Страница 61 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

137. Найдите отношение суммы чисел в 34-й строке треугольника Паскаля к сумме чисел в 27-й строке.

Сумма чисел в n-й строке треугольника Паскаля (при нумерации строк, начиная с 1) вычисляется по формуле $S_n = 2^{n-1}$.

Сумма чисел в 34-й строке:
$S_{34} = 2^{34-1} = 2^{33}$.

Сумма чисел в 27-й строке:
$S_{27} = 2^{27-1} = 2^{26}$.

Теперь найдем отношение этих сумм:
$\frac{S_{34}}{S_{27}} = \frac{2^{33}}{2^{26}}$
Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем:
$\frac{2^{33}}{2^{26}} = 2^{33-26} = 2^7 = 128$.

Ответ: 128

138. Найдите сумму чисел, стоящих на нечётных местах в 27-й строке треугольника Паскаля.

Для решения этой задачи необходимо использовать свойства биномиальных коэффициентов, которые составляют строки треугольника Паскаля.

Принято нумеровать строки треугольника Паскаля, начиная с нулевой. Таким образом, 27-я строка соответствует номеру $n=26$. Элементы этой строки представляют собой биномиальные коэффициенты от $C_{26}^0$ до $C_{26}^{26}$:

$C_{26}^0, C_{26}^1, C_{26}^2, C_{26}^3, \dots, C_{26}^{26}$

Места (позиции) в строке нумеруются с единицы.
1-е место: $C_{26}^0$
2-е место: $C_{26}^1$
3-е место: $C_{26}^2$
и так далее.

Нас интересует сумма чисел, стоящих на нечётных местах (1-м, 3-м, 5-м и т.д.). Это соответствует сумме биномиальных коэффициентов с чётными нижними индексами:

$S = C_{26}^0 + C_{26}^2 + C_{26}^4 + \dots + C_{26}^{26}$

Для нахождения этой суммы воспользуемся двумя известными свойствами, которые следуют из формулы бинома Ньютона $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$.

1. Сумма всех коэффициентов в $n$-й строке равна $2^n$. Это получается при $a=1$ и $b=1$:
$(1+1)^n = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n = 2^n$.

2. Сумма коэффициентов с чередующимися знаками для $n>0$ равна 0. Это получается при $a=1$ и $b=-1$:
$(1-1)^n = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - \dots + (-1)^n C_n^n = 0$.
Из этого равенства следует, что сумма коэффициентов на чётных позициях (с нечётными нижними индексами) равна сумме коэффициентов на нечётных позициях (с чётными нижними индексами):
$C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + \dots = C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \dots$

Таким образом, общая сумма $2^n$ делится поровну между суммой чисел на нечётных местах и суммой чисел на чётных местах. Следовательно, сумма чисел на нечётных местах равна половине общей суммы:

$S = \frac{2^n}{2} = 2^{n-1}$

В нашем случае $n=26$, поэтому искомая сумма равна:

$S = 2^{26-1} = 2^{25}$

Вычислим это значение:

$2^{10} = 1024$
$2^{20} = (2^{10})^2 = 1024^2 = 1048576$
$2^{25} = 2^{20} \cdot 2^5 = 1048576 \cdot 32 = 33554432$

Ответ: $33554432$

139. Докажите равенство:

$3^{40} + C_{40}^1 3^{39} + C_{40}^2 3^{38} + \dots + C_{40}^{39} 3^1 + 1 = 7^{80} - C_{80}^1 7^{79} 5^1 + C_{80}^2 7^{78} 5^2 - \dots - C_{80}^{79} 7^1 5^{79} + 5^{80}.$

Для доказательства данного равенства воспользуемся формулой бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$. Мы преобразуем левую и правую части равенства по отдельности.

Анализ левой части

Левая часть равенства имеет вид: $3^{40} + C_{40}^1 3^{39} + C_{40}^2 3^{38} + \dots + C_{40}^{39} 3^1 + 1$.
Перепишем это выражение, используя свойства биномиальных коэффициентов ($C_n^0 = 1$ и $C_n^n = 1$) и тот факт, что $1$ в любой степени равен $1$:
$C_{40}^0 \cdot 3^{40} \cdot 1^0 + C_{40}^1 \cdot 3^{39} \cdot 1^1 + C_{40}^2 \cdot 3^{38} \cdot 1^2 + \dots + C_{40}^{39} \cdot 3^1 \cdot 1^{39} + C_{40}^{40} \cdot 3^0 \cdot 1^{40}$.
Это выражение является разложением бинома Ньютона для $(a+b)^n$ при $a=3$, $b=1$ и $n=40$.
Следовательно, левая часть равна:
$(3+1)^{40} = 4^{40} = (2^2)^{40} = 2^{80}$.

Анализ правой части

Правая часть равенства имеет вид: $7^{80} - C_{80}^1 7^{79} 5^1 + C_{80}^2 7^{78} 5^2 - \dots - C_{80}^{79} 7^1 5^{79} + 5^{80}$.
Это выражение соответствует формуле бинома Ньютона для разности $(a-b)^n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k a^{n-k} b^k$.
Перепишем правую часть, используя $C_{80}^0=1$ и $C_{80}^{80}=1$:
$C_{80}^0 \cdot 7^{80} \cdot 5^0 - C_{80}^1 \cdot 7^{79} \cdot 5^1 + C_{80}^2 \cdot 7^{78} \cdot 5^2 - \dots + (-1)^{79} C_{80}^{79} \cdot 7^1 \cdot 5^{79} + (-1)^{80} C_{80}^{80} \cdot 7^0 \cdot 5^{80}$.
Это является разложением бинома Ньютона для $(a-b)^n$ при $a=7$, $b=5$ и $n=80$.
Следовательно, правая часть равна:
$(7-5)^{80} = 2^{80}$.

Заключение

Мы показали, что левая и правая части исходного выражения равны одному и тому же значению: $2^{80} = 2^{80}$. Таким образом, равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.

140. Какой по номеру член разложения выражения $\left(\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}} + \sqrt[4]{x^3}\right)^{18}$ по формуле бинома Ньютона не зависит от $x$?

Для нахождения номера члена разложения, который не зависит от $x$, воспользуемся формулой общего $(k+1)$-го члена разложения бинома Ньютона $(a+b)^n$:

$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$

В данном выражении $(\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}} + \sqrt[4]{x^3})^{18}$ имеем $a = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$, $b = \sqrt[4]{x^3}$ и $n=18$.

Представим $a$ и $b$ в виде степеней с рациональным показателем:

$a = x^{-3/4}$

$b = x^{3/4}$

Подставим эти значения в формулу общего члена:

$T_{k+1} = C_{18}^k (x^{-3/4})^{18-k} (x^{3/4})^k$

Упростим часть выражения, содержащую $x$, используя свойства степеней:

$T_{k+1} = C_{18}^k x^{-\frac{3}{4}(18-k)} \cdot x^{\frac{3}{4}k} = C_{18}^k x^{-\frac{54}{4} + \frac{3}{4}k + \frac{3}{4}k} = C_{18}^k x^{-\frac{27}{2} + \frac{3}{2}k}$

Член разложения не зависит от $x$, если показатель степени при $x$ равен нулю. Составим и решим уравнение:

$-\frac{27}{2} + \frac{3}{2}k = 0$

$\frac{3}{2}k = \frac{27}{2}$

$3k = 27$

$k = 9$

Номер члена в разложении соответствует значению $k+1$. Поскольку мы нашли, что $k=9$, искомый член разложения будет иметь номер:

$9 + 1 = 10$

Ответ: 10

141. В выражении $(\sqrt[3]{7} + \sqrt[4]{2})^{40}$ раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Какое количество полученных слагаемых является рациональными числами?

Для разложения выражения $(\sqrt[3]{7} + \sqrt[4]{2})^{40}$ воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$

В данном случае $a = \sqrt[3]{7} = 7^{1/3}$, $b = \sqrt[4]{2} = 2^{1/4}$ и $n=40$.

Общий член разложения (обозначим его $T_{k+1}$) имеет вид:

$T_{k+1} = C_{40}^k (\sqrt[3]{7})^{40-k} (\sqrt[4]{2})^k = C_{40}^k (7^{1/3})^{40-k} (2^{1/4})^k = C_{40}^k 7^{\frac{40-k}{3}} 2^{\frac{k}{4}}$

где $k$ — целое число от 0 до 40 включительно ($k \in \{0, 1, 2, ..., 40\}$).

Слагаемое $T_{k+1}$ является рациональным числом, если степени, в которые возводятся числа 7 и 2, являются целыми числами. Биномиальный коэффициент $C_{40}^k$ всегда является целым числом, а значит и рациональным.

Таким образом, необходимо, чтобы оба показателя степени были целыми:

1. $\frac{40-k}{3}$ должно быть целым числом. Это означает, что $(40-k)$ должно быть кратно 3.

2. $\frac{k}{4}$ должно быть целым числом. Это означает, что $k$ должно быть кратно 4.

Найдем все значения $k$ в диапазоне от 0 до 40, которые удовлетворяют обоим условиям.

Из второго условия следует, что $k$ должно быть кратно 4. Выпишем все такие возможные значения $k$:

$k \in \{0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40\}$

Теперь проверим для каждого из этих значений выполнение первого условия — делимость $(40-k)$ на 3:

• Если $k=0$, то $40-0=40$. 40 не делится на 3.
• Если $k=4$, то $40-4=36$. 36 делится на 3. Подходит.
• Если $k=8$, то $40-8=32$. 32 не делится на 3.
• Если $k=12$, то $40-12=28$. 28 не делится на 3.
• Если $k=16$, то $40-16=24$. 24 делится на 3. Подходит.
• Если $k=20$, то $40-20=20$. 20 не делится на 3.
• Если $k=24$, то $40-24=16$. 16 не делится на 3.
• Если $k=28$, то $40-28=12$. 12 делится на 3. Подходит.
• Если $k=32$, то $40-32=8$. 8 не делится на 3.
• Если $k=36$, то $40-36=4$. 4 не делится на 3.
• Если $k=40$, то $40-40=0$. 0 делится на 3. Подходит.

Таким образом, мы нашли четыре значения $k$, при которых слагаемые будут рациональными: $k=4, k=16, k=28$ и $k=40$.

Это означает, что в разложении бинома есть ровно 4 рациональных слагаемых.

Ответ: 4

142. В выражении $(x^5 + \frac{1}{x})^n$ раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Известно, что пятый член разложения имеет вид $15x^6$. Найдите $n$.

Для разложения выражения $(a+b)^n$ по формуле бинома Ньютона используется формула общего $(k+1)$-го члена разложения:

$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

В данном выражении $(x^5 + \frac{1}{x})^n$ имеем $a = x^5$ и $b = \frac{1}{x} = x^{-1}$.

Тогда общий член разложения для этого выражения будет иметь вид:

$T_{k+1} = C_n^k (x^5)^{n-k} (x^{-1})^k = C_n^k x^{5(n-k)} x^{-k} = C_n^k x^{5n-5k-k} = C_n^k x^{5n-6k}$

По условию задачи, пятый член разложения равен $15x^6$.

Пятый член соответствует значению $k+1=5$, откуда $k=4$.

Подставим $k=4$ в формулу общего члена:

$T_5 = C_n^4 x^{5n-6 \cdot 4} = C_n^4 x^{5n-24}$

Теперь приравняем это выражение к данному в условии:

$C_n^4 x^{5n-24} = 15x^6$

Из этого равенства следует система из двух уравнений: одно для коэффициентов, другое для показателей степени:

1) $C_n^4 = 15$

2) $5n - 24 = 6$

Решим второе, более простое уравнение:

$5n = 6 + 24$

$5n = 30$

$n = 6$

Теперь проверим, удовлетворяет ли найденное значение $n=6$ первому уравнению. Вычислим $C_6^4$:

$C_6^4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = \frac{30}{2} = 15$

Так как $C_6^4 = 15$, первое уравнение также выполняется. Следовательно, значение $n=6$ является решением задачи.

Ответ: 6

143. В корзине лежат фрукты, среди которых 30% бананов и 60% яблок. Какова вероятность того, что выбранный наугад фрукт будет бананом или яблоком?

Для решения задачи определим события:
Событие A: «выбранный наугад фрукт — банан».
Событие B: «выбранный наугад фрукт — яблоко».

Вероятность события равна доле соответствующих фруктов в корзине. Согласно условию, 30% фруктов — бананы, а 60% — яблоки. Переведем проценты в десятичные дроби, чтобы получить вероятности:
Вероятность выбрать банан: $P(A) = 30\% = 0,3$.
Вероятность выбрать яблоко: $P(B) = 60\% = 0,6$.

Нам необходимо найти вероятность того, что выбранный фрукт будет бананом или яблоком. Это соответствует нахождению вероятности суммы двух событий: $P(A+B)$.
События A и B являются несовместными, так как один фрукт не может быть одновременно и бананом, и яблоком. Для несовместных событий вероятность их суммы равна сумме их вероятностей:
$P(A+B) = P(A) + P(B)$

Подставим известные значения в формулу:
$P(A+B) = 0,3 + 0,6 = 0,9$

Следовательно, вероятность того, что случайно выбранный фрукт окажется бананом или яблоком, составляет 0,9.
Ответ: 0,9

144. Завод выпускает 25% продукции высшего сорта, 24% — первого сорта, 48% — второго сорта, а всё остальное — брак. Найдите вероятность того, что на- угад выбранное изделие не будет бракованным.

Чтобы найти вероятность того, что наугад выбранное изделие не будет бракованным, нужно сначала определить долю небракованной продукции. Небракованная продукция — это продукция высшего, первого и второго сортов.

Найдем общую долю продукции, которая не является браком, сложив доли продукции каждого сорта:

$25\% (\text{высший сорт}) + 24\% (\text{первый сорт}) + 48\% (\text{второй сорт}) = 97\%$

Таким образом, 97% всей продукции завода не является браком.

Вероятность события равна доле благоприятных исходов. В данном случае благоприятный исход — это выбор небракованного изделия. Чтобы перевести проценты в вероятность, нужно разделить их на 100:

$P(\text{не бракованное изделие}) = \frac{97}{100} = 0.97$

Альтернативный способ:

Сначала найдем долю бракованной продукции. Вся продукция составляет 100%. Доля качественной продукции равна 97%, как мы вычислили выше. Тогда доля брака составляет:

$100\% - 97\% = 3\%$

Вероятность выбрать бракованное изделие равна $P(\text{брак}) = \frac{3}{100} = 0.03$.

События "изделие бракованное" и "изделие не бракованное" являются противоположными. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Следовательно, вероятность выбрать небракованное изделие равна:

$P(\text{не брак}) = 1 - P(\text{брак}) = 1 - 0.03 = 0.97$

Ответ: 0,97

145. На соревнованиях по стрельбе стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,03, в девятку — 0,2, в восьмёрку — 0,3. Какова вероятность того, что одним выстрелом стрелок наберёт:

1) больше 8 очков;

2) меньше 8 очков;

3) не менее 8 очков?

Обозначим события и их вероятности:
$P(10)$ - вероятность набрать 10 очков (попасть в десятку), $P(10) = 0,03$.
$P(9)$ - вероятность набрать 9 очков (попасть в девятку), $P(9) = 0,2$.
$P(8)$ - вероятность набрать 8 очков (попасть в восьмёрку), $P(8) = 0,3$.
Эти события являются несовместными, так как одним выстрелом нельзя одновременно набрать разное количество очков.

1) больше 8 очков
Событие "набрать больше 8 очков" означает, что стрелок наберёт 9 или 10 очков. Так как события "набрать 9 очков" и "набрать 10 очков" несовместны, вероятность этого события равна сумме их вероятностей:
$P(\text{больше 8 очков}) = P(9) + P(10) = 0,2 + 0,03 = 0,23$.
Ответ: 0,23

2) меньше 8 очков
Сумма вероятностей всех возможных исходов (набрать 10, 9, 8 или меньше 8 очков) равна 1. Событие "набрать меньше 8 очков" является противоположным событию "набрать 8 или больше очков".
Сначала найдем вероятность набрать 8 или больше очков (не менее 8):
$P(\text{не менее 8 очков}) = P(8) + P(9) + P(10) = 0,3 + 0,2 + 0,03 = 0,53$.
Тогда вероятность набрать меньше 8 очков равна:
$P(\text{меньше 8 очков}) = 1 - P(\text{не менее 8 очков}) = 1 - 0,53 = 0,47$.
Ответ: 0,47

3) не менее 8 очков
Событие "набрать не менее 8 очков" означает, что стрелок наберёт 8, 9 или 10 очков. Так как эти события несовместны, вероятность этого события равна сумме их вероятностей:
$P(\text{не менее 8 очков}) = P(8) + P(9) + P(10) = 0,3 + 0,2 + 0,03 = 0,53$.
Ответ: 0,53