Номер 138, страница 61 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

138. Найдите сумму чисел, стоящих на нечётных местах в 27-й строке треугольника Паскаля.

Для решения этой задачи необходимо использовать свойства биномиальных коэффициентов, которые составляют строки треугольника Паскаля.

Принято нумеровать строки треугольника Паскаля, начиная с нулевой. Таким образом, 27-я строка соответствует номеру $n=26$. Элементы этой строки представляют собой биномиальные коэффициенты от $C_{26}^0$ до $C_{26}^{26}$:

$C_{26}^0, C_{26}^1, C_{26}^2, C_{26}^3, \dots, C_{26}^{26}$

Места (позиции) в строке нумеруются с единицы.
1-е место: $C_{26}^0$
2-е место: $C_{26}^1$
3-е место: $C_{26}^2$
и так далее.

Нас интересует сумма чисел, стоящих на нечётных местах (1-м, 3-м, 5-м и т.д.). Это соответствует сумме биномиальных коэффициентов с чётными нижними индексами:

$S = C_{26}^0 + C_{26}^2 + C_{26}^4 + \dots + C_{26}^{26}$

Для нахождения этой суммы воспользуемся двумя известными свойствами, которые следуют из формулы бинома Ньютона $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$.

1. Сумма всех коэффициентов в $n$-й строке равна $2^n$. Это получается при $a=1$ и $b=1$:
$(1+1)^n = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n = 2^n$.

2. Сумма коэффициентов с чередующимися знаками для $n>0$ равна 0. Это получается при $a=1$ и $b=-1$:
$(1-1)^n = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - \dots + (-1)^n C_n^n = 0$.
Из этого равенства следует, что сумма коэффициентов на чётных позициях (с нечётными нижними индексами) равна сумме коэффициентов на нечётных позициях (с чётными нижними индексами):
$C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + \dots = C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \dots$

Таким образом, общая сумма $2^n$ делится поровну между суммой чисел на нечётных местах и суммой чисел на чётных местах. Следовательно, сумма чисел на нечётных местах равна половине общей суммы:

$S = \frac{2^n}{2} = 2^{n-1}$

В нашем случае $n=26$, поэтому искомая сумма равна:

$S = 2^{26-1} = 2^{25}$

Вычислим это значение:

$2^{10} = 1024$
$2^{20} = (2^{10})^2 = 1024^2 = 1048576$
$2^{25} = 2^{20} \cdot 2^5 = 1048576 \cdot 32 = 33554432$

Ответ: $33554432$