Страница 42 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

42. Решите уравнение:

1) $2\log^2_4 x - \log_4 x - 1 = 0;$

2) $\log^2_3 x + 2\log_3 \sqrt{x} = 2;$

3) $\log^2_2 x^5 - 15\log_2 x = 10;$

4) $\frac{1}{5 - 4\lg x} + \frac{4}{1 + \lg x} = 3;$

5) $\log_2(2x^2) \cdot \log_2(16x) = \frac{9}{2}\log^2_2 x;$

6) $\lg \lg x + \lg (\lg x^2 + 1) = 0;$

7) $\log^2_6 36x + \log^2_6 \frac{x}{216} + \log^2_6 x = 12;$

8) $\log_5 x + \log_x 25 = 3.$

1) $2\log_4^2 x - \log_4 x - 1 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
Это квадратное уравнение относительно $\log_4 x$. Сделаем замену: пусть $t = \log_4 x$.
Получим уравнение: $2t^2 - t - 1 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
Вернемся к исходной переменной $x$:
1) $\log_4 x = -\frac{1}{2} \implies x = 4^{-1/2} = (2^2)^{-1/2} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
2) $\log_4 x = 1 \implies x = 4^1 = 4$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x>0$).
Ответ: $x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = 4$.

2) $\log_3^2 x + 2\log_3 \sqrt{x} = 2$

ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем второй член уравнения, используя свойство логарифма степени $\log_a b^c = c \log_a b$:
$2\log_3 \sqrt{x} = 2\log_3 x^{1/2} = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_3 x = \log_3 x$.
Подставим в исходное уравнение:
$\log_3^2 x + \log_3 x = 2$
$\log_3^2 x + \log_3 x - 2 = 0$
Сделаем замену: пусть $t = \log_3 x$.
$t^2 + t - 2 = 0$
По теореме Виета находим корни: $t_1 = 1$, $t_2 = -2$.
Вернемся к исходной переменной:
1) $\log_3 x = 1 \implies x = 3^1 = 3$.
2) $\log_3 x = -2 \implies x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = \frac{1}{9}, x_2 = 3$.

3) $\log_2^2 x^5 - 15\log_2 x = 10$

ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем первый член уравнения: $\log_2^2 x^5 = (\log_2 x^5)^2 = (5\log_2 x)^2 = 25\log_2^2 x$.
Подставим в уравнение: $25\log_2^2 x - 15\log_2 x - 10 = 0$
Разделим обе части на 5: $5\log_2^2 x - 3\log_2 x - 2 = 0$
Сделаем замену: пусть $t = \log_2 x$.
$5t^2 - 3t - 2 = 0$
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$t_1 = \frac{3 - 7}{2 \cdot 5} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$
$t_2 = \frac{3 + 7}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$
Вернемся к исходной переменной:
1) $\log_2 x = -\frac{2}{5} \implies x = 2^{-2/5}$.
2) $\log_2 x = 1 \implies x = 2^1 = 2$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 2^{-2/5}, x_2 = 2$.

4) $\frac{1}{5 - 4\lg x} + \frac{4}{1 + \lg x} = 3$

ОДЗ: $x > 0$ и знаменатели не равны нулю.
$5 - 4\lg x \neq 0 \implies 4\lg x \neq 5 \implies \lg x \neq \frac{5}{4} \implies x \neq 10^{5/4}$.
$1 + \lg x \neq 0 \implies \lg x \neq -1 \implies x \neq 10^{-1} = 0.1$.
Сделаем замену: пусть $t = \lg x$. Тогда $t \neq 5/4$ и $t \neq -1$.
$\frac{1}{5 - 4t} + \frac{4}{1 + t} = 3$
Приведем к общему знаменателю: $\frac{1(1+t) + 4(5-4t)}{(5-4t)(1+t)} = 3$
$1+t+20-16t = 3(5-4t)(1+t)$
$21 - 15t = 3(5+5t-4t-4t^2)$
$21 - 15t = 3(5+t-4t^2)$
$21 - 15t = 15 + 3t - 12t^2$
$12t^2 - 18t + 6 = 0$
Разделим на 6: $2t^2 - 3t + 1 = 0$
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
$t_1 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{3 + 1}{4} = 1$
Оба корня для $t$ удовлетворяют ограничениям. Вернемся к $x$:
1) $\lg x = \frac{1}{2} \implies x = 10^{1/2} = \sqrt{10}$.
2) $\lg x = 1 \implies x = 10^1 = 10$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = \sqrt{10}, x_2 = 10$.

5) $\log_2(2x^2) \cdot \log_2(16x) = \frac{9}{2}\log_2^2 x$

ОДЗ: $x > 0$.
Используем свойство логарифма произведения $\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c$:
$\log_2(2x^2) = \log_2 2 + \log_2 x^2 = 1 + 2\log_2 x$.
$\log_2(16x) = \log_2 16 + \log_2 x = \log_2 2^4 + \log_2 x = 4 + \log_2 x$.
Подставим в уравнение:
$(1 + 2\log_2 x)(4 + \log_2 x) = \frac{9}{2}\log_2^2 x$
Сделаем замену: пусть $t = \log_2 x$.
$(1+2t)(4+t) = \frac{9}{2}t^2$
$4 + t + 8t + 2t^2 = \frac{9}{2}t^2$
$2t^2 + 9t + 4 = \frac{9}{2}t^2$
Умножим на 2: $4t^2 + 18t + 8 = 9t^2$
$5t^2 - 18t - 8 = 0$
$D = (-18)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 324 + 160 = 484 = 22^2$.
$t_1 = \frac{18 - 22}{10} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$
$t_2 = \frac{18 + 22}{10} = \frac{40}{10} = 4$
Вернемся к $x$:
1) $\log_2 x = -\frac{2}{5} \implies x = 2^{-2/5}$.
2) $\log_2 x = 4 \implies x = 2^4 = 16$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 2^{-2/5}, x_2 = 16$.

6) $\lg \lg x + \lg(\lg x^2 + 1) = 0$

ОДЗ:
1) Аргумент внутреннего логарифма: $x > 0$.
2) Аргумент внешнего логарифма: $\lg x > 0 \implies x > 1$.
3) Аргумент второго логарифма: $\lg x^2 + 1 > 0 \implies 2\lg x + 1 > 0$. Так как из п.2 $\lg x > 0$, это условие выполняется автоматически. Итак, ОДЗ: $x > 1$.
Используем свойство суммы логарифмов:
$\lg(\lg x \cdot (\lg x^2 + 1)) = 0$
По определению логарифма:
$\lg x \cdot (\lg x^2 + 1) = 10^0 = 1$
$\lg x \cdot (2\lg x + 1) = 1$
Сделаем замену: пусть $t = \lg x$. Из ОДЗ ($x > 1$) следует, что $t > 0$.
$t(2t+1) = 1$
$2t^2 + t - 1 = 0$
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$.
$t_1 = \frac{-1 - 3}{4} = -1$ (не удовлетворяет условию $t > 0$).
$t_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ (удовлетворяет условию $t > 0$).
Вернемся к $x$:
$\lg x = \frac{1}{2} \implies x = 10^{1/2} = \sqrt{10}$.
Корень $\sqrt{10} > 1$, значит, удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = \sqrt{10}$.

7) $\log_6^2(36x) + \log_6^2(\frac{x}{216}) + \log_6^2 x = 12$

ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем логарифмы:
$\log_6(36x) = \log_6 36 + \log_6 x = 2 + \log_6 x$.
$\log_6(\frac{x}{216}) = \log_6 x - \log_6 216 = \log_6 x - 3$.
Подставим в уравнение:
$(2 + \log_6 x)^2 + (\log_6 x - 3)^2 + (\log_6 x)^2 = 12$
Сделаем замену: пусть $t = \log_6 x$.
$(2+t)^2 + (t-3)^2 + t^2 = 12$
$(4+4t+t^2) + (t^2-6t+9) + t^2 = 12$
$3t^2 - 2t + 13 = 12$
$3t^2 - 2t + 1 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8$.
Так как $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, исходное уравнение также не имеет решений.
Ответ: решений нет (или $\emptyset$).

8) $\log_5 x + \log_x 25 = 3$

ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Используем формулу перехода к новому основанию: $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$.
$\log_x 25 = \frac{\log_5 25}{\log_5 x} = \frac{2}{\log_5 x}$.
Подставим в уравнение:
$\log_5 x + \frac{2}{\log_5 x} = 3$
Сделаем замену: пусть $t = \log_5 x$. Из ОДЗ ($x \neq 1$) следует, что $t \neq 0$.
$t + \frac{2}{t} = 3$
Умножим на $t$:
$t^2 + 2 = 3t$
$t^2 - 3t + 2 = 0$
По теореме Виета: $t_1=1, t_2=2$. Оба корня не равны нулю.
Вернемся к $x$:
1) $\log_5 x = 1 \implies x = 5^1 = 5$.
2) $\log_5 x = 2 \implies x = 5^2 = 25$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 5, x_2 = 25$.

43. Решите уравнение:

1) $x^{\log_3 x-4} = \frac{1}{27}$;

2) $x^{\lg x} = 1000x^2$;

3) $6^{\log_6^2 x} + x^{\log_6 x} = 12$;

4) $x^{\log_{11} 7} + 7^{\log_{11} x} = 98$.

1) $x^{\log_3 x - 4} = \frac{1}{27}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

$\log_3(x^{\log_3 x - 4}) = \log_3(\frac{1}{27})$

Используя свойство логарифма степени $\log_a(b^c) = c \log_a b$, получаем:

$(\log_3 x - 4) \log_3 x = \log_3(3^{-3})$

$(\log_3 x - 4) \log_3 x = -3$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_3 x$.

$(t - 4)t = -3$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Вернемся к исходной переменной:

1. Если $t = 1$, то $\log_3 x = 1$, откуда $x = 3^1 = 3$.

2. Если $t = 3$, то $\log_3 x = 3$, откуда $x = 3^3 = 27$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $3; 27$.

2) $x^{\lg x} = 1000x^2$

ОДЗ: $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 (десятичный логарифм):

$\lg(x^{\lg x}) = \lg(1000x^2)$

Используя свойства логарифмов $\log_a(b^c) = c \log_a b$ и $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$:

$(\lg x)(\lg x) = \lg(1000) + \lg(x^2)$

$(\lg x)^2 = 3 + 2\lg x$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$.

$t^2 = 3 + 2t$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Вернемся к исходной переменной:

1. Если $t = 3$, то $\lg x = 3$, откуда $x = 10^3 = 1000$.

2. Если $t = -1$, то $\lg x = -1$, откуда $x = 10^{-1} = 0.1$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $1000; 0.1$.

3) $6^{\log_6^2 x} + x^{\log_6 x} = 12$

ОДЗ: $x > 0$.

Используем основное логарифмическое тождество в виде $a = b^{\log_b a}$. Представим $x$ как $6^{\log_6 x}$.

Тогда второе слагаемое $x^{\log_6 x}$ можно преобразовать:

$x^{\log_6 x} = (6^{\log_6 x})^{\log_6 x} = 6^{(\log_6 x) \cdot (\log_6 x)} = 6^{(\log_6 x)^2} = 6^{\log_6^2 x}$.

Таким образом, оба слагаемых в левой части уравнения равны.

Уравнение принимает вид:

$6^{\log_6^2 x} + 6^{\log_6^2 x} = 12$

$2 \cdot 6^{\log_6^2 x} = 12$

$6^{\log_6^2 x} = 6$

$6^{\log_6^2 x} = 6^1$

Приравниваем показатели степени:

$\log_6^2 x = 1$

$(\log_6 x)^2 = 1$

Отсюда следует, что $\log_6 x = 1$ или $\log_6 x = -1$.

1. Если $\log_6 x = 1$, то $x = 6^1 = 6$.

2. Если $\log_6 x = -1$, то $x = 6^{-1} = \frac{1}{6}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $6; \frac{1}{6}$.

4) $x^{\log_{11} 7} + 7^{\log_{11} x} = 98$

ОДЗ: $x > 0$.

Воспользуемся свойством логарифма $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$.

Применим это свойство к первому слагаемому:

$x^{\log_{11} 7} = 7^{\log_{11} x}$

Теперь уравнение можно переписать:

$7^{\log_{11} x} + 7^{\log_{11} x} = 98$

$2 \cdot 7^{\log_{11} x} = 98$

$7^{\log_{11} x} = 49$

Представим 49 как степень 7:

$7^{\log_{11} x} = 7^2$

Приравниваем показатели степени:

$\log_{11} x = 2$

Отсюда $x = 11^2 = 121$.

Корень удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $121$.

44. Решите уравнение:

1) $\frac{2\log_7(-x)}{\log_7(-5-6x)} = 1;$

2) $\frac{\log_5(x^2 - 2x - 3) - 1}{\log_4(x - 3)} = 0.$

Решим уравнение $\frac{2\log_7(-x)}{\log_7(-5-6x)} = 1$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, а знаменатель дроби не должен равняться нулю.

$$ \begin{cases} -x > 0 \\ -5 - 6x > 0 \\ \log_7(-5 - 6x) \neq 0 \end{cases} $$

Решим эту систему:

1) $-x > 0 \implies x < 0$.

2) $-5 - 6x > 0 \implies -6x > 5 \implies x < -\frac{5}{6}$.

3) $\log_7(-5 - 6x) \neq 0 \implies -5 - 6x \neq 7^0 \implies -5 - 6x \neq 1 \implies -6x \neq 6 \implies x \neq -1$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, -\frac{5}{6})$.

Теперь перейдем к решению уравнения. Умножим обе части на знаменатель (в пределах ОДЗ он не равен нулю):

$2\log_7(-x) = \log_7(-5-6x)$

Используем свойство логарифма $n \log_a b = \log_a (b^n)$:

$\log_7((-x)^2) = \log_7(-5-6x)$

$\log_7(x^2) = \log_7(-5-6x)$

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$x^2 = -5 - 6x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 6x + 5 = 0$

Найдем корни этого уравнения, например, по теореме Виета:

Сумма корней $x_1 + x_2 = -6$.

Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 5$.

Отсюда получаем корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -5$.

Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, -\frac{5}{6})$.

Корень $x_1 = -1$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель исходной дроби обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = -5$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-5 < -\frac{5}{6}$ и $-5 \neq -1$.

Ответ: -5

Решим уравнение $\frac{\log_5(x^2 - 2x - 3) - 1}{\log_4(x - 3)} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Также необходимо, чтобы все логарифмические выражения были определены (их аргументы должны быть положительными). Это приводит к следующей системе условий:

$$ \begin{cases} \log_5(x^2 - 2x - 3) - 1 = 0 \\ \log_4(x - 3) \neq 0 \\ x^2 - 2x - 3 > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} $$

1. Сначала решим уравнение из первой строки системы:

$\log_5(x^2 - 2x - 3) - 1 = 0$

$\log_5(x^2 - 2x - 3) = 1$

По определению логарифма, это эквивалентно:

$x^2 - 2x - 3 = 5^1$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения по теореме Виета:

Сумма корней $x_1 + x_2 = 2$.

Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -8$.

Отсюда получаем корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

2. Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни остальным условиям системы.

Проверка для корня $x_1 = 4$:

Подставим $x=4$ в условие $\log_4(x - 3) \neq 0$:

$\log_4(4 - 3) = \log_4(1) = 0$.

Это условие не выполняется, так как знаменатель обращается в ноль. Значит, $x = 4$ не является решением.

Проверка для корня $x_2 = -2$:

Подставим $x=-2$ в условие $x - 3 > 0$:

$-2 - 3 = -5$.

Неравенство $-5 > 0$ является ложным. Значит, при $x=-2$ логарифм в знаменателе не определен. Следовательно, $x = -2$ также не является решением.

Поскольку ни один из найденных потенциальных корней не удовлетворяет всем необходимым условиям, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет

45. Выясните, при каких значениях $a$ данное уравнение имеет корни, и найдите их:

1) $\log_3(4x + a) = \log_3(1 - 2x)$;

2) $\lg(x^2 - 3ax) = \lg(x - 6a + 2)$.

1) $\log_3(4x + a) = \log_3(1 - 2x)$

Данное логарифмическое уравнение равносильно системе, в которой аргументы логарифмов равны, и один из них (а следовательно, и оба) больше нуля:

$\begin{cases} 4x + a = 1 - 2x \\ 1 - 2x > 0 \end{cases}$

Из второго неравенства системы (область допустимых значений) следует, что $2x < 1$, то есть $x < \frac{1}{2}$.

Решим первое уравнение относительно $x$:

$4x + 2x = 1 - a$

$6x = 1 - a$

$x = \frac{1 - a}{6}$

Чтобы найденное значение $x$ было корнем исходного уравнения, оно должно удовлетворять области допустимых значений, то есть $x < \frac{1}{2}$.

Подставим выражение для $x$ в это неравенство:

$\frac{1 - a}{6} < \frac{1}{2}$

Умножим обе части неравенства на 6:

$1 - a < 3$

$-a < 2$

$a > -2$

Таким образом, уравнение имеет корень только при $a > -2$.

Ответ: при $a > -2$ уравнение имеет один корень $x = \frac{1 - a}{6}$.

2) $\lg(x^2 - 3ax) = \lg(x - 6a + 2)$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 3ax = x - 6a + 2 \\ x - 6a + 2 > 0 \end{cases}$

Преобразуем первое уравнение системы в квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 - 3ax - x + 6a - 2 = 0$

$x^2 - (3a + 1)x + (6a - 2) = 0$

Найдем его дискриминант:

$D = (-(3a+1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6a - 2) = (3a+1)^2 - 24a + 8 = 9a^2 + 6a + 1 - 24a + 8 = 9a^2 - 18a + 9 = 9(a^2 - 2a + 1) = 9(a-1)^2$

Поскольку $D = 9(a-1)^2 \ge 0$ для любого действительного значения $a$, квадратное уравнение всегда имеет корни.

Найдем корни по формуле:

$x = \frac{3a+1 \pm \sqrt{9(a-1)^2}}{2} = \frac{3a+1 \pm 3(a-1)}{2}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{3a+1 + 3(a-1)}{2} = \frac{3a+1+3a-3}{2} = \frac{6a-2}{2} = 3a-1$

$x_2 = \frac{3a+1 - 3(a-1)}{2} = \frac{3a+1-3a+3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Теперь проверим, при каких значениях $a$ эти корни удовлетворяют условию $x - 6a + 2 > 0$ (область допустимых значений).

Для корня $x_1 = 3a-1$:

$(3a-1) - 6a + 2 > 0$

$-3a + 1 > 0$

$1 > 3a$

$a < \frac{1}{3}$

Значит, $x_1 = 3a-1$ является корнем исходного уравнения при $a < \frac{1}{3}$.

Для корня $x_2 = 2$:

$2 - 6a + 2 > 0$

$4 - 6a > 0$

$4 > 6a$

$a < \frac{4}{6}$

$a < \frac{2}{3}$

Значит, $x_2 = 2$ является корнем исходного уравнения при $a < \frac{2}{3}$.

Теперь объединим полученные результаты, чтобы определить количество корней в зависимости от значения $a$:

• Если $a < \frac{1}{3}$, то оба условия ($a < \frac{1}{3}$ и $a < \frac{2}{3}$) выполняются. При этом корни $3a-1$ и $2$ различны, так как равенство $3a-1=2$ достигается при $a=1$, что не входит в рассматриваемый интервал. Следовательно, уравнение имеет два корня: $x_1 = 3a-1$ и $x_2 = 2$.
• Если $\frac{1}{3} \le a < \frac{2}{3}$, то условие $a < \frac{1}{3}$ не выполняется (значит, $x_1 = 3a-1$ не является корнем), а условие $a < \frac{2}{3}$ выполняется. Следовательно, уравнение имеет один корень: $x_2 = 2$.
• Если $a \ge \frac{2}{3}$, то ни одно из условий не выполняется, и уравнение не имеет корней.

Ответ: уравнение имеет корни при $a < \frac{2}{3}$. Если $a < \frac{1}{3}$, то корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3a - 1$. Если $\frac{1}{3} \le a < \frac{2}{3}$, то корень $x = 2$.

46. При каких значениях b уравнение $2\lg(x + 1) = \lg bx$ имеет единственный корень?

Для решения данного уравнения необходимо сначала определить его область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x+1 > 0 \\ bx > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x > -1$. Второе неравенство $bx > 0$ зависит от знака параметра $b$. Заметим, что $b \ne 0$, иначе логарифм $\lg(bx)$ не определен.

Рассмотрим два случая:

1. Если $b > 0$, то из $bx > 0$ следует $x > 0$. Объединяя с условием $x > -1$, получаем ОДЗ: $x > 0$.
2. Если $b < 0$, то из $bx > 0$ следует $x < 0$. Объединяя с условием $x > -1$, получаем ОДЗ: $-1 < x < 0$.

Теперь преобразуем исходное уравнение, используя свойство логарифма $n \log_a M = \log_a M^n$:

$2\lg(x + 1) = \lg(bx)$

$\lg((x + 1)^2) = \lg(bx)$

Так как основания логарифмов одинаковы, можем приравнять их аргументы:

$(x + 1)^2 = bx$

$x^2 + 2x + 1 = bx$

$x^2 + (2 - b)x + 1 = 0$

Задача сводится к тому, чтобы найти такие значения $b$, при которых полученное квадратное уравнение имеет ровно один корень, удовлетворяющий соответствующей ОДЗ.

Случай 1: $b > 0$

В этом случае ОДЗ: $x > 0$. Нам нужно, чтобы квадратное уравнение $x^2 + (2 - b)x + 1 = 0$ имело ровно один положительный корень.

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = (2 - b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4b + b^2 - 4 = b^2 - 4b = b(b-4)$

Действительные корни существуют при $D \ge 0$. Так как $b > 0$, это неравенство сводится к $b-4 \ge 0$, то есть $b \ge 4$.

• При $b = 4$, дискриминант $D = 0$. Уравнение имеет единственный корень: $x = -\frac{2-b}{2} = -\frac{2-4}{2} = 1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($1 > 0$), значит, $b=4$ является решением.
• При $b > 4$, дискриминант $D > 0$, и уравнение имеет два различных действительных корня. Согласно теореме Виета, их произведение $x_1 x_2 = 1 > 0$, а их сумма $x_1 + x_2 = -(2-b) = b-2$. Так как $b > 4$, то $b-2 > 2 > 0$. Поскольку и сумма, и произведение корней положительны, оба корня положительны и, следовательно, удовлетворяют ОДЗ. В этом случае исходное уравнение имеет два корня.
• При $0 < b < 4$, дискриминант $D < 0$, и действительных корней нет.

Таким образом, в случае $b > 0$ единственное решение существует только при $b=4$.

Случай 2: $b < 0$

В этом случае ОДЗ: $-1 < x < 0$. Нам нужно, чтобы квадратное уравнение $x^2 + (2 - b)x + 1 = 0$ имело ровно один корень в интервале $(-1, 0)$.

Дискриминант $D = b(b-4)$. Так как $b < 0$, то $b-4$ также отрицательно. Следовательно, $D > 0$ для всех $b < 0$. Это означает, что при $b < 0$ квадратное уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

По теореме Виета, произведение корней $x_1 x_2 = 1 > 0$, значит, корни имеют одинаковый знак. Сумма корней $x_1 + x_2 = b-2$. Так как $b < 0$, сумма $b-2 < -2$, то есть отрицательна. Следовательно, оба корня отрицательны.

Теперь выясним, сколько из этих отрицательных корней попадает в интервал $(-1, 0)$. Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 + (2 - b)x + 1$. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем значения функции на концах интервала $(-1, 0)$:

$f(0) = 0^2 + (2 - b) \cdot 0 + 1 = 1$

$f(-1) = (-1)^2 + (2 - b)(-1) + 1 = 1 - 2 + b + 1 = b$

Поскольку $b < 0$, то $f(-1) < 0$. Так как на концах отрезка $[-1, 0]$ функция принимает значения разных знаков ($f(-1) < 0$ и $f(0) > 0$), то внутри интервала $(-1, 0)$ находится ровно один корень. Второй корень, так как он тоже отрицателен, должен быть меньше $-1$.

Таким образом, для любого значения $b < 0$ исходное уравнение имеет ровно один корень, удовлетворяющий ОДЗ.

Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, приходим к выводу, что уравнение имеет единственный корень при $b < 0$ и при $b=4$.

Ответ: $b \in (-\infty, 0) \cup \{4\}$