Номер 115, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

115. Сколько существует шестизначных чисел, кратных 5, в записи которых каждая из цифр 1, 2, 3, 5, 7, 8 используется по одному разу?

Для решения задачи необходимо определить, сколько шестизначных чисел можно составить из заданных цифр, чтобы они удовлетворяли двум условиям: были кратны 5 и каждая цифра использовалась только один раз.

Заданный набор цифр: {1, 2, 3, 5, 7, 8}. Всего 6 цифр, что соответствует количеству разрядов в искомом числе.

1. Условие кратности 5

Число делится на 5 без остатка, если его последняя цифра (цифра в разряде единиц) — это 0 или 5. В нашем наборе цифр {1, 2, 3, 5, 7, 8} есть только одна подходящая цифра — это 5. Следовательно, чтобы число было кратным 5, оно должно оканчиваться на 5.

Таким образом, последняя, шестая, позиция в числе зафиксирована:

_ _ _ _ _ 5

2. Расстановка оставшихся цифр

После того как мы определили последнюю цифру, у нас остались 5 цифр: {1, 2, 3, 7, 8}. Эти 5 цифр нужно расставить на оставшиеся 5 свободных позиций (десятки тысяч, тысячи, сотни, десятки и единицы). Так как все цифры должны использоваться по одному разу, нам нужно найти количество перестановок для этих 5 цифр.

Количество способов расставить $n$ различных элементов по $n$ позициям вычисляется по формуле перестановок: $P_n = n!$.

В нашем случае $n=5$, так как осталось 5 цифр для 5 позиций. Вычислим количество возможных комбинаций:

$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

Таким образом, существует 120 способов расставить оставшиеся 5 цифр. Каждая такая расстановка образует уникальное шестизначное число, кратное 5, с использованием заданных цифр.

Ответ: 120