gdz.top
Номер 134, страница 60 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: бирюзовый
ISBN: 978-5-09-098610-6
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. Вариант 2. Бином Ньютона - номер 134, страница 60.
№133
№134 (с. 60)
Условие. №134 (с. 60)
134. Вычислите сумму $2^n + C_n^1 2^{n-1} + C_n^2 2^{n-2} + ... + C_n^{n-1} 2 + 1.$
Решение. №134 (с. 60)
Для вычисления данной суммы воспользуемся формулой бинома Ньютона:
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^{n-1} a^1 b^{n-1} + C_n^n a^0 b^n$.
Заданная в условии сумма:
$S = 2^n + C_n^1 2^{n-1} + C_n^2 2^{n-2} + \dots + C_n^{n-1} 2 + 1$.
Перепишем первый и последний члены этой суммы, используя биномиальные коэффициенты. Известно, что $C_n^0 = 1$ и $C_n^n = 1$. Тогда:
$S = C_n^0 \cdot 2^n + C_n^1 \cdot 2^{n-1} + C_n^2 \cdot 2^{n-2} + \dots + C_n^{n-1} \cdot 2^1 + C_n^n \cdot 1$.
Заметим, что число $1$ можно представить как $1$ в любой степени, так как $1^k = 1$ для любого $k$. Также $2^0=1$. Представим сумму в следующем виде, чтобы она соответствовала формуле бинома:
$S = C_n^0 \cdot 2^n \cdot 1^0 + C_n^1 \cdot 2^{n-1} \cdot 1^1 + C_n^2 \cdot 2^{n-2} \cdot 1^2 + \dots + C_n^{n-1} \cdot 2^1 \cdot 1^{n-1} + C_n^n \cdot 2^0 \cdot 1^n$.
Полученное выражение в точности соответствует разложению бинома Ньютона для $(a+b)^n$ при $a=2$ и $b=1$.
Следовательно, искомая сумма равна:
$S = (2+1)^n = 3^n$.
Ответ: $3^n$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 134 расположенного на странице 60 к дидактическим материалам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №134 (с. 60), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.