Страница 22 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

92. Вычислите площадь заштрихованной фигуры, изображённой на рисунке 3.

Рис. 3

a

Кривые: $y = \frac{4}{x^2}$ и $y = 7 - 3x$

б

Кривые: $y = -x$ и $y = \frac{1}{x^2}$

в

Кривые: $y = 4 + x^2 - \frac{1}{2}x^4$ и $y = 4 - 2x$

г

Кривые: $y = 1 - \sin x$ и $y = \sin x$

а

Площадь заштрихованной фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности функций, ограничивающих фигуру сверху и снизу. В данном случае фигура ограничена сверху прямой $y = 7-3x$ и снизу кривой $y = \frac{4}{x^2}$.

Для нахождения пределов интегрирования приравняем функции:

$\frac{4}{x^2} = 7-3x$

$4 = 7x^2 - 3x^3$

$3x^3 - 7x^2 + 4 = 0$

Из графика видно, что пределы интегрирования — это абсциссы точек пересечения графиков, $x=1$ и $x=2$. Проверим их, подставив в уравнение:

При $x=1$: $3(1)^3 - 7(1)^2 + 4 = 3 - 7 + 4 = 0$.

При $x=2$: $3(2)^3 - 7(2)^2 + 4 = 3(8) - 7(4) + 4 = 24 - 28 + 4 = 0$.

Пределы интегрирования верны. Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_{1}^{2} \left( (7-3x) - \frac{4}{x^2} \right) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \int_{1}^{2} (7-3x-4x^{-2}) dx = \left. \left(7x - \frac{3x^2}{2} - \frac{4x^{-1}}{-1}\right) \right|_{1}^{2} = \left. \left(7x - \frac{3}{2}x^2 + \frac{4}{x}\right) \right|_{1}^{2}$

$S = \left(7(2) - \frac{3}{2}(2)^2 + \frac{4}{2}\right) - \left(7(1) - \frac{3}{2}(1)^2 + \frac{4}{1}\right) = (14 - 6 + 2) - \left(7 - \frac{3}{2} + 4\right)$

$S = 10 - \left(11 - \frac{3}{2}\right) = 10 - \frac{19}{2} = \frac{20-19}{2} = \frac{1}{2}$

Ответ: $S = \frac{1}{2}$.

б

Заштрихованная фигура ограничена сверху кривой $y = \frac{1}{x^2}$ и снизу прямой $y=-x$. Пределы интегрирования заданы на графике: от $x=-1$ до $x=-\frac{1}{2}$.

Площадь $S$ вычисляется как интеграл разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{-1}^{-1/2} \left( \frac{1}{x^2} - (-x) \right) dx = \int_{-1}^{-1/2} \left( \frac{1}{x^2} + x \right) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \int_{-1}^{-1/2} (x^{-2} + x) dx = \left. \left(\frac{x^{-1}}{-1} + \frac{x^2}{2}\right) \right|_{-1}^{-1/2} = \left. \left(-\frac{1}{x} + \frac{x^2}{2}\right) \right|_{-1}^{-1/2}$

$S = \left(-\frac{1}{-1/2} + \frac{(-1/2)^2}{2}\right) - \left(-\frac{1}{-1} + \frac{(-1)^2}{2}\right) = \left(2 + \frac{1/4}{2}\right) - \left(1 + \frac{1}{2}\right)$

$S = \left(2 + \frac{1}{8}\right) - \frac{3}{2} = \frac{17}{8} - \frac{12}{8} = \frac{5}{8}$

Ответ: $S = \frac{5}{8}$.

в

Фигура ограничена сверху кривой $y = 4+x^2-\frac{1}{2}x^4$ и снизу прямой $y = 4-2x$.

Найдем пределы интегрирования, решив уравнение:

$4+x^2-\frac{1}{2}x^4 = 4-2x$

$x^2 - \frac{1}{2}x^4 = -2x$

$x^4 - 2x^2 - 4x = 0$

$x(x^3 - 2x - 4) = 0$

Один корень $x_1=0$. Из графика видно, что второй корень $x_2=2$. Проверим: $2^3 - 2(2) - 4 = 8 - 4 - 4 = 0$.

Пределы интегрирования от $0$ до $2$. Площадь $S$ равна:

$S = \int_{0}^{2} \left( (4+x^2-\frac{1}{2}x^4) - (4-2x) \right) dx = \int_{0}^{2} \left( x^2+2x-\frac{1}{2}x^4 \right) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left. \left(\frac{x^3}{3} + x^2 - \frac{1}{2}\frac{x^5}{5}\right) \right|_{0}^{2} = \left. \left(\frac{x^3}{3} + x^2 - \frac{x^5}{10}\right) \right|_{0}^{2}$

$S = \left(\frac{2^3}{3} + 2^2 - \frac{2^5}{10}\right) - 0 = \frac{8}{3} + 4 - \frac{32}{10} = \frac{8}{3} + 4 - \frac{16}{5}$

$S = \frac{8 \cdot 5 + 4 \cdot 15 - 16 \cdot 3}{15} = \frac{40 + 60 - 48}{15} = \frac{52}{15}$

Ответ: $S = \frac{52}{15}$.

г

Фигура ограничена кривыми $y = \sin x$ и $y = 1-\sin x$. Найдем точки их пересечения:

$\sin x = 1 - \sin x$

$2\sin x = 1$

$\sin x = \frac{1}{2}$

На данном отрезке решениями являются $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$. Это и будут пределы интегрирования.

Судя по форме графиков, верхняя граница заштрихованной области — это кривая $y=\sin x$, а нижняя — $y=1-\sin x$ (на рисунке подписи к графикам, вероятно, перепутаны). В интервале $[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$ действительно $\sin x \ge 1-\sin x$, так как это эквивалентно $\sin x \ge \frac{1}{2}$.

Площадь $S$ вычисляется как:

$S = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} \left( \sin x - (1-\sin x) \right) dx = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} (2\sin x - 1) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left. (-2\cos x - x) \right|_{\pi/6}^{5\pi/6}$

$S = \left(-2\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) - \frac{5\pi}{6}\right) - \left(-2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \frac{\pi}{6}\right)$

Так как $\cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$S = \left(-2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \frac{5\pi}{6}\right) - \left(-2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \frac{\pi}{6}\right) = \left(\sqrt{3} - \frac{5\pi}{6}\right) - \left(-\sqrt{3} - \frac{\pi}{6}\right)$

$S = \sqrt{3} - \frac{5\pi}{6} + \sqrt{3} + \frac{\pi}{6} = 2\sqrt{3} - \frac{4\pi}{6} = 2\sqrt{3} - \frac{2\pi}{3}$

Ответ: $S = 2\sqrt{3} - \frac{2\pi}{3}$.