Страница 48 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

73. Является ли функция $F(x) = |4 - x|$ первообразной функции $f(x) = -1$ на промежутке:

1) $(-2; 3)$;

2) $(-1; 5)$?

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

В данной задаче нам даны функции $F(x) = |4 - x|$ и $f(x) = -1$.

Сначала раскроем модуль в выражении для $F(x)$:

$F(x) = \begin{cases} 4 - x, & \text{если } 4 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 4 \\ -(4 - x) = x - 4, & \text{если } 4 - x < 0 \Rightarrow x > 4 \end{cases}$

Теперь найдем производную функции $F(x)$ на каждом из интервалов:

$F'(x) = \begin{cases} (4 - x)' = -1, & \text{если } x < 4 \\ (x - 4)' = 1, & \text{если } x > 4 \end{cases}$

В точке $x = 4$ функция $F(x)$ имеет "излом" (вершину), и ее производная в этой точке не существует, так как производная слева ($-1$) не равна производной справа ($1$).

Теперь проверим заданные промежутки.

1) (-2; 3);

Промежуток $(-2; 3)$ полностью лежит в области, где $x < 4$. На этом промежутке, как мы нашли, производная функции $F(x)$ равна $F'(x) = -1$. Это в точности совпадает с заданной функцией $f(x) = -1$. Так как равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется для всех $x$ из промежутка $(-2; 3)$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на этом промежутке.

Ответ: да, является.

2) (-1; 5)?

Промежуток $(-1; 5)$ содержит точку $x = 4$. В этой точке функция $F(x)$ не является дифференцируемой, то есть $F'(4)$ не существует. Поскольку первообразная по определению должна быть дифференцируема во всех точках заданного промежутка, $F(x)$ не может быть первообразной на промежутке $(-1; 5)$.

Кроме того, на части этого промежутка, а именно для $x \in (4; 5)$, производная $F'(x) = 1$, что не равно $f(x) = -1$. Условие $F'(x) = f(x)$ не выполняется на всем промежутке.

Ответ: нет, не является.

74. Для функции $f$ на промежутке $I$ найдите первообразную, график которой проходит через указанную точку:

1) $f(x) = x^3$, $I = (-\infty; +\infty)$, $M(-1; 4);

2) $f(x) = \cos x$, $I = (-\infty; +\infty)$, $M\left(\frac{\pi}{6}; 1,5\right);

3) $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$, $I = (0; \pi)$, $M\left(\frac{\pi}{3}; -\frac{\sqrt{3}}{3}\right);

4) $f(x) = \frac{1}{x^5}$, $I = (0; +\infty)$, $M\left(\frac{1}{2}; -1\right);

5) $f(x) = \sqrt{x}$, $I = [0; +\infty)$, $M(9; 2).

1) Для функции $f(x) = x^3$ и точки $M(-1; 4)$.
Общий вид первообразной для $f(x)$ есть $F(x) = \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C$.
Поскольку график первообразной проходит через точку $M(-1; 4)$, должно выполняться условие $F(-1) = 4$.
Подставим координаты точки в уравнение первообразной:
$4 = \frac{(-1)^4}{4} + C$
$4 = \frac{1}{4} + C$
Отсюда находим константу $C$:
$C = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$.
Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{15}{4}$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{15}{4}$.

2) Для функции $f(x) = \cos x$ и точки $M(\frac{\pi}{6}; 1,5)$.
Общий вид первообразной для $f(x)$ есть $F(x) = \int \cos x dx = \sin x + C$.
Поскольку график первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{6}; 1,5)$, должно выполняться условие $F(\frac{\pi}{6}) = 1,5$.
Подставим координаты точки в уравнение первообразной:
$1,5 = \sin(\frac{\pi}{6}) + C$
Так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = 0,5$, получаем:
$1,5 = 0,5 + C$
Отсюда находим константу $C$:
$C = 1,5 - 0,5 = 1$.
Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = \sin x + 1$.
Ответ: $F(x) = \sin x + 1$.

3) Для функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$ и точки $M(\frac{\pi}{3}; -\frac{\sqrt{3}}{3})$.
Общий вид первообразной для $f(x)$ есть $F(x) = \int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$.
Поскольку график первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{3}; -\frac{\sqrt{3}}{3})$, должно выполняться условие $F(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Подставим координаты точки в уравнение первообразной:
$-\frac{\sqrt{3}}{3} = -\cot(\frac{\pi}{3}) + C$
Так как $\cot(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, получаем:
$-\frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3} + C$
Отсюда находим константу $C$:
$C = 0$.
Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = -\cot x$.
Ответ: $F(x) = -\cot x$.

4) Для функции $f(x) = \frac{1}{x^5}$ и точки $M(\frac{1}{2}; -1)$.
Запишем функцию в виде $f(x) = x^{-5}$. Общий вид первообразной для $f(x)$ есть $F(x) = \int x^{-5} dx = \frac{x^{-4}}{-4} + C = -\frac{1}{4x^4} + C$.
Поскольку график первообразной проходит через точку $M(\frac{1}{2}; -1)$, должно выполняться условие $F(\frac{1}{2}) = -1$.
Подставим координаты точки в уравнение первообразной:
$-1 = -\frac{1}{4(\frac{1}{2})^4} + C$
$-1 = -\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{16}} + C$
$-1 = -\frac{1}{\frac{1}{4}} + C$
$-1 = -4 + C$
Отсюда находим константу $C$:
$C = -1 + 4 = 3$.
Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = -\frac{1}{4x^4} + 3$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{4x^4} + 3$.

5) Для функции $f(x) = \sqrt{x}$ и точки $M(9; 2)$.
Запишем функцию в виде $f(x) = x^{1/2}$. Общий вид первообразной для $f(x)$ есть $F(x) = \int x^{1/2} dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$.
Поскольку график первообразной проходит через точку $M(9; 2)$, должно выполняться условие $F(9) = 2$.
Подставим координаты точки в уравнение первообразной:
$2 = \frac{2}{3}(9)^{3/2} + C$
$2 = \frac{2}{3}(\sqrt{9})^3 + C$
$2 = \frac{2}{3}(3)^3 + C$
$2 = \frac{2}{3} \cdot 27 + C$
$2 = 18 + C$
Отсюда находим константу $C$:
$C = 2 - 18 = -16$.
Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} - 16$.
Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 16$.

75. Найдите общий вид первообразных функции:

1) $f(x) = x + 6;$

2) $f(x) = 4x^3 + 8x - 1;$

3) $f(x) = 12x^2 - 6x^5;$

4) $f(x) = x^4 - \frac{3}{\sqrt{x}}$ на промежутке $(0; +\infty);$

5) $f(x) = \frac{5}{x^4} - \frac{4}{x^3}$ на промежутке $(0; +\infty);$

6) $f(x) = \frac{7}{\cos^2 x} + 2\sin x$ на промежутке $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right);$

7) $f(x) = 6\sqrt[3]{x} - 9x^8$ на промежутке $(-\infty; +\infty).$

1) Общий вид первообразных для функции $f(x)$ — это ее неопределенный интеграл $F(x) = \int f(x)dx$. Для функции $f(x) = x + 6$ находим:
$F(x) = \int (x + 6)dx = \int x^1 dx + \int 6 dx$.
Используя табличные интегралы для степенной функции ($\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$) и для константы ($\int k dx = kx$), получаем:
$F(x) = \frac{x^{1+1}}{1+1} + 6x + C = \frac{x^2}{2} + 6x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + 6x + C$.

2) Для функции $f(x) = 4x^3 + 8x - 1$ находим общий вид первообразных:
$F(x) = \int (4x^3 + 8x - 1)dx = \int 4x^3 dx + \int 8x dx - \int 1 dx$.
Используя свойства интеграла и формулу для степенной функции, получаем:
$F(x) = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + 8 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - 1 \cdot x + C = 4 \cdot \frac{x^4}{4} + 8 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C$.
Упрощая выражение, получаем:
$F(x) = x^4 + 4x^2 - x + C$.
Ответ: $F(x) = x^4 + 4x^2 - x + C$.

3) Для функции $f(x) = 12x^2 - 6x^5$ находим общий вид первообразных:
$F(x) = \int (12x^2 - 6x^5)dx = \int 12x^2 dx - \int 6x^5 dx$.
$F(x) = 12 \int x^2 dx - 6 \int x^5 dx = 12 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} - 6 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} + C$.
$F(x) = 12 \cdot \frac{x^3}{3} - 6 \cdot \frac{x^6}{6} + C$.
Упрощая, получаем:
$F(x) = 4x^3 - x^6 + C$.
Ответ: $F(x) = 4x^3 - x^6 + C$.

4) Для функции $f(x) = x^4 - \frac{3}{\sqrt{x}}$ на промежутке $(0; +\infty)$ сначала преобразуем ее к степенному виду: $f(x) = x^4 - 3x^{-1/2}$.
Теперь находим первообразную:
$F(x) = \int (x^4 - 3x^{-1/2})dx = \int x^4 dx - 3\int x^{-1/2} dx$.
$F(x) = \frac{x^{4+1}}{4+1} - 3 \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{x^5}{5} - 3 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C$.
Упрощая, получаем:
$F(x) = \frac{x^5}{5} - 6x^{1/2} + C = \frac{x^5}{5} - 6\sqrt{x} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^5}{5} - 6\sqrt{x} + C$.

5) Для функции $f(x) = \frac{5}{x^4} - \frac{4}{x^3}$ на промежутке $(0; +\infty)$ преобразуем ее к степенному виду: $f(x) = 5x^{-4} - 4x^{-3}$.
Находим первообразную:
$F(x) = \int (5x^{-4} - 4x^{-3})dx = 5\int x^{-4} dx - 4\int x^{-3} dx$.
$F(x) = 5 \cdot \frac{x^{-4+1}}{-4+1} - 4 \cdot \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = 5 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} - 4 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + C$.
Упрощая, получаем:
$F(x) = -\frac{5}{3}x^{-3} + 2x^{-2} + C = -\frac{5}{3x^3} + \frac{2}{x^2} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{2}{x^2} - \frac{5}{3x^3} + C$.

6) Для функции $f(x) = \frac{7}{\cos^2 x} + 2\sin x$ на промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ находим первообразную, используя табличные интегралы.
$F(x) = \int (\frac{7}{\cos^2 x} + 2\sin x)dx = 7\int \frac{1}{\cos^2 x} dx + 2\int \sin x dx$.
Из таблицы интегралов известно, что $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x$ и $\int \sin x dx = -\cos x$.
Следовательно:
$F(x) = 7\tan x + 2(-\cos x) + C = 7\tan x - 2\cos x + C$.
Ответ: $F(x) = 7\tan x - 2\cos x + C$.

7) Для функции $f(x) = 6\sqrt[3]{x} - 9x^8$ на промежутке $(-\infty; +\infty)$ преобразуем ее к степенному виду: $f(x) = 6x^{1/3} - 9x^8$.
Находим первообразную:
$F(x) = \int (6x^{1/3} - 9x^8)dx = 6\int x^{1/3} dx - 9\int x^8 dx$.
$F(x) = 6 \cdot \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} - 9 \cdot \frac{x^{8+1}}{8+1} + C = 6 \cdot \frac{x^{4/3}}{4/3} - 9 \cdot \frac{x^9}{9} + C$.
Упрощая, получаем:
$F(x) = 6 \cdot \frac{3}{4}x^{4/3} - x^9 + C = \frac{9}{2}x^{4/3} - x^9 + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{9}{2}x^{4/3} - x^9 + C$.

76. Для функции $f$ на промежутке $I$ найдите первообразную $F$, удовлетворяющую данному условию:

1) $f(x) = 5 + 6x - 9x^2$, $I = (-\infty; +\infty)$, $F(-3) = 100$;

2) $f(x) = 13x^{12} + \frac{7}{6\sqrt{x}}$, $I = (0; +\infty)$, $F(1) = 0$;

3) $f(x) = \frac{3}{x^2} - 4$, $I = (0; +\infty)$, $F(1,5) = -3$.

1)

Чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = 5 + 6x - 9x^2$, нужно найти ее неопределенный интеграл.
$F(x) = \int f(x) dx = \int (5 + 6x - 9x^2) dx$
Используя правила интегрирования, получаем:
$F(x) = 5x + 6 \cdot \frac{x^2}{2} - 9 \cdot \frac{x^3}{3} + C = 5x + 3x^2 - 3x^3 + C$
Здесь $C$ — константа интегрирования. Чтобы найти ее значение, используем данное условие $F(-3) = 100$. Подставляем $x = -3$ в выражение для $F(x)$:
$F(-3) = 5(-3) + 3(-3)^2 - 3(-3)^3 + C = 100$
$-15 + 3(9) - 3(-27) + C = 100$
$-15 + 27 + 81 + C = 100$
$93 + C = 100$
$C = 100 - 93 = 7$
Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = 5x + 3x^2 - 3x^3 + 7$.

Ответ: $F(x) = 5x + 3x^2 - 3x^3 + 7$

2)

Дана функция $f(x) = 13x^{12} + \frac{7}{6\sqrt{x}}$. Преобразуем ее для удобства интегрирования, представив корень как степень:
$f(x) = 13x^{12} + \frac{7}{6}x^{-1/2}$
Находим общий вид первообразной:
$F(x) = \int (13x^{12} + \frac{7}{6}x^{-1/2}) dx = 13 \cdot \frac{x^{13}}{13} + \frac{7}{6} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C$
$F(x) = x^{13} + \frac{7}{6} \cdot 2x^{1/2} + C = x^{13} + \frac{7}{3}\sqrt{x} + C$
Используем условие $F(1) = 0$, чтобы найти константу $C$:
$F(1) = 1^{13} + \frac{7}{3}\sqrt{1} + C = 0$
$1 + \frac{7}{3} + C = 0$
$\frac{3}{3} + \frac{7}{3} + C = 0$
$\frac{10}{3} + C = 0$
$C = -\frac{10}{3}$
Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = x^{13} + \frac{7}{3}\sqrt{x} - \frac{10}{3}$.

Ответ: $F(x) = x^{13} + \frac{7}{3}\sqrt{x} - \frac{10}{3}$

3)

Дана функция $f(x) = \frac{3}{x^2} - 4$. Запишем ее в виде, удобном для интегрирования:
$f(x) = 3x^{-2} - 4$
Находим общий вид первообразной:
$F(x) = \int (3x^{-2} - 4) dx = 3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} - 4x + C = -3x^{-1} - 4x + C = -\frac{3}{x} - 4x + C$
Используем условие $F(1,5) = -3$. Подставим $x = 1,5 = \frac{3}{2}$ в выражение для $F(x)$:
$F(1,5) = -\frac{3}{1,5} - 4(1,5) + C = -3$
$-\frac{3}{3/2} - 6 + C = -3$
$-2 - 6 + C = -3$
$-8 + C = -3$
$C = -3 + 8 = 5$
Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = -\frac{3}{x} - 4x + 5$.

Ответ: $F(x) = -\frac{3}{x} - 4x + 5$