Страница 34 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

172. В коробке лежат 2 красных и 3 синих шара. Случайным образом из коробки один за другим вынимают по одному шару до тех пор, пока не будет вынут красный шар, и записывают, сколько раз пришлось вынимать шар. Составьте таблицу распределения вероятностей рассматриваемой случайной величины и вычислите её математическое ожидание.

Пусть $X$ — случайная величина, равная количеству вынутых шаров до появления первого красного шара. В коробке всего $2+3=5$ шаров.

Случайная величина $X$ может принимать следующие значения:

• $X=1$: первый вынутый шар — красный.
• $X=2$: первый шар — синий, второй — красный.
• $X=3$: первые два шара — синие, третий — красный.
• $X=4$: первые три шара — синие, четвертый — красный. Больше 4 шаров вынимать не придется, так как в коробке всего 3 синих шара, и после их извлечения в коробке останутся только красные шары.

Составление таблицы распределения вероятностей

Найдем вероятности для каждого возможного значения $X$.

1. Вероятность того, что первый вынутый шар будет красным ($X=1$):
Изначально в коробке 5 шаров, из них 2 красных. $P(X=1) = \frac{2}{5}$

2. Вероятность того, что первый шар синий, а второй — красный ($X=2$):
Вероятность вынуть первым синий шар: $\frac{3}{5}$.
После этого в коробке останется 4 шара, из них 2 красных.
Вероятность вынуть вторым красный шар (при условии, что первый был синий): $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Итоговая вероятность: $P(X=2) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

3. Вероятность того, что первые два шара синие, а третий — красный ($X=3$):
Вероятность вынуть первым синий шар: $\frac{3}{5}$.
Осталось 4 шара (2 красных, 2 синих). Вероятность вынуть вторым синий шар: $\frac{2}{4}$.
Осталось 3 шара (2 красных, 1 синий). Вероятность вынуть третьим красный шар: $\frac{2}{3}$.
Итоговая вероятность: $P(X=3) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$

4. Вероятность того, что первые три шара синие, а четвертый — красный ($X=4$):
Вероятность вынуть первым синий шар: $\frac{3}{5}$.
Осталось 4 шара (2 красных, 2 синих). Вероятность вынуть вторым синий шар: $\frac{2}{4}$.
Осталось 3 шара (2 красных, 1 синий). Вероятность вынуть третьим синий шар: $\frac{1}{3}$.
Осталось 2 шара (2 красных). Вероятность вынуть четвертым красный шар: $\frac{2}{2} = 1$.
Итоговая вероятность: $P(X=4) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10}$

Проверим, что сумма вероятностей равна 1: $P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = \frac{2}{5} + \frac{3}{10} + \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} + \frac{3}{10} + \frac{2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{10}{10} = 1$.

Теперь составим таблицу распределения вероятностей:

Ответ:

Вычисление математического ожидания

Математическое ожидание $E(X)$ случайной величины $X$ вычисляется по формуле: $E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$, где $x_i$ — значения случайной величины, а $p_i$ — соответствующие им вероятности.

$E(X) = 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3) + 4 \cdot P(X=4)$

$E(X) = 1 \cdot \frac{2}{5} + 2 \cdot \frac{3}{10} + 3 \cdot \frac{1}{5} + 4 \cdot \frac{1}{10}$

$E(X) = \frac{2}{5} + \frac{6}{10} + \frac{3}{5} + \frac{4}{10}$

Приведем все дроби к общему знаменателю 10:

$E(X) = \frac{4}{10} + \frac{6}{10} + \frac{6}{10} + \frac{4}{10} = \frac{4+6+6+4}{10} = \frac{20}{10} = 2$

Ответ: $E(X) = 2$.

173. В коробке лежат 4 красных и 6 синих шаров. Случайным образом из коробки вынимают сразу 3 шара и записывают количество вынутых красных шаров. Найдите математическое ожидание рассматриваемой случайной величины.

Пусть $X$ — это случайная величина, равная количеству красных шаров, вынутых из коробки. Всего в коробке $4$ красных и $6$ синих шаров, то есть $4 + 6 = 10$ шаров. Мы вынимаем $3$ шара. Случайная величина $X$ может принимать значения $0, 1, 2, 3$.

Математическое ожидание $E[X]$ дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

$E[X] = \sum_{k} x_k \cdot P(X=x_k)$, где $x_k$ — возможные значения случайной величины, а $P(X=x_k)$ — вероятности этих значений.

Для решения задачи найдем вероятности для каждого возможного значения $X$.

Общее число способов вынуть $3$ шара из $10$ равно числу сочетаний из $10$ по $3$:

$N = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$

Теперь рассчитаем вероятности для каждого исхода:

1. Вынуто 0 красных шаров ($X=0$)

Это означает, что все $3$ вынутых шара — синие. Число способов выбрать $0$ красных шаров из $4$ равно $C_4^0=1$. Число способов выбрать $3$ синих шара из $6$ равно $C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.

Число благоприятных исходов: $n_0 = C_4^0 \cdot C_6^3 = 1 \cdot 20 = 20$.

Вероятность: $P(X=0) = \frac{n_0}{N} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$.

2. Вынут 1 красный шар ($X=1$)

Это означает, что вынут $1$ красный шар и $2$ синих. Число способов выбрать $1$ красный шар из $4$ равно $C_4^1=4$. Число способов выбрать $2$ синих шара из $6$ равно $C_6^2 = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$.

Число благоприятных исходов: $n_1 = C_4^1 \cdot C_6^2 = 4 \cdot 15 = 60$.

Вероятность: $P(X=1) = \frac{n_1}{N} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$.

3. Вынуто 2 красных шара ($X=2$)

Это означает, что вынуто $2$ красных шара и $1$ синий. Число способов выбрать $2$ красных шара из $4$ равно $C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$. Число способов выбрать $1$ синий шар из $6$ равно $C_6^1 = 6$.

Число благоприятных исходов: $n_2 = C_4^2 \cdot C_6^1 = 6 \cdot 6 = 36$.

Вероятность: $P(X=2) = \frac{n_2}{N} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10}$.

4. Вынуто 3 красных шара ($X=3$)

Это означает, что все $3$ вынутых шара — красные. Число способов выбрать $3$ красных шара из $4$ равно $C_4^3=4$. Число способов выбрать $0$ синих шаров из $6$ равно $C_6^0 = 1$.

Число благоприятных исходов: $n_3 = C_4^3 \cdot C_6^0 = 4 \cdot 1 = 4$.

Вероятность: $P(X=3) = \frac{n_3}{N} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}$.

Теперь вычислим математическое ожидание:

$E[X] = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3)$

$E[X] = 0 \cdot \frac{20}{120} + 1 \cdot \frac{60}{120} + 2 \cdot \frac{36}{120} + 3 \cdot \frac{4}{120} = \frac{0 + 60 + 72 + 12}{120} = \frac{144}{120}$

Упростим дробь:

$E[X] = \frac{144}{120} = \frac{12 \cdot 12}{10 \cdot 12} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} = 1.2$

Альтернативное решение (через свойство линейности математического ожидания):

Пусть $X_i$ — индикаторная случайная величина, где $X_i = 1$, если $i$-й вынутый шар красный, и $X_i = 0$ в противном случае ($i=1, 2, 3$).

Тогда общее число красных шаров $X = X_1 + X_2 + X_3$.

По свойству линейности математического ожидания: $E[X] = E[X_1] + E[X_2] + E[X_3]$.

Математическое ожидание индикаторной величины равно вероятности события, которое она индицирует. $E[X_i] = P(X_i=1)$.

Вероятность того, что любой конкретный вынутый шар (первый, второй или третий) окажется красным, одинакова и равна доле красных шаров в общем количестве:

$P(X_1=1) = P(X_2=1) = P(X_3=1) = \frac{4}{10} = 0.4$

Следовательно,

$E[X] = \frac{4}{10} + \frac{4}{10} + \frac{4}{10} = 3 \cdot \frac{4}{10} = \frac{12}{10} = 1.2$

Ответ: $1.2$

174. Стрелок попадает в мишень с вероятностью 90%. Составьте таблицу распределения вероятностей случайной величины, равной количеству попаданий стрелка в мишень в серии, состоящей из пяти выстрелов. Найдите математическое ожидание рассматриваемой случайной величины.

Пусть $X$ — это случайная величина, равная количеству попаданий стрелка в мишень. Данная ситуация описывается схемой Бернулли, так как производится серия из $n=5$ независимых испытаний (выстрелов) с двумя исходами: "попадание" (успех) и "промах" (неудача).

Вероятность успеха в одном испытании (попадание) равна $p = 90\% = 0.9$.

Вероятность неудачи в одном испытании (промах) равна $q = 1 - p = 1 - 0.9 = 0.1$.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях произойдет ровно $k$ успехов, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

Случайная величина $X$ может принимать значения $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$. Рассчитаем вероятности для каждого из этих значений, используя формулу Бернулли для $n=5, p=0.9, q=0.1$:

• При $k=0$: $P(X=0) = C_5^0 \cdot (0.9)^0 \cdot (0.1)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.00001 = 0.00001$
• При $k=1$: $P(X=1) = C_5^1 \cdot (0.9)^1 \cdot (0.1)^4 = 5 \cdot 0.9 \cdot 0.0001 = 0.00045$
• При $k=2$: $P(X=2) = C_5^2 \cdot (0.9)^2 \cdot (0.1)^3 = 10 \cdot 0.81 \cdot 0.001 = 0.0081$
• При $k=3$: $P(X=3) = C_5^3 \cdot (0.9)^3 \cdot (0.1)^2 = 10 \cdot 0.729 \cdot 0.01 = 0.0729$
• При $k=4$: $P(X=4) = C_5^4 \cdot (0.9)^4 \cdot (0.1)^1 = 5 \cdot 0.6561 \cdot 0.1 = 0.32805$
• При $k=5$: $P(X=5) = C_5^5 \cdot (0.9)^5 \cdot (0.1)^0 = 1 \cdot 0.59049 \cdot 1 = 0.59049$

На основе этих расчетов составим таблицу распределения вероятностей:

Ответ: таблица распределения вероятностей составлена выше.

Математическое ожидание $E(X)$ случайной величины, распределенной по биномиальному закону, находится по формуле:

$E(X) = n \cdot p$

Подставим в формулу значения $n=5$ и $p=0.9$:

$E(X) = 5 \cdot 0.9 = 4.5$

Этот же результат можно получить, используя основное определение математического ожидания для дискретной случайной величины (сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности):

$E(X) = \sum_{k=0}^{5} k \cdot P(X=k) = (0 \cdot 0.00001) + (1 \cdot 0.00045) + (2 \cdot 0.0081) + (3 \cdot 0.0729) + (4 \cdot 0.32805) + (5 \cdot 0.59049) = 0 + 0.00045 + 0.0162 + 0.2187 + 1.3122 + 2.95245 = 4.5$

Ответ: $4.5$.