Страница 58 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

108. Докажите, что для любого натурального $n$ значение выражения:

1) $17^n + 25 \cdot 4^n$ кратно 13;

2) $9^{n+1} - 8n - 9$ кратно 64.

109. Упростите выражение:

1) $\frac{(n+2)!}{(n+1)!}$

2) $\frac{(n-1)!}{(n+1)!} - \frac{n!}{(n+2)!}$

1)

Для упрощения выражения $\frac{(n+2)!}{(n+1)!}$ воспользуемся основным свойством факториала: $k! = k \cdot (k-1)!$.

Представим числитель $(n+2)!$ следующим образом:
$(n+2)! = (n+2) \cdot ((n+2)-1)! = (n+2) \cdot (n+1)!$.

Теперь подставим полученное выражение в исходную дробь:
$\frac{(n+2)!}{(n+1)!} = \frac{(n+2) \cdot (n+1)!}{(n+1)!}$.

Сократим общий множитель $(n+1)!$ в числителе и знаменателе:
$\frac{(n+2) \cdot \cancel{(n+1)!}}{\cancel{(n+1)!}} = n+2$.

Ответ: $n+2$.

2)

Рассмотрим выражение $\frac{(n-1)!}{(n+1)!} - \frac{n!}{(n+2)!}$. Для его упрощения преобразуем каждую дробь по отдельности, используя свойство факториала.

Упростим первую дробь, представив знаменатель $(n+1)!$ в виде $(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!$:
$\frac{(n-1)!}{(n+1)!} = \frac{(n-1)!}{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!} = \frac{1}{n(n+1)}$.

Упростим вторую дробь, представив знаменатель $(n+2)!$ в виде $(n+2) \cdot (n+1) \cdot n!$:
$\frac{n!}{(n+2)!} = \frac{n!}{(n+2) \cdot (n+1) \cdot n!} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$.

Теперь выполним вычитание полученных дробей:
$\frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $n(n+1)(n+2)$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(n+2)$, а второй — на $n$:
$\frac{1 \cdot (n+2)}{n(n+1)(n+2)} - \frac{1 \cdot n}{n(n+1)(n+2)} = \frac{n+2}{n(n+1)(n+2)} - \frac{n}{n(n+1)(n+2)}$.

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{(n+2) - n}{n(n+1)(n+2)} = \frac{2}{n(n+1)(n+2)}$.

Ответ: $\frac{2}{n(n+1)(n+2)}$.

110. Найдите значение выражения:

1) $\frac{P_{12} - P_{11}}{11P_{10}};$

2) $\frac{A_{13}^3}{A_{14}^4 - A_{13}^4};$

3) $\frac{A_{15}^{12}}{A_{16}^3 \cdot P_{12}}.$

1) Для решения этой задачи воспользуемся определением перестановки $P_n = n!$.
Исходное выражение: $\frac{P_{12} - P_{11}}{11P_{10}}$.
Заменим $P_n$ на $n!$: $\frac{12! - 11!}{11 \cdot 10!}$.
Вынесем в числителе общий множитель $11!$. Так как $12! = 12 \cdot 11!$, получим: $\frac{12 \cdot 11! - 11!}{11 \cdot 10!} = \frac{11!(12-1)}{11 \cdot 10!} = \frac{11! \cdot 11}{11 \cdot 10!}$.
Сократим на 11: $\frac{11!}{10!}$.
Так как $11! = 11 \cdot 10!$, получаем: $\frac{11 \cdot 10!}{10!} = 11$.
Ответ: 11.

2) Для решения этой задачи воспользуемся определением размещения $A_n^k = n(n-1)...(n-k+1)$.
Исходное выражение: $\frac{A_{13}^3}{A_{14}^4 - A_{13}^4}$.
Распишем числитель и знаменатель:
$A_{13}^3 = 13 \cdot 12 \cdot 11$.
$A_{14}^4 = 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11$.
$A_{13}^4 = 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10$.
Подставим эти значения в знаменатель: $A_{14}^4 - A_{13}^4 = (14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11) - (13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10)$.
Вынесем общий множитель $13 \cdot 12 \cdot 11$: $(13 \cdot 12 \cdot 11)(14 - 10) = (13 \cdot 12 \cdot 11) \cdot 4$.
Теперь подставим полученные выражения для числителя и знаменателя в исходную дробь: $\frac{13 \cdot 12 \cdot 11}{(13 \cdot 12 \cdot 11) \cdot 4}$.
Сократим дробь на $(13 \cdot 12 \cdot 11)$ и получим $\frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

3) Для решения этой задачи воспользуемся формулами для числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ и числа перестановок $P_n = n!$.
Исходное выражение: $\frac{A_{15}^{12}}{A_{16}^3 \cdot P_{12}}$.
Запишем каждый компонент через факториалы:
$A_{15}^{12} = \frac{15!}{(15-12)!} = \frac{15!}{3!}$.
$A_{16}^3 = \frac{16!}{(16-3)!} = \frac{16!}{13!}$.
$P_{12} = 12!$.
Подставим в исходное выражение: $\frac{\frac{15!}{3!}}{\frac{16!}{13!} \cdot 12!} = \frac{15! \cdot 13!}{3! \cdot 16! \cdot 12!}$.
Теперь упростим выражение, используя свойства факториалов $n! = n \cdot (n-1)!$ и $3! = 6$:
$16! = 16 \cdot 15!$.
$13! = 13 \cdot 12!$.
Подставим и сократим: $\frac{15! \cdot (13 \cdot 12!)}{3! \cdot (16 \cdot 15!) \cdot 12!} = \frac{15! \cdot 13 \cdot 12!}{6 \cdot 16 \cdot 15! \cdot 12!}$.
Сокращаем $15!$ и $12!$ в числителе и знаменателе: $\frac{13}{6 \cdot 16}$.
Выполним умножение в знаменателе: $\frac{13}{96}$.
Ответ: $\frac{13}{96}$.

111. Решите в натуральных числах уравнение:

1) $A_{x+2}^2 = 72;$

2) $A_{x+3}^3 = 15(x + 2);$

3) $A_{x+4}^{x+1} = 10P_{x+1}.$

1) Решим уравнение $A_{x+2}^2 = 72$.

Формула для числа размещений из $n$ по $k$ определяется как $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)...(n-k+1)$.

Применим эту формулу к левой части уравнения: $A_{x+2}^2 = (x+2)(x+2-1) = (x+2)(x+1)$.

Таким образом, исходное уравнение принимает вид: $(x+2)(x+1) = 72$.

По условию задачи, $x$ является натуральным числом, то есть $x \in \{1, 2, 3, ...\}$. Это условие обеспечивает выполнение ограничения для размещений $n \ge k$, так как $x+2 \ge 2$, что эквивалентно $x \ge 0$.

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартный вид квадратного уравнения:
$x^2 + x + 2x + 2 = 72$
$x^2 + 3x - 70 = 0$.

Для нахождения корней вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 9 + 280 = 289 = 17^2$.

Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 17}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 17}{2} = \frac{-20}{2} = -10$.

Поскольку $x$ должен быть натуральным числом, корень $x_2 = -10$ не является решением. Единственным подходящим корнем является $x = 7$.

Ответ: 7

2) Решим уравнение $A_{x+3}^3 = 15(x+2)$.

Используя формулу для числа размещений, преобразуем левую часть:
$A_{x+3}^3 = (x+3)(x+3-1)(x+3-2) = (x+3)(x+2)(x+1)$.

Подставим полученное выражение в уравнение:
$(x+3)(x+2)(x+1) = 15(x+2)$.

Так как $x$ - натуральное число, $x \ge 1$, следовательно, множитель $(x+2)$ строго положителен ($x+2 \ge 3$). Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $(x+2)$ без потери корней:

$(x+3)(x+1) = 15$.

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:
$x^2 + x + 3x + 3 = 15$
$x^2 + 4x - 12 = 0$.

Найдем корни квадратного уравнения. Воспользуемся теоремой Виета: произведение корней равно $-12$, а их сумма равна $-4$. Подбором находим корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -6$.
Альтернативно, через дискриминант:
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.
$x_1 = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.

Согласно условию, $x$ должен быть натуральным числом, поэтому корень $x_2 = -6$ не подходит. Решением является $x=2$.

Ответ: 2

3) Решим уравнение $A_{x+4}^{x+1} = 10 P_{x+1}$.

Воспользуемся определениями размещений и перестановок:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
$P_n = n!$.

Преобразуем левую часть уравнения:
$A_{x+4}^{x+1} = \frac{(x+4)!}{((x+4)-(x+1))!} = \frac{(x+4)!}{3!} = \frac{(x+4)!}{6}$.

Правая часть уравнения: $10 P_{x+1} = 10 \cdot (x+1)!$.

Теперь уравнение выглядит так: $\frac{(x+4)!}{6} = 10 \cdot (x+1)!$.

Представим $(x+4)!$ как $(x+4)(x+3)(x+2)(x+1)!$:
$\frac{(x+4)(x+3)(x+2)(x+1)!}{6} = 10 \cdot (x+1)!$.

Поскольку $x$ - натуральное число, то $(x+1)!$ не равно нулю, и мы можем сократить обе части уравнения на этот множитель:
$\frac{(x+4)(x+3)(x+2)}{6} = 10$.

Умножим обе части на 6:
$(x+4)(x+3)(x+2) = 60$.

В левой части стоит произведение трех последовательных натуральных чисел. Решим это уравнение подбором. Нам нужно найти три последовательных целых числа, произведение которых равно 60.
Разложим 60 на множители: $60 = 3 \cdot 4 \cdot 5$.
Это и есть три искомых последовательных числа.

Следовательно, мы можем приравнять множители:
$x+2=3 \implies x=1$
$x+3=4 \implies x=1$
$x+4=5 \implies x=1$.

Единственное натуральное решение - это $x=1$. Так как функция $f(x) = (x+4)(x+3)(x+2)$ монотонно возрастает при $x > 0$, других натуральных корней у уравнения нет.

Ответ: 1

112. Сколько существует трёхзначных чисел, в записи которых каждая из цифр 2, 6, 9 используется один раз?

Для того чтобы найти количество трёхзначных чисел, в записи которых каждая из цифр 2, 6, 9 используется один раз, необходимо найти число перестановок из этих трёх цифр.

Трёхзначное число состоит из трёх позиций: сотен, десятков и единиц. Рассуждаем следующим образом:
1. На позицию сотен можно поставить любую из трёх данных цифр (2, 6 или 9). Следовательно, у нас есть 3 варианта выбора.
2. После того как цифра для позиции сотен выбрана, для позиции десятков остаются две цифры. Таким образом, есть 2 варианта выбора.
3. Для позиции единиц остаётся только одна неиспользованная цифра, то есть 1 вариант.

Чтобы найти общее количество комбинаций, необходимо перемножить количество вариантов для каждой позиции (согласно комбинаторному правилу умножения):
$3 \times 2 \times 1 = 6$

Это число также является количеством перестановок из 3 элементов, которое вычисляется по формуле $P_n = n!$. В нашем случае $n=3$, поэтому:
$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Для наглядности можно перечислить все возможные числа: 269, 296, 629, 692, 926, 962.

Ответ: 6

113. Сколько существует способов расставить 6 солдат в шеренгу?

Эта задача относится к разделу комбинаторики и заключается в нахождении числа перестановок. Нам необходимо определить, сколькими способами можно расположить 6 различных солдат в один ряд (шеренгу).

Представим 6 позиций в шеренге:
1. На первую позицию можно поставить любого из 6 солдат. У нас есть 6 вариантов.
2. После того, как один солдат занял первую позицию, на вторую позицию можно поставить любого из оставшихся 5 солдат. У нас есть 5 вариантов.
3. На третью позицию можно поставить любого из оставшихся 4 солдат (4 варианта).
4. На четвертую — любого из оставшихся 3 солдат (3 варианта).
5. На пятую — одного из 2 оставшихся солдат (2 варианта).
6. На последнюю, шестую, позицию остаётся только 1 солдат (1 вариант).

Чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции. Это число является количеством перестановок из 6 элементов и вычисляется как факториал числа 6, обозначаемый как $6!$.

Формула для числа перестановок из $n$ элементов: $P_n = n!$.
В данном случае $n = 6$:
$P_6 = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

Выполним вычисления:
$6! = 30 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \times 3 \times 2 \times 1 = 360 \times 2 \times 1 = 720 \times 1 = 720$.

Следовательно, существует 720 различных способов расставить 6 солдат в шеренгу.
Ответ: 720

114. Сколько существует способов рассадить 7 человек на семи стульях?

Данная задача является классической задачей на перестановки из области комбинаторики. Нам нужно определить, сколькими способами можно упорядочить 7 различных объектов (людей) на 7 различных местах (стульях).

Рассуждать можно следующим образом:
- На первый стул может сесть любой из 7 человек, то есть существует 7 вариантов.
- После того как один человек занял место, на второй стул может сесть любой из оставшихся 6 человек (6 вариантов).
- На третий стул может сесть любой из оставшихся 5 человек (5 вариантов).
- И так далее, пока не останется последний, седьмой человек, для которого будет только один свободный стул (1 вариант).

Чтобы найти общее число способов, необходимо перемножить число вариантов для каждого стула. Это произведение называется факториалом числа 7 и обозначается как $7!$.

Формула для числа перестановок $n$ элементов выглядит так:
$P_n = n!$
В нашем случае $n = 7$.

Вычислим значение $7!$:
$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$
$7! = 42 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$
$7! = 210 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$
$7! = 840 \times 3 \times 2 \times 1$
$7! = 2520 \times 2 \times 1$
$7! = 5040$

Следовательно, существует 5040 различных способов рассадить 7 человек на семи стульях.

Ответ: 5040

115. Сколько существует шестизначных чисел, кратных 5, в записи которых каждая из цифр 1, 2, 3, 5, 7, 8 используется по одному разу?

Для решения задачи необходимо определить, сколько шестизначных чисел можно составить из заданных цифр, чтобы они удовлетворяли двум условиям: были кратны 5 и каждая цифра использовалась только один раз.

Заданный набор цифр: {1, 2, 3, 5, 7, 8}. Всего 6 цифр, что соответствует количеству разрядов в искомом числе.

1. Условие кратности 5

Число делится на 5 без остатка, если его последняя цифра (цифра в разряде единиц) — это 0 или 5. В нашем наборе цифр {1, 2, 3, 5, 7, 8} есть только одна подходящая цифра — это 5. Следовательно, чтобы число было кратным 5, оно должно оканчиваться на 5.

Таким образом, последняя, шестая, позиция в числе зафиксирована:

_ _ _ _ _ 5

2. Расстановка оставшихся цифр

После того как мы определили последнюю цифру, у нас остались 5 цифр: {1, 2, 3, 7, 8}. Эти 5 цифр нужно расставить на оставшиеся 5 свободных позиций (десятки тысяч, тысячи, сотни, десятки и единицы). Так как все цифры должны использоваться по одному разу, нам нужно найти количество перестановок для этих 5 цифр.

Количество способов расставить $n$ различных элементов по $n$ позициям вычисляется по формуле перестановок: $P_n = n!$.

В нашем случае $n=5$, так как осталось 5 цифр для 5 позиций. Вычислим количество возможных комбинаций:

$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

Таким образом, существует 120 способов расставить оставшиеся 5 цифр. Каждая такая расстановка образует уникальное шестизначное число, кратное 5, с использованием заданных цифр.

Ответ: 120

116. Сколько четырёхзначных чисел можно записать, используя цифры 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, так, чтобы цифры в записи числа не повторялись?

Данная задача относится к разделу комбинаторики и решается с помощью нахождения числа размещений без повторений. Нам нужно составить четырёхзначные числа из набора цифр {1, 2, 4, 5, 7, 8, 9}. Всего в наборе 7 цифр.

Рассмотрим, сколько вариантов выбора есть для каждой из четырёх позиций в числе:

Для первой цифры (разряд тысяч) можно выбрать любую из 7 данных цифр. Следовательно, у нас есть 7 вариантов.

Для второй цифры (разряд сотен) можно выбрать любую из оставшихся цифр. Так как одна цифра уже занята и повторения не допускаются, остаётся $7 - 1 = 6$ вариантов.

Для третьей цифры (разряд десятков) остаётся на выбор $6 - 1 = 5$ вариантов.

Для четвёртой цифры (разряд единиц) остаётся $5 - 1 = 4$ варианта.

Чтобы найти общее количество возможных четырёхзначных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции, используя правило произведения:

$N = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$

Другой способ решения — использовать формулу для числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В нашем случае, общее количество доступных цифр $n=7$, а количество цифр в числе $k=4$.

Подставим значения в формулу:

$A_7^4 = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7!}{3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$.

Таким образом, из данных цифр можно составить 840 различных четырёхзначных чисел без повторения цифр.

Ответ: 840

117. В легкоатлетической команде 7 спортсменов. Сколько у тренера существует способов сформировать команду для участия в эстафете, состоящей из 4 этапов?

Для решения этой задачи необходимо определить количество способов, которыми можно выбрать 4-х спортсменов из 7 и распределить их по 4-м этапам эстафеты. Так как порядок спортсменов в эстафете важен (кто бежит первый этап, кто второй и т.д.), то мы имеем дело с размещениями.

Данную задачу можно решить с помощью правила умножения. Посчитаем количество вариантов для каждого этапа:
- На первый этап можно выбрать любого из 7 спортсменов.
- Когда один спортсмен уже выбран на первый этап, на второй этап остается 6 кандидатов.
- Соответственно, на третий этап остается 5 кандидатов.
- И на четвертый этап остается 4 кандидата.
Общее число способов формирования команды будет равно произведению числа вариантов для каждого этапа:
$N = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$

Также можно использовать формулу для числа размещений из $n$ элементов по $k$:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
В данном случае, общее количество спортсменов $n=7$, а количество мест в команде (этапов) $k=4$.
Подставляем значения в формулу:
$A_7^4 = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7!}{3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$
Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 840