Страница 36 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

8. Постройте график функции:

1) $y = 3x - 3$;

2) $y = 3x + 2$;

3) $y = 2 - 3x$;

4) $y = |3x - 2|$.

1) $y = 3^x - 3$
Для построения графика функции $y = 3^x - 3$ воспользуемся методом преобразования графиков. В качестве основного графика возьмем график показательной функции $y = 3^x$.
1. Построим график базовой функции $y=3^x$. Это стандартная показательная функция, которая проходит через точки $(0, 1)$ (так как $3^0=1$) и $(1, 3)$ (так как $3^1=3$). Ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для этого графика при $x \to -\infty$.
2. График функции $y = 3^x - 3$ получается из графика $y = 3^x$ путем параллельного переноса на 3 единицы вниз вдоль оси ординат ($Oy$).
3. Каждая точка графика $y = 3^x$ смещается на 3 единицы вниз. Так, точка $(0, 1)$ переходит в точку $(0, 1-3) = (0, -2)$ — это точка пересечения с осью $Oy$. Точка $(1, 3)$ переходит в точку $(1, 3-3) = (1, 0)$ — это точка пересечения с осью $Ox$.
4. Горизонтальная асимптота $y=0$ также смещается на 3 единицы вниз, и новой асимптотой становится прямая $y=-3$.

Ответ: График функции $y = 3^x - 3$ является графиком функции $y=3^x$, сдвинутым на 3 единицы вниз. График пересекает оси координат в точках $(1, 0)$ и $(0, -2)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=-3$.

2) $y = 3^{x+2}$
Для построения графика функции $y = 3^{x+2}$ также используем преобразование базового графика $y = 3^x$.
1. Строим график функции $y = 3^x$, проходящий через точки $(0, 1)$ и $(1, 3)$, с горизонтальной асимптотой $y=0$.
2. График функции $y = 3^{x+2}$ получается из графика $y = 3^x$ путем параллельного переноса на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс ($Ox$).
3. Каждая точка графика $y = 3^x$ смещается на 2 единицы влево. Точка $(0, 1)$ переходит в точку $(0-2, 1) = (-2, 1)$. Точка $(1, 3)$ переходит в точку $(1-2, 3) = (-1, 3)$. Точка пересечения с осью $Oy$ находится при $x=0$: $y=3^{0+2}=3^2=9$. Таким образом, график пересекает ось $Oy$ в точке $(0, 9)$.
4. Горизонтальный сдвиг не влияет на горизонтальную асимптоту, поэтому она остается прежней: $y=0$.

Ответ: График функции $y = 3^{x+2}$ является графиком функции $y=3^x$, сдвинутым на 2 единицы влево. График пересекает ось $Oy$ в точке $(0, 9)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$.

3) $y = 2 - 3^x$
Для построения графика функции $y = 2 - 3^x$ (или $y = -3^x + 2$) выполним два последовательных преобразования графика $y = 3^x$.
1. Сначала построим график функции $y = -3^x$. Он получается из графика $y = 3^x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс ($Ox$). Если $y=3^x$ проходит через $(0, 1)$ и $(1, 3)$, то $y=-3^x$ будет проходить через $(0, -1)$ и $(1, -3)$. Асимптота $y=0$ сохраняется.
2. Затем построим график функции $y = -3^x + 2$. Он получается из графика $y = -3^x$ путем сдвига на 2 единицы вверх вдоль оси ординат ($Oy$).
3. Точка $(0, -1)$ переходит в точку $(0, -1+2) = (0, 1)$ — это точка пересечения с осью $Oy$. Точка $(1, -3)$ переходит в точку $(1, -3+2) = (1, -1)$.
4. Горизонтальная асимптота $y=0$ также сдвигается на 2 единицы вверх и становится прямой $y=2$.
5. Найдем точку пересечения с осью $Ox$, решив уравнение $y=0$: $2-3^x=0 \implies 3^x=2 \implies x=\log_3 2$. Таким образом, точка пересечения с осью $Ox$ — $(\log_3 2, 0)$.

Ответ: График функции $y = 2 - 3^x$ получается из графика $y=3^x$ путем его отражения относительно оси $Ox$ и последующего сдвига на 2 единицы вверх. График пересекает оси координат в точках $(\log_3 2, 0)$ и $(0, 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=2$.

4) $y = |3^x - 2|$
Для построения графика функции с модулем $y = |3^x - 2|$ нужно сначала построить график подмодульной функции $y = 3^x - 2$, а затем часть графика, расположенную ниже оси $Ox$, симметрично отразить относительно этой оси.
1. Строим график вспомогательной функции $y_1 = 3^x - 2$. Он получается из графика $y=3^x$ сдвигом на 2 единицы вниз.

• Горизонтальная асимптота смещается на 2 вниз и становится $y=-2$.
• Точка пересечения с осью $Oy$: при $x=0$, $y_1=3^0-2 = 1-2 = -1$. Точка $(0, -1)$.
• Точка пересечения с осью $Ox$: при $y_1=0$, $3^x-2=0 \implies 3^x=2 \implies x=\log_3 2$. Точка $(\log_3 2, 0)$.

2. Теперь применяем модуль: $y = |y_1| = |3^x - 2|$.

• Часть графика $y_1 = 3^x - 2$, где $y_1 \ge 0$ (то есть при $x \ge \log_3 2$), остается без изменений.
• Часть графика $y_1 = 3^x - 2$, где $y_1 < 0$ (то есть при $x < \log_3 2$), симметрично отражается относительно оси $Ox$.

3. В результате отражения:

• Точка $(0, -1)$ переходит в точку $(0, 1)$. Это новая точка пересечения с осью $Oy$.
• Горизонтальная асимптота $y=-2$ для левой части графика отражается в асимптоту $y=2$ (при $x \to -\infty$).
• Точка пересечения с осью $Ox$ $(\log_3 2, 0)$ является "точкой излома" графика.

Ответ: График функции $y = |3^x - 2|$ получается из графика $y=3^x-2$ путем отражения его части, лежащей ниже оси $Ox$, в верхнюю полуплоскость. График имеет "излом" в точке $(\log_3 2, 0)$, пересекает ось $Oy$ в точке $(0, 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=2$ при $x \to -\infty$.

9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = 7^{\cos x}$;

2) $y = \left(\frac{1}{7}\right)^{|\sin x|} - 4$.

1) $y = 7^{\cos x}$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений данной функции, проанализируем её составляющие. Область значений функции косинус $E(\cos x)$ находится в промежутке $[-1, 1]$. То есть, $-1 \le \cos x \le 1$.

Показательная функция $f(t) = 7^t$ с основанием $7 > 1$ является монотонно возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента $t$ соответствует большее значение функции $f(t)$.

Следовательно, наименьшее значение функции $y$ будет достигаться при наименьшем значении показателя $\cos x = -1$:

$y_{наим} = 7^{-1} = \frac{1}{7}$.

Наибольшее значение функции $y$ будет достигаться при наибольшем значении показателя $\cos x = 1$:

$y_{наиб} = 7^1 = 7$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $\frac{1}{7}$, наибольшее значение равно $7$.

2) $y = \left(\frac{1}{7}\right)^{|\sin x|} - 4$

Сначала определим область значений показателя степени. Область значений функции синус: $-1 \le \sin x \le 1$. Следовательно, область значений модуля синуса: $0 \le |\sin x| \le 1$.

Показательная функция $g(t) = \left(\frac{1}{7}\right)^t$ с основанием $0 < \frac{1}{7} < 1$ является монотонно убывающей. Это означает, что большему значению аргумента $t$ соответствует меньшее значение функции $g(t)$.

Следовательно, наибольшее значение функции $y$ будет достигаться при наименьшем значении показателя $|\sin x| = 0$:

$y_{наиб} = \left(\frac{1}{7}\right)^0 - 4 = 1 - 4 = -3$.

Наименьшее значение функции $y$ будет достигаться при наибольшем значении показателя $|\sin x| = 1$:

$y_{наим} = \left(\frac{1}{7}\right)^1 - 4 = \frac{1}{7} - 4 = \frac{1-28}{7} = -\frac{27}{7}$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-\frac{27}{7}$, наибольшее значение равно $-3$.

10. Решите уравнение:

1) $5^x = 625;$

2) $11^{4x-3} = 11^{8x};$

3) $19^{x^2-4x-21} = 1;$

4) $27^x = 81;$

5) $0,04^{x-6} = 5^{x+4};$

6) $(3^{x-2})^{x-4} = \frac{1}{3};$

7) $\left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \left(\frac{9}{8}\right)^x = \frac{64}{27};$

8) $14^{x^2-3x} = 9^{x^2-3x};$

9) $3^x \cdot 7^{x+1} = \frac{1}{3} \cdot 21^{5x-4};$

10) $\sqrt[4]{8^{x-1}} = \sqrt[5]{4^{x+1}}.$

1) $5^x = 625$

Представим число 625 как степень числа 5.

$625 = 5 \cdot 125 = 5 \cdot 5^3 = 5^4$.

Получаем уравнение:

$5^x = 5^4$.

Так как основания степеней равны, то и показатели степеней должны быть равны:

$x = 4$.

Ответ: $4$.

2) $11^{4x-3} = 11^{8x}$

В данном уравнении основания степеней одинаковы (равны 11). Следовательно, мы можем приравнять их показатели:

$4x - 3 = 8x$.

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения в другую:

$-3 = 8x - 4x$.

$-3 = 4x$.

$x = -\frac{3}{4}$.

Ответ: $-\frac{3}{4}$.

3) $19^{x^2-4x-21} = 1$

Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1. Представим 1 как $19^0$.

$19^{x^2-4x-21} = 19^0$.

Приравняем показатели степеней:

$x^2 - 4x - 21 = 0$.

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета:

$x_1 + x_2 = 4$

$x_1 \cdot x_2 = -21$

Подбором находим корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -3$.

Ответ: $-3; 7$.

4) $27^x = 81$

Представим числа 27 и 81 как степени одного и того же основания, в данном случае 3.

$27 = 3^3$, $81 = 3^4$.

Подставим эти значения в уравнение:

$(3^3)^x = 3^4$.

$3^{3x} = 3^4$.

Приравняем показатели степеней:

$3x = 4$.

$x = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

5) $0.04^{x-6} = 5^{x+4}$

Приведем основания к одному числу. Заметим, что $0.04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 5^{-2}$.

Подставим это в уравнение:

$(5^{-2})^{x-6} = 5^{x+4}$.

$5^{-2(x-6)} = 5^{x+4}$.

$5^{-2x+12} = 5^{x+4}$.

Приравняем показатели степеней:

$-2x + 12 = x + 4$.

$12 - 4 = x + 2x$.

$8 = 3x$.

$x = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$.

6) $(3^{x-2})^{x-4} = \frac{1}{3}$

Упростим левую часть и представим правую часть как степень числа 3.

$(3^{x-2})^{x-4} = 3^{(x-2)(x-4)}$

$\frac{1}{3} = 3^{-1}$

Получаем уравнение:

$3^{(x-2)(x-4)} = 3^{-1}$.

Приравняем показатели степеней:

$(x-2)(x-4) = -1$.

$x^2 - 4x - 2x + 8 = -1$.

$x^2 - 6x + 9 = 0$.

Это формула квадрата разности:

$(x-3)^2 = 0$.

$x-3 = 0$.

$x = 3$.

Ответ: $3$.

7) $(\frac{2}{3})^x \cdot (\frac{9}{8})^x = \frac{64}{27}$

Используем свойство степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ для левой части:

$(\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8})^x = \frac{64}{27}$.

Упростим выражение в скобках:

$(\frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 8})^x = (\frac{18}{24})^x = (\frac{3}{4})^x$.

Представим правую часть как степень числа $\frac{3}{4}$:

$\frac{64}{27} = \frac{4^3}{3^3} = (\frac{4}{3})^3 = (\frac{3}{4})^{-3}$.

Уравнение принимает вид:

$(\frac{3}{4})^x = (\frac{3}{4})^{-3}$.

Приравниваем показатели:

$x = -3$.

Ответ: $-3$.

8) $14^{x^2-3x} = 9^{x^2-3x}$

Разделим обе части уравнения на $9^{x^2-3x}$ (это выражение всегда положительно):

$\frac{14^{x^2-3x}}{9^{x^2-3x}} = 1$.

$(\frac{14}{9})^{x^2-3x} = 1$.

Так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, получаем:

$x^2 - 3x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x-3) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $x-3=0 \implies x_2 = 3$.

Ответ: $0; 3$.

9) $3^x \cdot 7^{x+1} = \frac{1}{3} \cdot 21^{5x-4}$

Приведем все степени к основаниям 3 и 7. Заметим, что $21 = 3 \cdot 7$ и $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

$3^x \cdot 7^{x+1} = 3^{-1} \cdot (3 \cdot 7)^{5x-4}$.

$3^x \cdot 7^{x+1} = 3^{-1} \cdot 3^{5x-4} \cdot 7^{5x-4}$.

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в правой части:

$3^x \cdot 7^{x+1} = 3^{-1+5x-4} \cdot 7^{5x-4}$.

$3^x \cdot 7^{x+1} = 3^{5x-5} \cdot 7^{5x-4}$.

Разделим обе части на $3^x \cdot 7^{5x-4}$:

$\frac{7^{x+1}}{7^{5x-4}} = \frac{3^{5x-5}}{3^x}$.

$7^{(x+1)-(5x-4)} = 3^{(5x-5)-x}$.

$7^{-4x+5} = 3^{4x-5}$.

$7^{-(4x-5)} = 3^{4x-5}$.

$\frac{1}{7^{4x-5}} = 3^{4x-5}$.

$1 = 3^{4x-5} \cdot 7^{4x-5}$.

$1 = (3 \cdot 7)^{4x-5}$.

$1 = 21^{4x-5}$.

Приравниваем показатель к нулю:

$4x - 5 = 0$.

$4x = 5$.

$x = \frac{5}{4}$.

Ответ: $\frac{5}{4}$.

10) $\sqrt[4]{8^{x-1}} = \sqrt[5]{4^{x+1}}$

Представим корни в виде степеней с дробными показателями:

$(8^{x-1})^{\frac{1}{4}} = (4^{x+1})^{\frac{1}{5}}$.

$8^{\frac{x-1}{4}} = 4^{\frac{x+1}{5}}$.

Приведем основания 8 и 4 к одному основанию 2: $8=2^3$, $4=2^2$.

$(2^3)^{\frac{x-1}{4}} = (2^2)^{\frac{x+1}{5}}$.

$2^{\frac{3(x-1)}{4}} = 2^{\frac{2(x+1)}{5}}$.

Приравняем показатели степеней:

$\frac{3(x-1)}{4} = \frac{2(x+1)}{5}$.

Решим уравнение, используя основное свойство пропорции:

$5 \cdot 3(x-1) = 4 \cdot 2(x+1)$.

$15(x-1) = 8(x+1)$.

$15x - 15 = 8x + 8$.

$15x - 8x = 8 + 15$.

$7x = 23$.

$x = \frac{23}{7}$.

Ответ: $\frac{23}{7}$.

11. Решите уравнение:

1) $5^x + 5^{x+2} = 130;$

2) $2^x + 3 \cdot 2^{x-1} = 20;$

3) $2 \cdot 3^{x+1} - 4 \cdot 3^{x-2} - 25 \cdot 3^{x-3} = 375;$

4) $3 \cdot 2^{12x-1} - 4^{6x-1} + 5 \cdot 8^{4x-1} = 60;$

5) $2^x + 2^{x-1} - 2^{x-2} = 5^x + 5^{x-1} - 28 \cdot 5^{x-2};$

6) $4^x - 3^{x-0,5} = 3^{x+0,5} - 2^{2x-1}.$

1) $5^x + 5^{x+2} = 130$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы преобразовать второе слагаемое:

$5^{x+2} = 5^x \cdot 5^2 = 25 \cdot 5^x$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$5^x + 25 \cdot 5^x = 130$

Вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:

$5^x(1 + 25) = 130$

$5^x \cdot 26 = 130$

Разделим обе части уравнения на 26:

$5^x = \frac{130}{26}$

$5^x = 5$

Так как $5 = 5^1$, получаем:

$x = 1$

Ответ: $x = 1$.

2) $2^x + 3 \cdot 2^{x-1} = 20$

Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, чтобы преобразовать второе слагаемое:

$2^{x-1} = \frac{2^x}{2^1} = \frac{2^x}{2}$

Подставим это в уравнение:

$2^x + 3 \cdot \frac{2^x}{2} = 20$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x(1 + \frac{3}{2}) = 20$

$2^x(\frac{2}{2} + \frac{3}{2}) = 20$

$2^x \cdot \frac{5}{2} = 20$

Умножим обе части на $\frac{2}{5}$:

$2^x = 20 \cdot \frac{2}{5}$

$2^x = 8$

Представим 8 как степень двойки: $8 = 2^3$.

$2^x = 2^3$

$x = 3$

Ответ: $x = 3$.

3) $2 \cdot 3^{x+1} - 4 \cdot 3^{x-2} - 25 \cdot 3^{x-3} = 375$

Преобразуем все слагаемые, приведя их к основанию $3^x$:

$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$

$3^{x-2} = \frac{3^x}{3^2} = \frac{3^x}{9}$

$3^{x-3} = \frac{3^x}{3^3} = \frac{3^x}{27}$

Подставим преобразованные выражения в уравнение:

$2 \cdot (3 \cdot 3^x) - 4 \cdot (\frac{3^x}{9}) - 25 \cdot (\frac{3^x}{27}) = 375$

$6 \cdot 3^x - \frac{4}{9} \cdot 3^x - \frac{25}{27} \cdot 3^x = 375$

Вынесем $3^x$ за скобки:

$3^x(6 - \frac{4}{9} - \frac{25}{27}) = 375$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 27:

$3^x(\frac{6 \cdot 27}{27} - \frac{4 \cdot 3}{27} - \frac{25}{27}) = 375$

$3^x(\frac{162 - 12 - 25}{27}) = 375$

$3^x(\frac{125}{27}) = 375$

Решим относительно $3^x$:

$3^x = 375 \cdot \frac{27}{125}$

$3^x = 3 \cdot 27$

$3^x = 81$

Представим 81 как степень тройки: $81 = 3^4$.

$3^x = 3^4$

$x = 4$

Ответ: $x = 4$.

4) $3 \cdot 2^{12x-1} - 4^{6x-1} + 5 \cdot 8^{4x-1} = 60$

Приведем все степени к основанию 2:

$4^{6x-1} = (2^2)^{6x-1} = 2^{2(6x-1)} = 2^{12x-2}$

$8^{4x-1} = (2^3)^{4x-1} = 2^{3(4x-1)} = 2^{12x-3}$

Подставим в уравнение:

$3 \cdot 2^{12x-1} - 2^{12x-2} + 5 \cdot 2^{12x-3} = 60$

Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $2^{12x-3}$:

$2^{12x-3} \cdot (3 \cdot 2^2 - 2^1 + 5 \cdot 2^0) = 60$

Упростим выражение в скобках:

$2^{12x-3} \cdot (3 \cdot 4 - 2 + 5 \cdot 1) = 60$

$2^{12x-3} \cdot (12 - 2 + 5) = 60$

$2^{12x-3} \cdot 15 = 60$

Разделим обе части на 15:

$2^{12x-3} = \frac{60}{15}$

$2^{12x-3} = 4$

Представим 4 как степень двойки: $4 = 2^2$.

$2^{12x-3} = 2^2$

Приравняем показатели степеней:

$12x - 3 = 2$

$12x = 5$

$x = \frac{5}{12}$

Ответ: $x = \frac{5}{12}$.

5) $2^x + 2^{x-1} - 2^{x-2} = 5^x + 5^{x-1} - 28 \cdot 5^{x-2}$

Упростим левую и правую части уравнения по отдельности.

Левая часть: вынесем за скобки $2^{x-2}$.

$2^{x-2}(2^2 + 2^1 - 1) = 2^{x-2}(4 + 2 - 1) = 5 \cdot 2^{x-2}$

Правая часть: вынесем за скобки $5^{x-2}$.

$5^{x-2}(5^2 + 5^1 - 28) = 5^{x-2}(25 + 5 - 28) = 2 \cdot 5^{x-2}$

Получаем уравнение:

$5 \cdot 2^{x-2} = 2 \cdot 5^{x-2}$

Сгруппируем степени с одинаковыми показателями. Разделим обе части на $5^{x-2}$ и на 5:

$\frac{2^{x-2}}{5^{x-2}} = \frac{2}{5}$

Используем свойство $\frac{a^m}{b^m} = (\frac{a}{b})^m$:

$(\frac{2}{5})^{x-2} = (\frac{2}{5})^1$

Приравняем показатели степеней:

$x - 2 = 1$

$x = 3$

Ответ: $x = 3$.

6) $4^x - 3^{x-0,5} = 3^{x+0,5} - 2^{2x-1}$

Представим $4^x$ как $(2^2)^x = 2^{2x}$ и сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$2^{2x} + 2^{2x-1} = 3^{x+0,5} + 3^{x-0,5}$

Вынесем общие множители в левой и правой частях.

В левой части вынесем $2^{2x-1}$:

$2^{2x-1}(2^1 + 1) = 2^{2x-1} \cdot 3$

В правой части вынесем $3^{x-0,5}$:

$3^{x-0,5}(3^1 + 1) = 3^{x-0,5} \cdot 4$

Получаем уравнение:

$3 \cdot 2^{2x-1} = 4 \cdot 3^{x-0,5}$

Разделим обе части на 3 и на 4:

$\frac{2^{2x-1}}{4} = \frac{3^{x-0,5}}{3}$

Представим 4 как $2^2$ и 3 как $3^1$:

$\frac{2^{2x-1}}{2^2} = \frac{3^{x-0,5}}{3^1}$

Используем свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{(2x-1)-2} = 3^{(x-0,5)-1}$

$2^{2x-3} = 3^{x-1,5}$

Заметим, что $2x-3 = 2(x-1,5)$.

$2^{2(x-1,5)} = 3^{x-1,5}$

$(2^2)^{x-1,5} = 3^{x-1,5}$

$4^{x-1,5} = 3^{x-1,5}$

Разделим обе части на $3^{x-1,5}$ (это возможно, так как $3^{x-1,5} \neq 0$):

$(\frac{4}{3})^{x-1,5} = 1$

Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, поэтому:

$x - 1,5 = 0$

$x = 1,5$

Ответ: $x = 1,5$.

12. Решите уравнение:

1) $5^{2x} - 30 \cdot 5^x + 125 = 0;$

2) $2 \cdot 4^x - 15 \cdot 2^x - 8 = 0;$

3) $3^{2x+5} = 3^{x+2} + 2;$

4) $36^{x-3} - 252 \cdot 6^{x-5} + 6 = 0;$

5) $\frac{5}{3^{x+2} - 2} - \frac{4}{3^{x+2} - 1} = 3;$

6) $2^x + 2^{2-x} = 5;$

7) $4^{\cos 2x} + 4^{\cos^2 x} = 3;$

8) $\left(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)^x + \left(\sqrt{3-2\sqrt{2}}\right)^x = 6.$

1) $5^{2x} - 30 \cdot 5^x + 125 = 0$

Это показательное уравнение, которое сводится к квадратному. Пусть $y = 5^x$, где $y > 0$. Тогда уравнение принимает вид:

$y^2 - 30y + 125 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 30, а произведение равно 125. Корни уравнения: $y_1 = 5$ и $y_2 = 25$. Оба корня положительны, поэтому подходят.

Вернемся к замене:

1) $5^x = y_1 \implies 5^x = 5 \implies 5^x = 5^1 \implies x = 1$.

2) $5^x = y_2 \implies 5^x = 25 \implies 5^x = 5^2 \implies x = 2$.

Ответ: $1; 2$.

2) $2 \cdot 4^x - 15 \cdot 2^x - 8 = 0$

Преобразуем уравнение, учитывая, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$.

$2 \cdot (2^x)^2 - 15 \cdot 2^x - 8 = 0$

Сделаем замену $y = 2^x$, где $y > 0$.

$2y^2 - 15y - 8 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-8) = 225 + 64 = 289 = 17^2$

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 17}{2 \cdot 2} = \frac{32}{4} = 8$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 17}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Корень $y_2 = -0.5$ не удовлетворяет условию $y > 0$. Рассматриваем только $y_1 = 8$.

Возвращаемся к замене: $2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x = 3$.

Ответ: $3$.

3) $3^{2x+5} = 3^{x+2} + 2$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$3^{2x} \cdot 3^5 = 3^x \cdot 3^2 + 2$

$243 \cdot (3^x)^2 = 9 \cdot 3^x + 2$

Сделаем замену $y = 3^x$, где $y > 0$.

$243y^2 - 9y - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 243 \cdot (-2) = 81 + 1944 = 2025 = 45^2$

$y_1 = \frac{9 + 45}{2 \cdot 243} = \frac{54}{486} = \frac{1}{9}$

$y_2 = \frac{9 - 45}{2 \cdot 243} = \frac{-36}{486} < 0$

Корень $y_2$ не подходит, так как $y > 0$.

Возвращаемся к замене: $3^x = \frac{1}{9} \implies 3^x = 3^{-2} \implies x = -2$.

Ответ: $-2$.

4) $36^{x-3} - 252 \cdot 6^{x-5} + 6 = 0$

Приведем степени к одному основанию и показателю. Удобно выбрать показатель $x-5$.

$36^{x-3} = 36^{(x-5)+2} = 36^{x-5} \cdot 36^2 = (6^2)^{x-5} \cdot 1296 = 1296 \cdot (6^{x-5})^2$

Уравнение принимает вид:

$1296 \cdot (6^{x-5})^2 - 252 \cdot 6^{x-5} + 6 = 0$

Сделаем замену $y = 6^{x-5}$, где $y > 0$.

$1296y^2 - 252y + 6 = 0$

Разделим все уравнение на 6:

$216y^2 - 42y + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = (-42)^2 - 4 \cdot 216 \cdot 1 = 1764 - 864 = 900 = 30^2$

$y_1 = \frac{42 + 30}{2 \cdot 216} = \frac{72}{432} = \frac{1}{6}$

$y_2 = \frac{42 - 30}{2 \cdot 216} = \frac{12}{432} = \frac{1}{36}$

Оба корня положительны. Вернемся к замене:

1) $6^{x-5} = y_1 \implies 6^{x-5} = \frac{1}{6} \implies 6^{x-5} = 6^{-1} \implies x-5 = -1 \implies x = 4$.

2) $6^{x-5} = y_2 \implies 6^{x-5} = \frac{1}{36} \implies 6^{x-5} = 6^{-2} \implies x-5 = -2 \implies x = 3$.

Ответ: $3; 4$.

5) $\frac{5}{3^{x+2} - 2} - \frac{4}{3^{x+2} - 1} = 3$

Введем замену $y = 3^{x+2}$. Область допустимых значений: $y \neq 2$ и $y \neq 1$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{5}{y - 2} - \frac{4}{y - 1} = 3$

Приведем к общему знаменателю $(y - 2)(y - 1)$:

$5(y - 1) - 4(y - 2) = 3(y - 2)(y - 1)$

$5y - 5 - 4y + 8 = 3(y^2 - 3y + 2)$

$y + 3 = 3y^2 - 9y + 6$

$3y^2 - 10y + 3 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$

$y_1 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

$y_2 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($y \neq 2$, $y \neq 1$). Также, так как $y = 3^{x+2}$, то $y>0$, что выполняется для обоих корней.

Вернемся к замене:

1) $3^{x+2} = y_1 \implies 3^{x+2} = 3 \implies 3^{x+2} = 3^1 \implies x+2 = 1 \implies x = -1$.

2) $3^{x+2} = y_2 \implies 3^{x+2} = \frac{1}{3} \implies 3^{x+2} = 3^{-1} \implies x+2 = -1 \implies x = -3$.

Ответ: $-3; -1$.

6) $2^x + 2^{2-x} = 5$

Используя свойство степени $a^{m-n} = a^m / a^n$, перепишем уравнение:

$2^x + \frac{2^2}{2^x} = 5 \implies 2^x + \frac{4}{2^x} = 5$

Сделаем замену $y = 2^x$, где $y > 0$.

$y + \frac{4}{y} = 5$

Умножим обе части на $y$ (так как $y \neq 0$):

$y^2 + 4 = 5y$

$y^2 - 5y + 4 = 0$

По теореме Виета, корни $y_1 = 1$ и $y_2 = 4$. Оба корня положительны.

Вернемся к замене:

1) $2^x = y_1 \implies 2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0$.

2) $2^x = y_2 \implies 2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x = 2$.

Ответ: $0; 2$.

7) $4^{\cos(2x)} + 4^{\cos^2 x} = 3$

Воспользуемся формулой двойного угла для косинуса: $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$.

Уравнение примет вид:

$4^{2\cos^2 x - 1} + 4^{\cos^2 x} = 3$

$\frac{4^{2\cos^2 x}}{4^1} + 4^{\cos^2 x} = 3$

$\frac{(4^{\cos^2 x})^2}{4} + 4^{\cos^2 x} = 3$

Сделаем замену $y = 4^{\cos^2 x}$. Так как $0 \le \cos^2 x \le 1$, то $4^0 \le y \le 4^1$, то есть $1 \le y \le 4$.

$\frac{y^2}{4} + y = 3$

Умножим на 4:

$y^2 + 4y = 12 \implies y^2 + 4y - 12 = 0$

По теореме Виета, корни $y_1 = 2$ и $y_2 = -6$.

Корень $y_2 = -6$ не удовлетворяет условию $1 \le y \le 4$. Корень $y_1 = 2$ подходит.

Вернемся к замене:

$4^{\cos^2 x} = 2$

$(2^2)^{\cos^2 x} = 2^1$

$2^{2\cos^2 x} = 2^1$

$2\cos^2 x = 1$

$\cos^2 x = \frac{1}{2}$

$\cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Это соответствует углам, для которых косинус по модулю равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Такие углы можно записать одной серией:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

8) $\left(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)^x + \left(\sqrt{3-2\sqrt{2}}\right)^x = 6$

Упростим выражения под корнями, выделив полный квадрат.

Заметим, что $3+2\sqrt{2} = 2 + 1 + 2\sqrt{2} \cdot 1 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 + 2\sqrt{2} \cdot 1 = (\sqrt{2}+1)^2$.

Аналогично, $3-2\sqrt{2} = (\sqrt{2}-1)^2$.

Тогда $\sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}+1)^2} = \sqrt{2}+1$.

И $\sqrt{3-2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = \sqrt{2}-1$.

Уравнение принимает вид:

$(\sqrt{2}+1)^x + (\sqrt{2}-1)^x = 6$

Заметим, что основания степеней являются взаимно обратными числами:

$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$, откуда $\sqrt{2}-1 = \frac{1}{\sqrt{2}+1} = (\sqrt{2}+1)^{-1}$.

Сделаем замену $y = (\sqrt{2}+1)^x$, где $y > 0$. Тогда $(\sqrt{2}-1)^x = ((\sqrt{2}+1)^{-1})^x = (\sqrt{2}+1)^{-x} = \frac{1}{y}$.

Уравнение становится:

$y + \frac{1}{y} = 6$

Умножим на $y$:

$y^2 + 1 = 6y \implies y^2 - 6y + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 36 - 4 = 32$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$

Оба корня положительны. Вернемся к замене:

1) $(\sqrt{2}+1)^x = y_1 = 3 + 2\sqrt{2}$. Мы уже знаем, что $3 + 2\sqrt{2} = (\sqrt{2}+1)^2$.

$(\sqrt{2}+1)^x = (\sqrt{2}+1)^2 \implies x = 2$.

2) $(\sqrt{2}+1)^x = y_2 = 3 - 2\sqrt{2}$. Мы знаем, что $3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2}-1)^2 = ((\sqrt{2}+1)^{-1})^2 = (\sqrt{2}+1)^{-2}$.

$(\sqrt{2}+1)^x = (\sqrt{2}+1)^{-2} \implies x = -2$.

Ответ: $\pm 2$.