Страница 52 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

89. На рисунке 5 изображён график некоторой функции $y = f (x)$. Функция $F(x) = x^3 + 3x^2 + 5x - 3$ является одной из первообразных функции $f$. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Рис. 5

Площадь заштрихованной фигуры представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$. Эта площадь вычисляется с помощью определенного интеграла.

По формуле Ньютона-Лейбница, площадь $S$ криволинейной трапеции равна разности значений первообразной $F(x)$ в верхнем и нижнем пределах интегрирования:

$S = \int_a^b f(x) \,dx = F(b) - F(a)$

Из графика видно, что пределы интегрирования (границы заштрихованной области по оси $x$) равны $a = -2$ и $b = 1$.

В условии задачи дана одна из первообразных для функции $f(x)$:

$F(x) = x^3 + 3x^2 + 5x - 3$

Чтобы найти площадь, вычислим значения первообразной $F(x)$ на концах отрезка $[-2; 1]$.

Найдем значение $F(b) = F(1)$:

$F(1) = (1)^3 + 3 \cdot (1)^2 + 5 \cdot 1 - 3 = 1 + 3 + 5 - 3 = 6$

Найдем значение $F(a) = F(-2)$:

$F(-2) = (-2)^3 + 3 \cdot (-2)^2 + 5 \cdot (-2) - 3 = -8 + 3 \cdot 4 - 10 - 3 = -8 + 12 - 10 - 3 = 4 - 13 = -9$

Теперь вычислим площадь $S$ как разность $F(1) - F(-2)$:

$S = F(1) - F(-2) = 6 - (-9) = 6 + 9 = 15$

Ответ: 15

90. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной:

1) параболой $y = x^2$ и прямыми $y = 0, x = 2$ и $x = 3;$

2) графиком функции $y = x^4$ и прямыми $y = 0$ и $x = -1;$

3) графиком функции $y = \sin x$ и прямыми $y = 0,$ $x = 0$ и $x = \frac{2\pi}{3};$

4) параболой $y = 4x - x^2$ и осью абсцисс;

5) параболой $y = x^2 + 2x,$ осью абсцисс и прямой $x = -3;$

6) графиком функции $y = \sqrt{x}$ и прямыми $y = 0, x = 1$ и $x = 4;$

7) графиком функции $y = \sqrt{x+4}$ и прямыми $y = 0$ и $x = 5;$

8) графиком функции $y = \cos\frac{x}{2}$ и прямыми $y = 0,$ $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2};$

9) графиком функции $y = 2^x$ и прямыми $y = 0,$ $x = -1, x = 2;$

10) графиком функции $y = \frac{1}{x}$ и прямыми $y = 0,$ $x = 3, x = 6.$

1) параболой $y = x^2$ и прямыми $y = 0, x = 2$ и $x = 3$

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} f(x) dx$. В данном случае $f(x) = x^2$, $a = 2$, $b = 3$. Функция $y = x^2$ неотрицательна на отрезке $[2, 3]$.

Вычисляем интеграл:

$S = \int_{2}^{3} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{2}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{2^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{8}{3} = \frac{19}{3}$

Ответ: $\frac{19}{3}$

2) графиком функции $y = x^4$ и прямыми $y = 0$ и $x = -1$

Фигура ограничена кривой $y=x^4$, осью $y=0$ и прямой $x=-1$. Второй вертикальной границей является точка пересечения графика с осью абсцисс, то есть $x=0$. Таким образом, пределы интегрирования от $a = -1$ до $b = 0$. Функция $y = x^4$ неотрицательна на этом отрезке.

$S = \int_{-1}^{0} x^4 dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{-1}^{0} = \frac{0^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} = 0 - (-\frac{1}{5}) = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

3) графиком функции $y = \sin x$ и прямыми $y = 0, x = 0$ и $x = \frac{2\pi}{3}$

В данном случае $f(x) = \sin x$, $a = 0$, $b = \frac{2\pi}{3}$. На отрезке $[0, \frac{2\pi}{3}]$ функция $y = \sin x$ неотрицательна.

$S = \int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} \sin x dx = \left[ -\cos x \right]_{0}^{\frac{2\pi}{3}} = -\cos(\frac{2\pi}{3}) - (-\cos(0)) = -(-\frac{1}{2}) + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$

4) параболой $y = 4x - x^2$ и осью абсцисс

Найдем пределы интегрирования, определив точки пересечения параболы с осью абсцисс ($y=0$): $4x - x^2 = 0 \Rightarrow x(4 - x) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 0, x_2 = 4$. Это и будут пределы интегрирования $a = 0, b = 4$. На отрезке $[0, 4]$ функция $y = 4x - x^2$ неотрицательна.

$S = \int_{0}^{4} (4x - x^2) dx = \left[ 4\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} = (2 \cdot 4^2 - \frac{4^3}{3}) - 0 = 32 - \frac{64}{3} = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $\frac{32}{3}$

5) параболой $y = x^2 + 2x$, осью абсцисс и прямой $x = -3$

Найдем точки пересечения параболы $y = x^2 + 2x$ с осью абсцисс: $x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x + 2) = 0$, откуда $x_1 = -2, x_2 = 0$. Фигура ограничена прямой $x=-3$ и осью абсцисс. Ближайшая к $x=-3$ точка пересечения с осью - это $x=-2$. Будем находить площадь на отрезке $[-3, -2]$. На этом отрезке парабола $y = x^2 + 2x$ находится выше оси абсцисс, то есть $x^2 + 2x \ge 0$.

$S = \int_{-3}^{-2} (x^2 + 2x) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 \right]_{-3}^{-2} = (\frac{(-2)^3}{3} + (-2)^2) - (\frac{(-3)^3}{3} + (-3)^2) = (-\frac{8}{3} + 4) - (-9 + 9) = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$

6) графиком функции $y = \sqrt{x}$ и прямыми $y = 0, x = 1$ и $x = 4$

Здесь $f(x) = \sqrt{x}$, $a = 1$, $b = 4$. Функция $y = \sqrt{x}$ неотрицательна на отрезке $[1, 4]$.

$S = \int_{1}^{4} \sqrt{x} dx = \int_{1}^{4} x^{1/2} dx = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4} = \left[ \frac{2}{3}x\sqrt{x} \right]_{1}^{4} = \frac{2}{3}(4\sqrt{4}) - \frac{2}{3}(1\sqrt{1}) = \frac{2}{3}(8) - \frac{2}{3}(1) = \frac{16 - 2}{3} = \frac{14}{3}$

Ответ: $\frac{14}{3}$

7) графиком функции $y = \sqrt{x+4}$ и прямыми $y = 0$ и $x = 5$

Найдем левую границу интегрирования из условия $\sqrt{x+4} = 0 \Rightarrow x+4 = 0 \Rightarrow x = -4$. Правая граница задана: $x = 5$. Таким образом, $a = -4, b = 5$. Функция $y = \sqrt{x+4}$ неотрицательна на этом отрезке.

$S = \int_{-4}^{5} \sqrt{x+4} dx = \left[ \frac{(x+4)^{3/2}}{3/2} \right]_{-4}^{5} = \frac{2}{3}\left[ (x+4)\sqrt{x+4} \right]_{-4}^{5} = \frac{2}{3}((5+4)\sqrt{5+4} - 0) = \frac{2}{3}(9\sqrt{9}) = \frac{2}{3} \cdot 27 = 18$

Ответ: $18$

8) графиком функции $y = \cos \frac{x}{2}$ и прямыми $y = 0, x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$

Здесь $f(x) = \cos \frac{x}{2}$, $a = -\frac{\pi}{2}$, $b = \frac{\pi}{2}$. На отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ аргумент $\frac{x}{2}$ изменяется в пределах $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$, где косинус положителен.

$S = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(\frac{x}{2}) dx = \left[ \frac{\sin(x/2)}{1/2} \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \left[ 2\sin(\frac{x}{2}) \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = 2\sin(\frac{\pi}{4}) - 2\sin(-\frac{\pi}{4}) = 2(\frac{\sqrt{2}}{2}) - 2(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Ответ: $2\sqrt{2}$

9) графиком функции $y = 2^x$ и прямыми $y = 0, x = -1, x = 2$

Здесь $f(x) = 2^x$, $a = -1$, $b = 2$. Показательная функция $y = 2^x$ всегда положительна.

$S = \int_{-1}^{2} 2^x dx = \left[ \frac{2^x}{\ln 2} \right]_{-1}^{2} = \frac{2^2}{\ln 2} - \frac{2^{-1}}{\ln 2} = \frac{4 - 1/2}{\ln 2} = \frac{7/2}{\ln 2} = \frac{7}{2\ln 2}$

Ответ: $\frac{7}{2\ln 2}$

10) графиком функции $y = \frac{1}{x}$ и прямыми $y = 0, x = 3, x = 6$

Здесь $f(x) = \frac{1}{x}$, $a = 3$, $b = 6$. На отрезке $[3, 6]$ функция $y = \frac{1}{x}$ положительна.

$S = \int_{3}^{6} \frac{1}{x} dx = \left[ \ln|x| \right]_{3}^{6} = \ln 6 - \ln 3 = \ln(\frac{6}{3}) = \ln 2$

Ответ: $\ln 2$