Номер 10, страница 36 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

10. Решите уравнение:

1) $5^x = 625;$

2) $11^{4x-3} = 11^{8x};$

3) $19^{x^2-4x-21} = 1;$

4) $27^x = 81;$

5) $0,04^{x-6} = 5^{x+4};$

6) $(3^{x-2})^{x-4} = \frac{1}{3};$

7) $\left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \left(\frac{9}{8}\right)^x = \frac{64}{27};$

8) $14^{x^2-3x} = 9^{x^2-3x};$

9) $3^x \cdot 7^{x+1} = \frac{1}{3} \cdot 21^{5x-4};$

10) $\sqrt[4]{8^{x-1}} = \sqrt[5]{4^{x+1}}.$

1) $5^x = 625$

Представим число 625 как степень числа 5.

$625 = 5 \cdot 125 = 5 \cdot 5^3 = 5^4$.

Получаем уравнение:

$5^x = 5^4$.

Так как основания степеней равны, то и показатели степеней должны быть равны:

$x = 4$.

Ответ: $4$.

2) $11^{4x-3} = 11^{8x}$

В данном уравнении основания степеней одинаковы (равны 11). Следовательно, мы можем приравнять их показатели:

$4x - 3 = 8x$.

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения в другую:

$-3 = 8x - 4x$.

$-3 = 4x$.

$x = -\frac{3}{4}$.

Ответ: $-\frac{3}{4}$.

3) $19^{x^2-4x-21} = 1$

Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1. Представим 1 как $19^0$.

$19^{x^2-4x-21} = 19^0$.

Приравняем показатели степеней:

$x^2 - 4x - 21 = 0$.

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета:

$x_1 + x_2 = 4$

$x_1 \cdot x_2 = -21$

Подбором находим корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -3$.

Ответ: $-3; 7$.

4) $27^x = 81$

Представим числа 27 и 81 как степени одного и того же основания, в данном случае 3.

$27 = 3^3$, $81 = 3^4$.

Подставим эти значения в уравнение:

$(3^3)^x = 3^4$.

$3^{3x} = 3^4$.

Приравняем показатели степеней:

$3x = 4$.

$x = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

5) $0.04^{x-6} = 5^{x+4}$

Приведем основания к одному числу. Заметим, что $0.04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 5^{-2}$.

Подставим это в уравнение:

$(5^{-2})^{x-6} = 5^{x+4}$.

$5^{-2(x-6)} = 5^{x+4}$.

$5^{-2x+12} = 5^{x+4}$.

Приравняем показатели степеней:

$-2x + 12 = x + 4$.

$12 - 4 = x + 2x$.

$8 = 3x$.

$x = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$.

6) $(3^{x-2})^{x-4} = \frac{1}{3}$

Упростим левую часть и представим правую часть как степень числа 3.

$(3^{x-2})^{x-4} = 3^{(x-2)(x-4)}$

$\frac{1}{3} = 3^{-1}$

Получаем уравнение:

$3^{(x-2)(x-4)} = 3^{-1}$.

Приравняем показатели степеней:

$(x-2)(x-4) = -1$.

$x^2 - 4x - 2x + 8 = -1$.

$x^2 - 6x + 9 = 0$.

Это формула квадрата разности:

$(x-3)^2 = 0$.

$x-3 = 0$.

$x = 3$.

Ответ: $3$.

7) $(\frac{2}{3})^x \cdot (\frac{9}{8})^x = \frac{64}{27}$

Используем свойство степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ для левой части:

$(\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8})^x = \frac{64}{27}$.

Упростим выражение в скобках:

$(\frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 8})^x = (\frac{18}{24})^x = (\frac{3}{4})^x$.

Представим правую часть как степень числа $\frac{3}{4}$:

$\frac{64}{27} = \frac{4^3}{3^3} = (\frac{4}{3})^3 = (\frac{3}{4})^{-3}$.

Уравнение принимает вид:

$(\frac{3}{4})^x = (\frac{3}{4})^{-3}$.

Приравниваем показатели:

$x = -3$.

Ответ: $-3$.

8) $14^{x^2-3x} = 9^{x^2-3x}$

Разделим обе части уравнения на $9^{x^2-3x}$ (это выражение всегда положительно):

$\frac{14^{x^2-3x}}{9^{x^2-3x}} = 1$.

$(\frac{14}{9})^{x^2-3x} = 1$.

Так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, получаем:

$x^2 - 3x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x-3) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $x-3=0 \implies x_2 = 3$.

Ответ: $0; 3$.

9) $3^x \cdot 7^{x+1} = \frac{1}{3} \cdot 21^{5x-4}$

Приведем все степени к основаниям 3 и 7. Заметим, что $21 = 3 \cdot 7$ и $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

$3^x \cdot 7^{x+1} = 3^{-1} \cdot (3 \cdot 7)^{5x-4}$.

$3^x \cdot 7^{x+1} = 3^{-1} \cdot 3^{5x-4} \cdot 7^{5x-4}$.

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в правой части:

$3^x \cdot 7^{x+1} = 3^{-1+5x-4} \cdot 7^{5x-4}$.

$3^x \cdot 7^{x+1} = 3^{5x-5} \cdot 7^{5x-4}$.

Разделим обе части на $3^x \cdot 7^{5x-4}$:

$\frac{7^{x+1}}{7^{5x-4}} = \frac{3^{5x-5}}{3^x}$.

$7^{(x+1)-(5x-4)} = 3^{(5x-5)-x}$.

$7^{-4x+5} = 3^{4x-5}$.

$7^{-(4x-5)} = 3^{4x-5}$.

$\frac{1}{7^{4x-5}} = 3^{4x-5}$.

$1 = 3^{4x-5} \cdot 7^{4x-5}$.

$1 = (3 \cdot 7)^{4x-5}$.

$1 = 21^{4x-5}$.

Приравниваем показатель к нулю:

$4x - 5 = 0$.

$4x = 5$.

$x = \frac{5}{4}$.

Ответ: $\frac{5}{4}$.

10) $\sqrt[4]{8^{x-1}} = \sqrt[5]{4^{x+1}}$

Представим корни в виде степеней с дробными показателями:

$(8^{x-1})^{\frac{1}{4}} = (4^{x+1})^{\frac{1}{5}}$.

$8^{\frac{x-1}{4}} = 4^{\frac{x+1}{5}}$.

Приведем основания 8 и 4 к одному основанию 2: $8=2^3$, $4=2^2$.

$(2^3)^{\frac{x-1}{4}} = (2^2)^{\frac{x+1}{5}}$.

$2^{\frac{3(x-1)}{4}} = 2^{\frac{2(x+1)}{5}}$.

Приравняем показатели степеней:

$\frac{3(x-1)}{4} = \frac{2(x+1)}{5}$.

Решим уравнение, используя основное свойство пропорции:

$5 \cdot 3(x-1) = 4 \cdot 2(x+1)$.

$15(x-1) = 8(x+1)$.

$15x - 15 = 8x + 8$.

$15x - 8x = 8 + 15$.

$7x = 23$.

$x = \frac{23}{7}$.

Ответ: $\frac{23}{7}$.