Страница 27 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

116. Сколько трёхзначных чисел можно записать, используя цифры 1, 2, 3, 7, 8, 9, так, чтобы цифры в записи числа не повторялись?

Для решения этой задачи нужно использовать комбинаторное правило произведения. Нам необходимо составить трёхзначное число из предложенных шести цифр (1, 2, 3, 7, 8, 9) так, чтобы цифры в числе не повторялись.

Представим трёхзначное число как три позиции, которые нужно заполнить: сотни, десятки и единицы.

1. На позицию сотен можно поставить любую из 6 данных цифр. Следовательно, у нас есть 6 вариантов.

2. На позицию десятков можно поставить любую из оставшихся цифр. Так как одна цифра уже использована для сотен и повторения не допускаются, остаётся $6 - 1 = 5$ вариантов.

3. На позицию единиц можно поставить любую из оставшихся после выбора первых двух цифр. Две цифры уже заняты, поэтому остаётся $6 - 2 = 4$ варианта.

Чтобы найти общее количество возможных трёхзначных чисел, необходимо перемножить количество вариантов для каждой позиции:

Количество чисел = $6 \times 5 \times 4 = 120$.

Этот же результат можно получить, используя формулу для вычисления числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В данном случае у нас есть $n=6$ цифр, из которых мы составляем числа длиной $k=3$ цифры:

$A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 6 \times 5 \times 4 = 120$.

Таким образом, можно составить 120 различных трёхзначных чисел.

Ответ: 120

117. У руководителя предприятия есть в распоряжении 8 автомобилей. Сколько у него есть способов командировать 6 автомобилей в 6 разных городов?

В этой задаче требуется найти количество способов отправить 6 из 8 имеющихся автомобилей в 6 разных городов. Поскольку и автомобили, и города различны, важен порядок распределения. Это означает, что отправка автомобиля А в город 1 и автомобиля Б в город 2 является другим вариантом, нежели отправка автомобиля Б в город 1 и автомобиля А в город 2. Следовательно, мы имеем дело с размещениями.

Число размещений из $n$ элементов по $k$ элементам обозначается как $A_n^k$ и вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В данном случае у нас есть:

• $n = 8$ — общее количество автомобилей.
• $k = 6$ — количество автомобилей и городов для командировки.

Подставим эти значения в формулу:

$A_8^6 = \frac{8!}{(8-6)!} = \frac{8!}{2!}$

Распишем вычисление:

$A_8^6 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3$

$A_8^6 = 56 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 336 \times 5 \times 4 \times 3 = 1680 \times 4 \times 3 = 6720 \times 3 = 20160$

Также можно решить задачу, используя правило умножения.

• Для первого города есть 8 вариантов выбора автомобиля.
• После выбора одного автомобиля, для второго города остается 7 вариантов.
• Для третьего города — 6 вариантов.
• Для четвертого — 5 вариантов.
• Для пятого — 4 варианта.
• Для шестого — 3 варианта.

Общее количество способов равно произведению числа вариантов на каждом шаге:

$8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 20160$

Таким образом, существует 20160 способов командировать 6 автомобилей в 6 разных городов.

Ответ: 20160

118. Сколько существует пятизначных чисел, в записи которых все цифры различны, причём первые две цифры нечётные, а последние три — чётные?

Для решения этой задачи воспользуемся комбинаторным правилом умножения. Нам нужно составить пятизначное число, в котором все цифры различны. При этом первые две цифры должны быть нечётными, а последние три — чётными.

Сначала определим наборы цифр, которые мы можем использовать:
Нечётные цифры: {1, 3, 5, 7, 9} — всего 5 цифр.
Чётные цифры: {0, 2, 4, 6, 8} — всего 5 цифр.

Теперь последовательно определим количество вариантов для каждой позиции в пятизначном числе.

1. Выбор первой цифры.
На первой позиции должна стоять нечётная цифра. Поскольку число пятизначное, первая цифра не может быть нулём, что и так выполняется, так как все нечётные цифры отличны от нуля. У нас есть 5 вариантов выбора для первой цифры (1, 3, 5, 7 или 9).

2. Выбор второй цифры.
На второй позиции также должна стоять нечётная цифра. По условию, все цифры в числе должны быть различны, поэтому мы не можем использовать ту же цифру, что и на первой позиции. Следовательно, у нас остаётся $5 - 1 = 4$ варианта для второй цифры.

3. Выбор третьей цифры.
На третьей позиции должна стоять чётная цифра. Так как до этого мы использовали только нечётные цифры, все 5 чётных цифр (0, 2, 4, 6, 8) нам доступны. Таким образом, есть 5 вариантов для третьей цифры.

4. Выбор четвёртой цифры.
На четвёртой позиции должна стоять чётная цифра, отличная от той, что уже выбрана для третьей позиции. У нас остаётся $5 - 1 = 4$ варианта.

5. Выбор пятой цифры.
На пятой позиции должна стоять чётная цифра, отличная от тех, что стоят на третьей и четвёртой позициях. У нас остаётся $5 - 2 = 3$ варианта.

Чтобы найти общее количество таких пятизначных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции:
$N = 5 \times 4 \times 5 \times 4 \times 3 = 20 \times 60 = 1200$

Таким образом, существует 1200 пятизначных чисел, удовлетворяющих заданным условиям.

Ответ: 1200

119. В легкоатлетической секции занимаются 11 десятиклассников и 5 девятиклассников. Сколько существует способов сформировать команду для участия в эстафете, состоящей из шести этапов, если на первом и последнем этапах должны участвовать девятиклассники?

Для решения этой задачи необходимо использовать принципы комбинаторики, в частности, размещения, так как важен порядок участников в эстафете. Процесс формирования команды можно разбить на два основных шага.

1. Выбор участников на первый и последний этапы.

Согласно условию, на первом и последнем (шестом) этапах должны бежать девятиклассники. Всего в секции 5 девятиклассников. Нам нужно выбрать двух из них и расставить на две определенные позиции (первую и последнюю). Число способов это сделать вычисляется как число размещений из 5 по 2.

Формула для числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Количество способов выбрать бегунов на первый и последний этапы:

$A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = 5 \times 4 = 20$ способов.

Можно рассуждать и по-другому: на первый этап есть 5 кандидатов-девятиклассников. После того как один выбран, на последний этап остается 4 кандидата. По правилу произведения, общее число способов $5 \times 4 = 20$.

2. Выбор участников на оставшиеся этапы.

После того как два девятиклассника были выбраны на первый и последний этапы, нужно заполнить оставшиеся 4 этапа (со второго по пятый). Общее количество спортсменов в секции $11 + 5 = 16$. Так как двое уже выбраны, осталось $16 - 2 = 14$ спортсменов (11 десятиклассников и $5 - 2 = 3$ девятиклассника).

Из этих 14 спортсменов нужно выбрать 4 и расставить их по 4 оставшимся этапам. Число способов сделать это — это число размещений из 14 по 4:

$A_{14}^4 = \frac{14!}{(14-4)!} = \frac{14!}{10!} = 14 \times 13 \times 12 \times 11$.

Вычислим значение:

$14 \times 13 = 182$

$12 \times 11 = 132$

$A_{14}^4 = 182 \times 132 = 24024$ способа.

3. Общее количество способов.

Чтобы найти общее число способов сформировать команду, необходимо перемножить количество способов, найденных на каждом шаге (согласно правилу произведения):

Общее число способов = (способы для 1-го и 6-го этапов) × (способы для 2, 3, 4, 5-го этапов)

$N = A_5^2 \times A_{14}^4 = 20 \times 24024 = 480480$.

Ответ: 480480

120. Вычислите:

1) $C_8^4$;

2) $C_{18}^1$;

3) $C_6^2 + C_6^0$.

1)

Для вычисления числа сочетаний $C_n^k$ (количество способов выбрать $k$ элементов из множества $n$ элементов без учета порядка) используется формула:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае необходимо вычислить $C_8^4$, где $n=8$ и $k=4$. Подставим эти значения в формулу:

$C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!}$

Расшифруем факториалы и проведем сокращение:

$C_8^4 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Выполним вычисления:

$C_8^4 = \frac{1680}{24} = 70$

Ответ: 70

2)

Вычислим $C_{18}^1$, где $n=18$ и $k=1$. Применим ту же формулу:

$C_{18}^1 = \frac{18!}{1!(18-1)!} = \frac{18!}{1! \cdot 17!}$

Так как $1! = 1$ и $18! = 18 \cdot 17!$, получаем:

$C_{18}^1 = \frac{18 \cdot 17!}{1 \cdot 17!} = 18$

Это соответствует общему свойству сочетаний, согласно которому $C_n^1 = n$.

Ответ: 18

3)

Необходимо вычислить сумму $C_6^2 + C_6^0$. Для этого вычислим каждое слагаемое по отдельности.

Вычисление $C_6^2$ (где $n=6$, $k=2$):

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2 \cdot 1 \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Вычисление $C_6^0$ (где $n=6$, $k=0$):

$C_6^0 = \frac{6!}{0!(6-0)!} = \frac{6!}{0! \cdot 6!}$

По определению, $0! = 1$. Следовательно:

$C_6^0 = \frac{6!}{1 \cdot 6!} = 1$

Это также соответствует общему свойству сочетаний, согласно которому $C_n^0 = 1$.

Теперь сложим полученные значения:

$C_6^2 + C_6^0 = 15 + 1 = 16$

Ответ: 16

121. Решите в натуральных числах уравнение:

1) $C_x^2 = 78$;

2) $C_{x+2}^3 = 20(x+1)$;

3) $3C_{x+1}^2 - 2A_x^2 = x$.

1) $C_x^2 = 78$

По определению числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Для данного уравнения $n=x, k=2$. Уравнение имеет смысл при $x \ge 2$ и $x \in \mathbb{N}$.

Запишем формулу для $C_x^2$:

$C_x^2 = \frac{x!}{2!(x-2)!} = \frac{x(x-1)(x-2)!}{2 \cdot (x-2)!} = \frac{x(x-1)}{2}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\frac{x(x-1)}{2} = 78$

Умножим обе части на 2:

$x(x-1) = 156$

$x^2 - x - 156 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-156) = 1 + 624 = 625 = 25^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 25}{2}$

$x_1 = \frac{1+25}{2} = \frac{26}{2} = 13$

$x_2 = \frac{1-25}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

По условию задачи, $x$ должен быть натуральным числом. Кроме того, должно выполняться условие $x \ge 2$. Корень $x=13$ удовлетворяет этим условиям. Корень $x=-12$ не является натуральным числом.

Ответ: 13

2) $C_{x+2}^3 = 20(x+1)$

По определению числа сочетаний, уравнение имеет смысл при $x+2 \ge 3$, то есть $x \ge 1$, и $x \in \mathbb{N}$.

Запишем формулу для $C_{x+2}^3$:

$C_{x+2}^3 = \frac{(x+2)!}{3!((x+2)-3)!} = \frac{(x+2)!}{6(x-1)!} = \frac{(x+2)(x+1)x(x-1)!}{6(x-1)!} = \frac{x(x+1)(x+2)}{6}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\frac{x(x+1)(x+2)}{6} = 20(x+1)$

Так как $x \ge 1$, то $x+1 > 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $x+1$:

$\frac{x(x+2)}{6} = 20$

Умножим обе части на 6:

$x(x+2) = 120$

$x^2 + 2x - 120 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484 = 22^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 22}{2}$

$x_1 = \frac{-2+22}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-2-22}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

По условию задачи, $x$ должен быть натуральным числом ($x \ge 1$). Этому условию удовлетворяет только корень $x=10$.

Ответ: 10

3) $3C_{x+1}^2 - 2A_x^2 = x$

Уравнение содержит число сочетаний $C_{x+1}^2$ и число размещений $A_x^2$.

Выражение $C_{x+1}^2$ определено при $x+1 \ge 2$, то есть $x \ge 1$.

Выражение $A_x^2$ определено при $x \ge 2$.

Следовательно, общее условие для $x$: $x \ge 2$ и $x \in \mathbb{N}$.

Запишем формулы для $C_{x+1}^2$ и $A_x^2$:

$C_{x+1}^2 = \frac{(x+1)!}{2!(x+1-2)!} = \frac{(x+1)!}{2(x-1)!} = \frac{(x+1)x}{2}$

$A_x^2 = \frac{x!}{(x-2)!} = x(x-1)$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$3 \cdot \frac{(x+1)x}{2} - 2 \cdot x(x-1) = x$

Так как $x \ge 2$, $x \ne 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $x$:

$3 \cdot \frac{x+1}{2} - 2(x-1) = 1$

Умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$3(x+1) - 4(x-1) = 2$

Раскроем скобки:

$3x + 3 - 4x + 4 = 2$

Приведем подобные слагаемые:

$-x + 7 = 2$

$-x = 2 - 7$

$-x = -5$

$x=5$

Полученный корень $x=5$ удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Ответ: 5

122. На окружности отметили 18 точек. Сколько существует четырёхугольников с вершинами в отмеченных точках?

Чтобы образовать четырёхугольник, необходимо выбрать 4 точки из 18 отмеченных на окружности. Эти 4 точки будут вершинами четырёхугольника.

Поскольку все точки лежат на одной окружности, никакие три из них не могут лежать на одной прямой. Это значит, что любой набор из четырёх точек будет образовывать уникальный выпуклый четырёхугольник.

Следовательно, задача сводится к нахождению числа способов выбрать 4 точки из 18 без учёта порядка. Это является классической задачей на нахождение числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ находится по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае у нас есть $n = 18$ точек, и мы выбираем из них $k = 4$ точки для построения четырёхугольника. Подставим эти значения в формулу:

$C_{18}^4 = \frac{18!}{4!(18-4)!} = \frac{18!}{4! \cdot 14!}$

Для вычисления распишем факториалы и сократим дробь:

$C_{18}^4 = \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14!}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 14!} = \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Выполним вычисления:

$C_{18}^4 = \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15}{24}$

Сократим множители в числителе и знаменателе:

$C_{18}^4 = (18 \div 6) \times 17 \times (16 \div 4) \times 15 = 3 \times 17 \times 4 \times 15$

Перемножим полученные числа:

$3 \times 17 = 51$

$4 \times 15 = 60$

$51 \times 60 = 3060$

Таким образом, из 18 точек на окружности можно составить 3060 различных четырёхугольников.

Ответ: 3060

123. В состав научной группы входит 12 человек. Сколько существует способов сформировать делегацию, состоящую из 4 человек, для участия в конференции?

Для решения этой задачи нужно определить количество способов выбрать 4 человека из 12. Поскольку порядок выбора людей в делегацию не имеет значения (состав делегации не меняется от перестановки ее членов), мы имеем дело с сочетаниями.

Количество сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае:

• $n$ — общее количество человек в научной группе, $n = 12$.
• $k$ — количество человек, которых нужно выбрать в делегацию, $k = 4$.

Подставляем наши значения в формулу:

$C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!}$

Распишем факториалы и проведем вычисления:

$C_{12}^4 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}$

Сократим $8!$ в числителе и знаменателе:

$C_{12}^4 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Теперь выполним сокращение дроби:

$C_{12}^4 = \frac{12}{4 \cdot 3} \cdot \frac{10}{2} \cdot 11 \cdot 9 = 1 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 9 = 495$

Таким образом, существует 495 различных способов сформировать делегацию из 4 человек.

Ответ: 495.

124. На окружности отметили 29 точек. Каких многоугольников с вершинами в отмеченных точках больше: семнадцатиугольников или двенадцатиугольников?

Чтобы решить эту задачу, необходимо сравнить количество способов, которыми можно выбрать вершины для семнадцатиугольников и для двенадцатиугольников из 29 данных точек. Поскольку порядок выбора вершин не влияет на форму многоугольника, задача сводится к вычислению и сравнению числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ определяется формулой:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Сначала вычислим, сколько можно составить семнадцатиугольников. Для этого нужно выбрать 17 вершин из 29 точек. Таким образом, $n=29$ и $k=17$.
Количество семнадцатиугольников равно:
$C_{29}^{17} = \frac{29!}{17!(29-17)!} = \frac{29!}{17!12!}$

Теперь вычислим, сколько можно составить двенадцатиугольников. Для этого нужно выбрать 12 вершин из 29 точек. В этом случае, $n=29$ и $k=12$.
Количество двенадцатиугольников равно:
$C_{29}^{12} = \frac{29!}{12!(29-12)!} = \frac{29!}{12!17!}$

Сравнивая полученные выражения, мы видим, что количество семнадцатиугольников и количество двенадцатиугольников равны, так как знаменатели дробей содержат одни и те же множители ($17!$ и $12!$):
$C_{29}^{17} = C_{29}^{12}$
Этот результат является следствием основного свойства сочетаний: $C_n^k = C_n^{n-k}$. В нашем случае $k=17$ и $n-k = 29-17 = 12$. Смысл этого свойства в том, что выбрать 17 точек для построения многоугольника — это то же самое, что выбрать 12 точек, которые не будут его вершинами. Количество способов сделать и тот, и другой выбор одинаково.

Ответ: Количество семнадцатиугольников и двенадцатиугольников одинаково.

125. На окружности отметили 35 красных точек и 36 синих точек. В каком из множеств больше элементов:

в множестве семиугольников и восьмиугольников с вершинами в красных точках или в множестве восьмиугольников с вершинами в синих точках?

Для решения этой задачи нам нужно сравнить размеры двух множеств. Первое множество — это объединение множества семиугольников и множества восьмиугольников, вершины которых находятся в красных точках. Второе множество — это множество восьмиугольников с вершинами в синих точках. Мы будем использовать формулу для числа сочетаний, так как порядок выбора вершин не имеет значения: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее число элементов, а $k$ — число выбираемых элементов.

в множестве семиугольников и восьмиугольников с вершинами в красных точках

На окружности отмечено 35 красных точек.
Количество способов выбрать 7 вершин для построения семиугольника из 35 красных точек равно числу сочетаний из 35 по 7: $C_{35}^7$.
Количество способов выбрать 8 вершин для построения восьмиугольника из 35 красных точек равно числу сочетаний из 35 по 8: $C_{35}^8$.
Поскольку множества семиугольников и восьмиугольников не пересекаются (у них разное число вершин), общее количество элементов в первом множестве равно сумме их мощностей: $N_1 = C_{35}^7 + C_{35}^8$.

в множестве восьмиугольников с вершинами в синих точках

На окружности отмечено 36 синих точек.
Количество способов выбрать 8 вершин для построения восьмиугольника из 36 синих точек равно числу сочетаний из 36 по 8: $N_2 = C_{36}^8$.

Теперь сравним полученные величины $N_1$ и $N_2$. Для этого воспользуемся свойством биномиальных коэффициентов, известным как тождество Паскаля:
$C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k$
Применим это тождество для $n=36$ и $k=8$:
$C_{36}^8 = C_{36-1}^{8-1} + C_{36-1}^8 = C_{35}^7 + C_{35}^8$
Таким образом, мы видим, что $N_2 = N_1$. Это означает, что количество элементов в обоих множествах равно.
Ответ: Количество элементов в этих множествах одинаково.