gdz.top
Страница 20 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: бирюзовый
ISBN: 978-5-09-098610-6
Популярные ГДЗ в 11 классе
Cтраница 20
Страница 19
№89 (с. 20)
Условие. №89 (с. 20)
89. На рисунке 1 изображён график некоторой функции $y = f(x)$. Функция $F(x) = x^3 - 6x^2 + 14x - 7$ является одной из первообразных функции $f$. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Рис. 1
Решение. №89 (с. 20)
Площадь заштрихованной фигуры (криволинейной трапеции) вычисляется с помощью определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$,
где $y=f(x)$ — функция, график которой ограничивает фигуру сверху, $x=a$ и $x=b$ — вертикальные прямые, ограничивающие фигуру слева и справа, а $F(x)$ — одна из первообразных для функции $f(x)$.
Из рисунка видно, что пределы интегрирования (границы заштрихованной области по оси x) — это $a=1$ и $b=4$.
По условию задачи, функция $F(x) = x^3 - 6x^2 + 14x - 7$ является одной из первообразных для функции $f(x)$.
Подставим значения $a$ и $b$ в формулу. Для этого сначала найдём значения первообразной в точках $x=4$ и $x=1$:
$F(4) = 4^3 - 6 \cdot 4^2 + 14 \cdot 4 - 7 = 64 - 6 \cdot 16 + 56 - 7 = 64 - 96 + 56 - 7 = 17$.
$F(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 14 \cdot 1 - 7 = 1 - 6 + 14 - 7 = 2$.
Теперь вычислим площадь фигуры как разность значений первообразной:
$S = F(4) - F(1) = 17 - 2 = 15$.
Ответ: 15
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.