Номер 141, страница 61 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

141. В выражении $(\sqrt[3]{7} + \sqrt[4]{2})^{40}$ раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Какое количество полученных слагаемых является рациональными числами?

Для разложения выражения $(\sqrt[3]{7} + \sqrt[4]{2})^{40}$ воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$

В данном случае $a = \sqrt[3]{7} = 7^{1/3}$, $b = \sqrt[4]{2} = 2^{1/4}$ и $n=40$.

Общий член разложения (обозначим его $T_{k+1}$) имеет вид:

$T_{k+1} = C_{40}^k (\sqrt[3]{7})^{40-k} (\sqrt[4]{2})^k = C_{40}^k (7^{1/3})^{40-k} (2^{1/4})^k = C_{40}^k 7^{\frac{40-k}{3}} 2^{\frac{k}{4}}$

где $k$ — целое число от 0 до 40 включительно ($k \in \{0, 1, 2, ..., 40\}$).

Слагаемое $T_{k+1}$ является рациональным числом, если степени, в которые возводятся числа 7 и 2, являются целыми числами. Биномиальный коэффициент $C_{40}^k$ всегда является целым числом, а значит и рациональным.

Таким образом, необходимо, чтобы оба показателя степени были целыми:

1. $\frac{40-k}{3}$ должно быть целым числом. Это означает, что $(40-k)$ должно быть кратно 3.

2. $\frac{k}{4}$ должно быть целым числом. Это означает, что $k$ должно быть кратно 4.

Найдем все значения $k$ в диапазоне от 0 до 40, которые удовлетворяют обоим условиям.

Из второго условия следует, что $k$ должно быть кратно 4. Выпишем все такие возможные значения $k$:

$k \in \{0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40\}$

Теперь проверим для каждого из этих значений выполнение первого условия — делимость $(40-k)$ на 3:

• Если $k=0$, то $40-0=40$. 40 не делится на 3.
• Если $k=4$, то $40-4=36$. 36 делится на 3. Подходит.
• Если $k=8$, то $40-8=32$. 32 не делится на 3.
• Если $k=12$, то $40-12=28$. 28 не делится на 3.
• Если $k=16$, то $40-16=24$. 24 делится на 3. Подходит.
• Если $k=20$, то $40-20=20$. 20 не делится на 3.
• Если $k=24$, то $40-24=16$. 16 не делится на 3.
• Если $k=28$, то $40-28=12$. 12 делится на 3. Подходит.
• Если $k=32$, то $40-32=8$. 8 не делится на 3.
• Если $k=36$, то $40-36=4$. 4 не делится на 3.
• Если $k=40$, то $40-40=0$. 0 делится на 3. Подходит.

Таким образом, мы нашли четыре значения $k$, при которых слагаемые будут рациональными: $k=4, k=16, k=28$ и $k=40$.

Это означает, что в разложении бинома есть ровно 4 рациональных слагаемых.

Ответ: 4