Номер 133, страница 60 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

133. Раскройте скобки в выражении:

1) $(a-b)^5;$

2) $(1-2y)^6;$

3) $(b^2+1)^4;$

4) $\left(\frac{1}{y}-1\right)^7.$

Для раскрытия скобок в выражениях вида $(x+y)^n$ используется формула бинома Ньютона:
$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} y^k = C_n^0 x^n y^0 + C_n^1 x^{n-1} y^1 + \dots + C_n^n x^0 y^n$,
где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты. Эти коэффициенты удобно находить с помощью треугольника Паскаля.

1) Для раскрытия скобок в выражении $(a - b)^5$ воспользуемся формулой бинома Ньютона для $n=5$. Биномиальные коэффициенты для $n=5$ равны 1, 5, 10, 10, 5, 1. Так как второй член в скобках отрицательный ($-b$), знаки в разложении будут чередоваться.
$(a - b)^5 = C_5^0 a^5 (-b)^0 + C_5^1 a^4 (-b)^1 + C_5^2 a^3 (-b)^2 + C_5^3 a^2 (-b)^3 + C_5^4 a^1 (-b)^4 + C_5^5 a^0 (-b)^5$
$= 1 \cdot a^5 \cdot 1 + 5 \cdot a^4 \cdot (-b) + 10 \cdot a^3 \cdot b^2 + 10 \cdot a^2 \cdot (-b^3) + 5 \cdot a \cdot b^4 + 1 \cdot 1 \cdot (-b^5)$
$= a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5$
Ответ: $a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5$

2) Для раскрытия скобок в выражении $(1 - 2y)^6$ применим формулу бинома Ньютона для $n=6$. Биномиальные коэффициенты для $n=6$ равны 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Первый член в скобках — 1, второй — $(-2y)$.
$(1 - 2y)^6 = C_6^0 1^6 (-2y)^0 + C_6^1 1^5 (-2y)^1 + C_6^2 1^4 (-2y)^2 + C_6^3 1^3 (-2y)^3 + C_6^4 1^2 (-2y)^4 + C_6^5 1^1 (-2y)^5 + C_6^6 1^0 (-2y)^6$
$= 1 \cdot 1 \cdot 1 + 6 \cdot 1 \cdot (-2y) + 15 \cdot 1 \cdot (4y^2) + 20 \cdot 1 \cdot (-8y^3) + 15 \cdot 1 \cdot (16y^4) + 6 \cdot 1 \cdot (-32y^5) + 1 \cdot 1 \cdot (64y^6)$
$= 1 - 12y + 60y^2 - 160y^3 + 240y^4 - 192y^5 + 64y^6$
Ответ: $1 - 12y + 60y^2 - 160y^3 + 240y^4 - 192y^5 + 64y^6$

3) Для раскрытия скобок в выражении $(b^2 + 1)^4$ используем формулу бинома Ньютона для $n=4$. Коэффициенты для $n=4$: 1, 4, 6, 4, 1. Члены в скобках: $b^2$ и 1.
$(b^2 + 1)^4 = C_4^0 (b^2)^4 (1)^0 + C_4^1 (b^2)^3 (1)^1 + C_4^2 (b^2)^2 (1)^2 + C_4^3 (b^2)^1 (1)^3 + C_4^4 (b^2)^0 (1)^4$
$= 1 \cdot (b^2)^4 + 4 \cdot (b^2)^3 + 6 \cdot (b^2)^2 + 4 \cdot b^2 + 1 \cdot 1$
$= b^8 + 4b^6 + 6b^4 + 4b^2 + 1$
Ответ: $b^8 + 4b^6 + 6b^4 + 4b^2 + 1$

4) Для раскрытия скобок в выражении $(\frac{1}{y} - 1)^7$ применим формулу бинома Ньютона для $n=7$. Коэффициенты для $n=7$: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1. Члены в скобках: $\frac{1}{y}$ и $-1$.
$(\frac{1}{y} - 1)^7 = C_7^0 (\frac{1}{y})^7 (-1)^0 + C_7^1 (\frac{1}{y})^6 (-1)^1 + C_7^2 (\frac{1}{y})^5 (-1)^2 + C_7^3 (\frac{1}{y})^4 (-1)^3 + C_7^4 (\frac{1}{y})^3 (-1)^4 + C_7^5 (\frac{1}{y})^2 (-1)^5 + C_7^6 (\frac{1}{y})^1 (-1)^6 + C_7^7 (\frac{1}{y})^0 (-1)^7$
$= 1 \cdot \frac{1}{y^7} \cdot 1 + 7 \cdot \frac{1}{y^6} \cdot (-1) + 21 \cdot \frac{1}{y^5} \cdot 1 + 35 \cdot \frac{1}{y^4} \cdot (-1) + 35 \cdot \frac{1}{y^3} \cdot 1 + 21 \cdot \frac{1}{y^2} \cdot (-1) + 7 \cdot \frac{1}{y} \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (-1)$
$= \frac{1}{y^7} - \frac{7}{y^6} + \frac{21}{y^5} - \frac{35}{y^4} + \frac{35}{y^3} - \frac{21}{y^2} + \frac{7}{y} - 1$
Ответ: $\frac{1}{y^7} - \frac{7}{y^6} + \frac{21}{y^5} - \frac{35}{y^4} + \frac{35}{y^3} - \frac{21}{y^2} + \frac{7}{y} - 1$