Номер 119, страница 59 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

119. В воинском подразделении служат 5 сержантов и 8 рядовых солдат. Сколько существует способов расставить по одному часовому на семи этажах здания, если на первом и последнем этажах должны дежурить сержанты?

Для решения задачи разобьем процесс расстановки часовых на последовательные этапы и воспользуемся правилом произведения из комбинаторики.

1. Выбор и расстановка сержантов на первый и последний этажи.

По условию, на первом и седьмом (последнем) этажах должны дежурить сержанты. Всего в подразделении 5 сержантов. Нам нужно выбрать 2 из 5 сержантов и разместить их на двух этих постах. Поскольку порядок их расстановки важен (кто именно стоит на первом этаже, а кто на последнем), мы используем формулу для числа размещений:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
В данном случае, $n=5$ (общее число сержантов), а $k=2$ (число постов для сержантов).
Количество способов выбрать и расставить двух сержантов равно:
$A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = 5 \times 4 = 20$ способов.

2. Расстановка остальных часовых на оставшиеся этажи.

После того как два сержанта были назначены на посты, нам необходимо расставить часовых на оставшиеся $7 - 2 = 5$ этажей (со второго по шестой).
Определим, сколько человек осталось для этих постов. Изначально было 5 сержантов и 8 рядовых (всего 13 человек). После назначения двух сержантов осталось $5 - 2 = 3$ сержанта и 8 рядовых, что в сумме составляет $3 + 8 = 11$ человек.
Теперь нужно выбрать 5 человек из этих 11 и расставить их на 5 свободных этажах. Это снова является задачей на размещения, так как важен порядок расстановки по этажам.
Число способов сделать это равно:
$A_{11}^5 = \frac{11!}{(11-5)!} = \frac{11!}{6!} = 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 55440$ способов.

3. Нахождение общего числа способов.

Согласно правилу произведения, общее число способов расстановки всех часовых равно произведению числа способов на каждом из этапов.
Общее число способов = (число способов расставить сержантов) × (число способов расставить остальных).
$N = A_5^2 \times A_{11}^5 = 20 \times 55440 = 1108800$.

Ответ: 1108800