Номер 124, страница 59 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

124. На окружности отметили 32 точки. Каких многоугольников с вершинами в отмеченных точках больше: восемнадцатиугольников или четырнадцатиугольников?

Чтобы определить, каких многоугольников больше, необходимо вычислить и сравнить количество способов, которыми можно выбрать вершины для каждого из них из 32 данных точек. Выбор $k$ вершин из $n$ точек для построения $k$-угольника — это задача на нахождение числа сочетаний, поскольку порядок выбора вершин не влияет на итоговый многоугольник. Число сочетаний из $n$ по $k$ вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае общее количество точек $n = 32$.

Количество способов составить семнадцатиугольник ($k=17$) равно числу сочетаний из 32 по 17:
$N_{17} = C_{32}^{17} = \frac{32!}{17!(32-17)!} = \frac{32!}{17!15!}$

Количество способов составить четырнадцатиугольник ($k=14$) равно числу сочетаний из 32 по 14:
$N_{14} = C_{32}^{14} = \frac{32!}{14!(32-14)!} = \frac{32!}{14!18!}$

Для сравнения этих двух значений воспользуемся свойством симметрии биномиальных коэффициентов: $C_n^k = C_n^{n-k}$.
Применим это свойство к числу семнадцатиугольников:
$C_{32}^{17} = C_{32}^{32-17} = C_{32}^{15}$
Теперь задача сводится к сравнению $C_{32}^{15}$ и $C_{32}^{14}$.

Известно, что для заданного $n$ значение $C_n^k$ увеличивается при увеличении $k$ от 0 до $n/2$. В нашем случае $n/2 = 32/2 = 16$. Так как $14 < 15$ и оба числа меньше 16, то выполняется неравенство $C_{32}^{14} < C_{32}^{15}$.

Отсюда следует, что $C_{32}^{14} < C_{32}^{17}$, а значит, семнадцатиугольников можно образовать больше, чем четырнадцатиугольников.

Ответ: семнадцатиугольников больше.