Номер 139, страница 61 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

139. Докажите равенство:

$3^{40} + C_{40}^1 3^{39} + C_{40}^2 3^{38} + \dots + C_{40}^{39} 3^1 + 1 = 7^{80} - C_{80}^1 7^{79} 5^1 + C_{80}^2 7^{78} 5^2 - \dots - C_{80}^{79} 7^1 5^{79} + 5^{80}.$

Для доказательства данного равенства воспользуемся формулой бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$. Мы преобразуем левую и правую части равенства по отдельности.

Анализ левой части

Левая часть равенства имеет вид: $3^{40} + C_{40}^1 3^{39} + C_{40}^2 3^{38} + \dots + C_{40}^{39} 3^1 + 1$.
Перепишем это выражение, используя свойства биномиальных коэффициентов ($C_n^0 = 1$ и $C_n^n = 1$) и тот факт, что $1$ в любой степени равен $1$:
$C_{40}^0 \cdot 3^{40} \cdot 1^0 + C_{40}^1 \cdot 3^{39} \cdot 1^1 + C_{40}^2 \cdot 3^{38} \cdot 1^2 + \dots + C_{40}^{39} \cdot 3^1 \cdot 1^{39} + C_{40}^{40} \cdot 3^0 \cdot 1^{40}$.
Это выражение является разложением бинома Ньютона для $(a+b)^n$ при $a=3$, $b=1$ и $n=40$.
Следовательно, левая часть равна:
$(3+1)^{40} = 4^{40} = (2^2)^{40} = 2^{80}$.

Анализ правой части

Правая часть равенства имеет вид: $7^{80} - C_{80}^1 7^{79} 5^1 + C_{80}^2 7^{78} 5^2 - \dots - C_{80}^{79} 7^1 5^{79} + 5^{80}$.
Это выражение соответствует формуле бинома Ньютона для разности $(a-b)^n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k a^{n-k} b^k$.
Перепишем правую часть, используя $C_{80}^0=1$ и $C_{80}^{80}=1$:
$C_{80}^0 \cdot 7^{80} \cdot 5^0 - C_{80}^1 \cdot 7^{79} \cdot 5^1 + C_{80}^2 \cdot 7^{78} \cdot 5^2 - \dots + (-1)^{79} C_{80}^{79} \cdot 7^1 \cdot 5^{79} + (-1)^{80} C_{80}^{80} \cdot 7^0 \cdot 5^{80}$.
Это является разложением бинома Ньютона для $(a-b)^n$ при $a=7$, $b=5$ и $n=80$.
Следовательно, правая часть равна:
$(7-5)^{80} = 2^{80}$.

Заключение

Мы показали, что левая и правая части исходного выражения равны одному и тому же значению: $2^{80} = 2^{80}$. Таким образом, равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.