$), данная функция является монотонно убывающей на всей своей области определения.

Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$. Следовательно, на заданном промежутке $[-2; 1]$ наибольшее значение функция принимает в наименьшей точке этого промежутка, то есть при $x = -2$.

Найдем это значение, подставив $x = -2$ в формулу функции:

$y_{наиб.} = y(-2) = 0,6^{-2}$

Для удобства вычислений представим десятичную дробь 0,6 в виде обыкновенной дроби:

$0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Теперь выполним вычисление:

$y_{наиб.} = (\frac{3}{5})^{-2} = (\frac{5}{3})^2 = \frac{5^2}{3^2} = \frac{25}{9}$

Таким образом, наибольшее значение функции $y = 0,6^x$ на промежутке $[-2; 1]$ равно $\frac{25}{9}$.

Ответ: $\frac{25}{9}$