Номер 111, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

111. Решите в натуральных числах уравнение:

1) $A_{x+2}^2 = 72;$

2) $A_{x+3}^3 = 15(x + 2);$

3) $A_{x+4}^{x+1} = 10P_{x+1}.$

1) Решим уравнение $A_{x+2}^2 = 72$.

Формула для числа размещений из $n$ по $k$ определяется как $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)...(n-k+1)$.

Применим эту формулу к левой части уравнения: $A_{x+2}^2 = (x+2)(x+2-1) = (x+2)(x+1)$.

Таким образом, исходное уравнение принимает вид: $(x+2)(x+1) = 72$.

По условию задачи, $x$ является натуральным числом, то есть $x \in \{1, 2, 3, ...\}$. Это условие обеспечивает выполнение ограничения для размещений $n \ge k$, так как $x+2 \ge 2$, что эквивалентно $x \ge 0$.

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартный вид квадратного уравнения:
$x^2 + x + 2x + 2 = 72$
$x^2 + 3x - 70 = 0$.

Для нахождения корней вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 9 + 280 = 289 = 17^2$.

Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 17}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 17}{2} = \frac{-20}{2} = -10$.

Поскольку $x$ должен быть натуральным числом, корень $x_2 = -10$ не является решением. Единственным подходящим корнем является $x = 7$.

Ответ: 7

2) Решим уравнение $A_{x+3}^3 = 15(x+2)$.

Используя формулу для числа размещений, преобразуем левую часть:
$A_{x+3}^3 = (x+3)(x+3-1)(x+3-2) = (x+3)(x+2)(x+1)$.

Подставим полученное выражение в уравнение:
$(x+3)(x+2)(x+1) = 15(x+2)$.

Так как $x$ - натуральное число, $x \ge 1$, следовательно, множитель $(x+2)$ строго положителен ($x+2 \ge 3$). Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $(x+2)$ без потери корней:

$(x+3)(x+1) = 15$.

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:
$x^2 + x + 3x + 3 = 15$
$x^2 + 4x - 12 = 0$.

Найдем корни квадратного уравнения. Воспользуемся теоремой Виета: произведение корней равно $-12$, а их сумма равна $-4$. Подбором находим корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -6$.
Альтернативно, через дискриминант:
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.
$x_1 = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.

Согласно условию, $x$ должен быть натуральным числом, поэтому корень $x_2 = -6$ не подходит. Решением является $x=2$.

Ответ: 2

3) Решим уравнение $A_{x+4}^{x+1} = 10 P_{x+1}$.

Воспользуемся определениями размещений и перестановок:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
$P_n = n!$.

Преобразуем левую часть уравнения:
$A_{x+4}^{x+1} = \frac{(x+4)!}{((x+4)-(x+1))!} = \frac{(x+4)!}{3!} = \frac{(x+4)!}{6}$.

Правая часть уравнения: $10 P_{x+1} = 10 \cdot (x+1)!$.

Теперь уравнение выглядит так: $\frac{(x+4)!}{6} = 10 \cdot (x+1)!$.

Представим $(x+4)!$ как $(x+4)(x+3)(x+2)(x+1)!$:
$\frac{(x+4)(x+3)(x+2)(x+1)!}{6} = 10 \cdot (x+1)!$.

Поскольку $x$ - натуральное число, то $(x+1)!$ не равно нулю, и мы можем сократить обе части уравнения на этот множитель:
$\frac{(x+4)(x+3)(x+2)}{6} = 10$.

Умножим обе части на 6:
$(x+4)(x+3)(x+2) = 60$.

В левой части стоит произведение трех последовательных натуральных чисел. Решим это уравнение подбором. Нам нужно найти три последовательных целых числа, произведение которых равно 60.
Разложим 60 на множители: $60 = 3 \cdot 4 \cdot 5$.
Это и есть три искомых последовательных числа.

Следовательно, мы можем приравнять множители:
$x+2=3 \implies x=1$
$x+3=4 \implies x=1$
$x+4=5 \implies x=1$.

Единственное натуральное решение - это $x=1$. Так как функция $f(x) = (x+4)(x+3)(x+2)$ монотонно возрастает при $x > 0$, других натуральных корней у уравнения нет.

Ответ: 1