Номер 6, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Найдите область значений функции:

1) $y = -8x;$

2) $y = 8x - 5;$

3) $y = \left(\frac{1}{8}\right)^x + 6;$

4) $y = 8|x|.$

1) Областью значений показательной функции вида $f(x) = a^x$, где основание $a > 0$ и $a \neq 1$, является множество всех положительных действительных чисел, то есть $E(f) = (0; +\infty)$. Для функции $y = -8^x$ мы имеем дело с показательной функцией $8^x$, умноженной на $-1$. Так как $8^x$ всегда принимает положительные значения ($8^x > 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$), то выражение $-8^x$ будет всегда принимать отрицательные значения. Если $8^x > 0$, то, умножая обе части неравенства на $-1$, мы меняем знак неравенства: $-8^x < 0$. Таким образом, область значений функции $y = -8^x$ — это все числа меньше нуля.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 0)$.

2) Рассмотрим функцию $y = 8^x - 5$. Эта функция является результатом сдвига графика функции $f(x) = 8^x$ на 5 единиц вниз по оси ординат. Область значений функции $f(x) = 8^x$ — это интервал $(0; +\infty)$, что можно записать в виде неравенства $8^x > 0$. Чтобы найти область значений для $y = 8^x - 5$, вычтем 5 из каждой части этого неравенства: $8^x - 5 > 0 - 5$ $y > -5$ Следовательно, область значений данной функции — это все числа, строго большие $-5$.
Ответ: $E(y) = (-5; +\infty)$.

3) Рассмотрим функцию $y = \left(\frac{1}{8}\right)^x + 6$. Эта функция является результатом сдвига графика функции $f(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^x$ на 6 единиц вверх по оси ординат. Область значений показательной функции $f(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^x$ — это интервал $(0; +\infty)$, так как основание $\frac{1}{8}$ положительно и не равно единице. Это можно записать в виде неравенства $\left(\frac{1}{8}\right)^x > 0$. Чтобы найти область значений для $y = \left(\frac{1}{8}\right)^x + 6$, прибавим 6 к каждой части этого неравенства: $\left(\frac{1}{8}\right)^x + 6 > 0 + 6$ $y > 6$ Следовательно, область значений данной функции — это все числа, строго большие $6$.
Ответ: $E(y) = (6; +\infty)$.

4) Рассмотрим функцию $y = 8^{|x|}$. Выражение в показателе степени, $|x|$, является модулем числа $x$. Область значений модуля — это множество всех неотрицательных чисел, то есть $|x| \geq 0$. Поскольку основание степени $8 > 1$, показательная функция $f(t) = 8^t$ является возрастающей. Это означает, что наименьшее значение функции $y = 8^{|x|}$ будет достигнуто при наименьшем значении показателя $|x|$. Наименьшее значение $|x|$ равно 0 (при $x=0$). Подставим это значение в функцию: $y_{min} = 8^0 = 1$. По мере увеличения $|x|$ (то есть при $x \to \infty$ или $x \to -\infty$), значение $8^{|x|}$ также будет неограниченно возрастать. Таким образом, функция принимает значения от 1 (включительно) до бесконечности.
Ответ: $E(y) = [1; +\infty)$.