Страница 62 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

146. Выпускников военного училища направили служить в три части. В первую часть попали 7 молодых офицеров, во вторую — 12, в третью — 6. Какова вероятность того, что два друга Иванов и Петров будут служить в одной части?

Для решения задачи сперва найдем общее количество выпускников, которых направили служить в три воинские части. В первой части 7 офицеров, во второй — 12, в третьей — 6.

Общее число выпускников: $N = 7 + 12 + 6 = 25$ человек.

Искомую вероятность найдем по классической формуле вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ – общее число всех равновозможных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию (то есть, когда два друга окажутся в одной части).

Общее число исходов $n$ представляет собой количество способов выбрать 2 места для двух друзей (Иванова и Петрова) из 25 имеющихся. Это число сочетаний из 25 элементов по 2, которое вычисляется по формуле $C_k^n = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

$n = C_{25}^2 = \frac{25!}{2!(25-2)!} = \frac{25 \cdot 24}{2 \cdot 1} = 300$.

Таким образом, существует 300 различных способов распределить двух друзей по имеющимся местам.

Теперь найдем число благоприятных исходов $m$. Благоприятный исход — это ситуация, когда оба друга служат в одной и той же части. Это событие может произойти в трех несовместных случаях: они оба служат в первой, во второй или в третьей части. Общее число благоприятных исходов будет равно сумме исходов для каждого из этих случаев.

1. Оба друга служат в первой части (где 7 мест). Число способов выбрать 2 места для них из 7 имеющихся:

$m_1 = C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$.

2. Оба друга служат во второй части (где 12 мест). Число способов выбрать 2 места для них из 12 имеющихся:

$m_2 = C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 66$.

3. Оба друга служат в третьей части (где 6 мест). Число способов выбрать 2 места для них из 6 имеющихся:

$m_3 = C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$.

Суммируем число благоприятных исходов для всех трех случаев:

$m = m_1 + m_2 + m_3 = 21 + 66 + 15 = 102$.

Теперь, зная общее число исходов и число благоприятных исходов, можем вычислить вероятность:

$P = \frac{m}{n} = \frac{102}{300}$.

Сократим полученную дробь:

$P = \frac{102 : 6}{300 : 6} = \frac{17}{50}$.

Вероятность также можно выразить в виде десятичной дроби: $P = 0.34$.

Ответ: $\frac{17}{50}$

147. Ученик наугад называет натуральное число от 1 до 15 включительно. Событие $A$ состоит в том, что названное число меньше 11. Событие $B$ состоит в том, что названное число чётное. Найдите вероятность события $A \cap B$.

По условию задачи, ученик наугад называет натуральное число от 1 до 15 включительно. Это означает, что общее число равновозможных исходов равно 15. Обозначим общее число исходов как $N$.

$N = 15$.

Событие A состоит в том, что названное число меньше 11. Этому событию благоприятствуют следующие исходы:

$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

Событие B состоит в том, что названное число чётное. Этому событию благоприятствуют следующие исходы из заданного диапазона:

$B = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\}$

Требуется найти вероятность события $A \cap B$. Это событие (пересечение событий A и B) означает, что названное число удовлетворяет обоим условиям одновременно: оно должно быть меньше 11 и быть чётным.

Найдем множество исходов, благоприятствующих событию $A \cap B$, то есть пересечение множеств A и B:

$A \cap B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

Подсчитаем количество благоприятствующих исходов для события $A \cap B$. Обозначим это количество как $m$.

$m = 5$.

Вероятность события $P(A \cap B)$ находится по классической формуле вероятности как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов:

$P(A \cap B) = \frac{m}{N} = \frac{5}{15}$

Сократив полученную дробь, получаем окончательный результат:

$P(A \cap B) = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

148. В каждой из двух колод лежит по три карточки с номерами 1, 2 и 3. Наугад выбирают по одной карточке из каждой колоды. Событие $A$ состоит в том, что сумма очков на выбранных карточках нечётная; событие $B$ — в том, что по крайней мере одна из выбранных карточек имеет номер 3. Найдите вероятность события:

1) $\overline{B}$;

2) $A \cap B$;

3) $A \cup B$.

Для решения задачи определим пространство элементарных исходов. Из каждой из двух колод, содержащих карточки с номерами {1, 2, 3}, вынимают по одной карточке. Результатом является упорядоченная пара чисел $(x, y)$, где $x$ — номер карточки из первой колоды, а $y$ — из второй.

Общее число всех возможных равновероятных исходов $N$ равно $3 \times 3 = 9$. Перечислим все исходы:
$\Omega = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)\}$.

Рассмотрим события A и B:
Событие A: сумма очков на выбранных карточках нечётная. Сумма двух целых чисел нечётна тогда и только тогда, когда одно число чётное, а другое — нечётное. В наборе {1, 2, 3} чётное число — 2, нечётные — 1 и 3.
Благоприятные для A исходы: (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2).
Число исходов, благоприятствующих событию A, равно $m_A = 4$. Вероятность события A: $P(A) = \frac{m_A}{N} = \frac{4}{9}$.

Событие B: по крайней мере одна из выбранных карточек имеет номер 3.
Благоприятные для B исходы: (1, 3), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3).
Число исходов, благоприятствующих событию B, равно $m_B = 5$. Вероятность события B: $P(B) = \frac{m_B}{N} = \frac{5}{9}$.

1) $\overline{B}$;

Событие $\overline{B}$ является противоположным событию B, и оно состоит в том, что ни одна из выбранных карточек не имеет номера 3. Это означает, что обе карточки были выбраны из набора {1, 2}.
Число исходов, благоприятствующих событию $\overline{B}$, равно $2 \times 2 = 4$.
Это исходы: (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2).
Вероятность события $\overline{B}$ равна $P(\overline{B}) = \frac{4}{9}$.
Альтернативно, можно использовать формулу вероятности противоположного события:
$P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{4}{9}$.

2) $A \cap B$;

Событие $A \cap B$ (пересечение событий A и B) состоит в том, что происходят оба события одновременно: сумма очков нечётная, и по крайней мере одна из карточек имеет номер 3.
Нам нужно найти исходы, которые входят и в множество A, и в множество B.
Множество исходов для A: $\{(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)\}$.
Множество исходов для B: $\{(1, 3), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)\}$.
Общими для этих двух множеств являются исходы: (2, 3) и (3, 2).
Число благоприятствующих исходов для $A \cap B$ равно 2.
Вероятность события $A \cap B$ равна $P(A \cap B) = \frac{2}{9}$.
Ответ: $\frac{2}{9}$.

3) $A \cup B$.

Событие $A \cup B$ (объединение событий A и B) состоит в том, что происходит хотя бы одно из этих событий: либо сумма очков нечётная, либо по крайней мере одна карточка имеет номер 3.
Вероятность объединения событий вычисляется по формуле:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
Мы уже нашли все необходимые вероятности: $P(A) = \frac{4}{9}$, $P(B) = \frac{5}{9}$, и $P(A \cap B) = \frac{2}{9}$.
Подставим эти значения в формулу:
$P(A \cup B) = \frac{4}{9} + \frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{9}{9} - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$.
Ответ: $\frac{7}{9}$.

149. В школе работает две спортивные секции — волейбольная и теннисная. Вероятность встретить среди учащихся школы волейболиста равна 15%, теннисиста — 9%, а ученика, посещающего хотя бы одну из этих секций, — 19%. Какова вероятность того, что выбранный наугад учащийся этой школы посещает обе указанные секции?

Для решения задачи введем обозначения для событий:

• Событие A: случайно выбранный учащийся посещает волейбольную секцию.
• Событие B: случайно выбранный учащийся посещает теннисную секцию.

Из условия задачи известны следующие вероятности, выраженные в долях:

• Вероятность события A: $P(A) = 15\% = 0.15$
• Вероятность события B: $P(B) = 9\% = 0.09$
• Вероятность того, что учащийся посещает хотя бы одну из секций (событие A или событие B), что соответствует объединению событий A и B: $P(A \cup B) = 19\% = 0.19$

Требуется найти вероятность того, что выбранный наугад учащийся посещает обе секции. Это соответствует вероятности пересечения событий A и B, то есть $P(A \cap B)$.

Для нахождения вероятности пересечения событий воспользуемся теоремой сложения вероятностей для двух совместных событий:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Из этой формулы выразим искомую вероятность $P(A \cap B)$:

$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$

Подставим известные значения в формулу:

$P(A \cap B) = 0.15 + 0.09 - 0.19$

$P(A \cap B) = 0.24 - 0.19$

$P(A \cap B) = 0.05$

Полученная вероятность равна 0.05. Чтобы выразить ее в процентах, умножим на 100%:

$0.05 \cdot 100\% = 5\%$

Ответ: 5%.

150. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что выпадет две шестёрки?

Для решения этой задачи используется классическое определение вероятности. Вероятность события $P$ равна отношению числа благоприятных исходов $m$ к общему числу всех равновозможных исходов $n$.

Формула для расчёта вероятности: $P = \frac{m}{n}$.

1. Найдём общее число всех возможных исходов ($n$).При броске одного игрального кубика может выпасть одно из шести чисел: 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Так как бросают два кубика, и результаты бросков независимы друг от друга, общее количество комбинаций будет произведением числа исходов для каждого кубика.

$n = 6 \times 6 = 36$

Таким образом, существует 36 возможных уникальных исходов (например, (1,1), (1,2), ..., (6,6)).

2. Найдём число благоприятных исходов ($m$).Благоприятный исход — это выпадение двух шестёрок. Это означает, что на первом кубике должна выпасть шестёрка, и на втором кубике тоже должна выпасть шестёрка. Существует только одна такая комбинация: (6, 6).

Следовательно, число благоприятных исходов $m = 1$.

3. Рассчитаем вероятность. Подставим найденные значения $m$ и $n$ в формулу вероятности:

$P = \frac{m}{n} = \frac{1}{36}$

Ответ: $\frac{1}{36}$

151. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что выпадет два нечётных числа?

Для нахождения вероятности события воспользуемся классической формулой вероятности: $P = \frac{m}{N}$, где $N$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

1. Определение общего числа исходов (N)
При броске одного игрального кубика может выпасть одно из 6 чисел (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Поскольку бросают два кубика, и результаты их бросков являются независимыми событиями, общее число всех возможных комбинаций равно произведению числа исходов для каждого кубика.
$N = 6 \times 6 = 36$.

2. Определение числа благоприятных исходов (m)
Благоприятным исходом считается тот, при котором на обоих кубиках выпадают нечётные числа.
На одном игральном кубике есть 3 нечётных числа: 1, 3, 5.
Чтобы событие произошло, на первом кубике должно выпасть одно из этих трёх чисел, и на втором кубике также должно выпасть одно из этих трёх чисел.
Число благоприятных комбинаций равно произведению числа нечётных граней для каждого кубика:
$m = 3 \times 3 = 9$.

3. Расчёт вероятности
Теперь подставим найденные значения $N$ и $m$ в формулу вероятности:
$P = \frac{m}{N} = \frac{9}{36}$
Сократим полученную дробь:
$P = \frac{1}{4}$
Вероятность можно также выразить в виде десятичной дроби 0,25 или в процентах — 25%.

Ответ: $\frac{1}{4}$