Номер 110, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

110. Найдите значение выражения:

1) $\frac{P_{12} - P_{11}}{11P_{10}};$

2) $\frac{A_{13}^3}{A_{14}^4 - A_{13}^4};$

3) $\frac{A_{15}^{12}}{A_{16}^3 \cdot P_{12}}.$

1) Для решения этой задачи воспользуемся определением перестановки $P_n = n!$.
Исходное выражение: $\frac{P_{12} - P_{11}}{11P_{10}}$.
Заменим $P_n$ на $n!$: $\frac{12! - 11!}{11 \cdot 10!}$.
Вынесем в числителе общий множитель $11!$. Так как $12! = 12 \cdot 11!$, получим: $\frac{12 \cdot 11! - 11!}{11 \cdot 10!} = \frac{11!(12-1)}{11 \cdot 10!} = \frac{11! \cdot 11}{11 \cdot 10!}$.
Сократим на 11: $\frac{11!}{10!}$.
Так как $11! = 11 \cdot 10!$, получаем: $\frac{11 \cdot 10!}{10!} = 11$.
Ответ: 11.

2) Для решения этой задачи воспользуемся определением размещения $A_n^k = n(n-1)...(n-k+1)$.
Исходное выражение: $\frac{A_{13}^3}{A_{14}^4 - A_{13}^4}$.
Распишем числитель и знаменатель:
$A_{13}^3 = 13 \cdot 12 \cdot 11$.
$A_{14}^4 = 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11$.
$A_{13}^4 = 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10$.
Подставим эти значения в знаменатель: $A_{14}^4 - A_{13}^4 = (14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11) - (13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10)$.
Вынесем общий множитель $13 \cdot 12 \cdot 11$: $(13 \cdot 12 \cdot 11)(14 - 10) = (13 \cdot 12 \cdot 11) \cdot 4$.
Теперь подставим полученные выражения для числителя и знаменателя в исходную дробь: $\frac{13 \cdot 12 \cdot 11}{(13 \cdot 12 \cdot 11) \cdot 4}$.
Сократим дробь на $(13 \cdot 12 \cdot 11)$ и получим $\frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

3) Для решения этой задачи воспользуемся формулами для числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ и числа перестановок $P_n = n!$.
Исходное выражение: $\frac{A_{15}^{12}}{A_{16}^3 \cdot P_{12}}$.
Запишем каждый компонент через факториалы:
$A_{15}^{12} = \frac{15!}{(15-12)!} = \frac{15!}{3!}$.
$A_{16}^3 = \frac{16!}{(16-3)!} = \frac{16!}{13!}$.
$P_{12} = 12!$.
Подставим в исходное выражение: $\frac{\frac{15!}{3!}}{\frac{16!}{13!} \cdot 12!} = \frac{15! \cdot 13!}{3! \cdot 16! \cdot 12!}$.
Теперь упростим выражение, используя свойства факториалов $n! = n \cdot (n-1)!$ и $3! = 6$:
$16! = 16 \cdot 15!$.
$13! = 13 \cdot 12!$.
Подставим и сократим: $\frac{15! \cdot (13 \cdot 12!)}{3! \cdot (16 \cdot 15!) \cdot 12!} = \frac{15! \cdot 13 \cdot 12!}{6 \cdot 16 \cdot 15! \cdot 12!}$.
Сокращаем $15!$ и $12!$ в числителе и знаменателе: $\frac{13}{6 \cdot 16}$.
Выполним умножение в знаменателе: $\frac{13}{96}$.
Ответ: $\frac{13}{96}$.