Номер 126, страница 59 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

126. В воинском подразделении служат 7 офицеров и 30 рядовых солдат. Сколько существует способов сформировать группу для участия в параде, которая должна состоять из трёх офицеров и 12 рядовых?

Для решения данной задачи необходимо использовать формулы комбинаторики. Задача сводится к двум независимым выборам: выбор офицеров и выбор рядовых. Поскольку порядок выбора людей внутри каждой группы не важен, мы будем использовать сочетания.

Общее количество способов формирования группы будет равно произведению числа способов выбора офицеров и числа способов выбора рядовых.

1. Вычисление количества способов выбрать офицеров.

Нужно выбрать 3 офицеров из 7 имеющихся. Количество сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=7$ и $k=3$.

$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{3 \times 2 \times 1 \times 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{6} = 35$

Таким образом, существует 35 способов выбрать 3 офицеров из 7.

2. Вычисление количества способов выбрать рядовых.

Нужно выбрать 12 рядовых из 30 имеющихся. Используем ту же формулу сочетаний, где $n=30$ и $k=12$.

$C_{30}^{12} = \frac{30!}{12!(30-12)!} = \frac{30!}{12!18!}$

Это большое число, которое можно вычислить, сократив дробь:

$C_{30}^{12} = \frac{30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20 \times 19}{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 86\,493\,225$

Таким образом, существует 86 493 225 способов выбрать 12 рядовых из 30.

3. Вычисление общего количества способов.

Чтобы найти общее количество способов сформировать требуемую группу, необходимо перемножить количество способов выбора офицеров и количество способов выбора рядовых (согласно правилу произведения в комбинаторике).

Общее число способов = $C_7^3 \times C_{30}^{12} = 35 \times 86\,493\,225 = 3\,027\,262\,875$

Ответ: $3\,027\,262\,875$ способов.