Номер 173, страница 34 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

173. В коробке лежат 4 красных и 6 синих шаров. Случайным образом из коробки вынимают сразу 3 шара и записывают количество вынутых красных шаров. Найдите математическое ожидание рассматриваемой случайной величины.

Пусть $X$ — это случайная величина, равная количеству красных шаров, вынутых из коробки. Всего в коробке $4$ красных и $6$ синих шаров, то есть $4 + 6 = 10$ шаров. Мы вынимаем $3$ шара. Случайная величина $X$ может принимать значения $0, 1, 2, 3$.

Математическое ожидание $E[X]$ дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

$E[X] = \sum_{k} x_k \cdot P(X=x_k)$, где $x_k$ — возможные значения случайной величины, а $P(X=x_k)$ — вероятности этих значений.

Для решения задачи найдем вероятности для каждого возможного значения $X$.

Общее число способов вынуть $3$ шара из $10$ равно числу сочетаний из $10$ по $3$:

$N = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$

Теперь рассчитаем вероятности для каждого исхода:

1. Вынуто 0 красных шаров ($X=0$)

Это означает, что все $3$ вынутых шара — синие. Число способов выбрать $0$ красных шаров из $4$ равно $C_4^0=1$. Число способов выбрать $3$ синих шара из $6$ равно $C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.

Число благоприятных исходов: $n_0 = C_4^0 \cdot C_6^3 = 1 \cdot 20 = 20$.

Вероятность: $P(X=0) = \frac{n_0}{N} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$.

2. Вынут 1 красный шар ($X=1$)

Это означает, что вынут $1$ красный шар и $2$ синих. Число способов выбрать $1$ красный шар из $4$ равно $C_4^1=4$. Число способов выбрать $2$ синих шара из $6$ равно $C_6^2 = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$.

Число благоприятных исходов: $n_1 = C_4^1 \cdot C_6^2 = 4 \cdot 15 = 60$.

Вероятность: $P(X=1) = \frac{n_1}{N} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$.

3. Вынуто 2 красных шара ($X=2$)

Это означает, что вынуто $2$ красных шара и $1$ синий. Число способов выбрать $2$ красных шара из $4$ равно $C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$. Число способов выбрать $1$ синий шар из $6$ равно $C_6^1 = 6$.

Число благоприятных исходов: $n_2 = C_4^2 \cdot C_6^1 = 6 \cdot 6 = 36$.

Вероятность: $P(X=2) = \frac{n_2}{N} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10}$.

4. Вынуто 3 красных шара ($X=3$)

Это означает, что все $3$ вынутых шара — красные. Число способов выбрать $3$ красных шара из $4$ равно $C_4^3=4$. Число способов выбрать $0$ синих шаров из $6$ равно $C_6^0 = 1$.

Число благоприятных исходов: $n_3 = C_4^3 \cdot C_6^0 = 4 \cdot 1 = 4$.

Вероятность: $P(X=3) = \frac{n_3}{N} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}$.

Теперь вычислим математическое ожидание:

$E[X] = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3)$

$E[X] = 0 \cdot \frac{20}{120} + 1 \cdot \frac{60}{120} + 2 \cdot \frac{36}{120} + 3 \cdot \frac{4}{120} = \frac{0 + 60 + 72 + 12}{120} = \frac{144}{120}$

Упростим дробь:

$E[X] = \frac{144}{120} = \frac{12 \cdot 12}{10 \cdot 12} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} = 1.2$

Альтернативное решение (через свойство линейности математического ожидания):

Пусть $X_i$ — индикаторная случайная величина, где $X_i = 1$, если $i$-й вынутый шар красный, и $X_i = 0$ в противном случае ($i=1, 2, 3$).

Тогда общее число красных шаров $X = X_1 + X_2 + X_3$.

По свойству линейности математического ожидания: $E[X] = E[X_1] + E[X_2] + E[X_3]$.

Математическое ожидание индикаторной величины равно вероятности события, которое она индицирует. $E[X_i] = P(X_i=1)$.

Вероятность того, что любой конкретный вынутый шар (первый, второй или третий) окажется красным, одинакова и равна доле красных шаров в общем количестве:

$P(X_1=1) = P(X_2=1) = P(X_3=1) = \frac{4}{10} = 0.4$

Следовательно,

$E[X] = \frac{4}{10} + \frac{4}{10} + \frac{4}{10} = 3 \cdot \frac{4}{10} = \frac{12}{10} = 1.2$

Ответ: $1.2$