Страница 14 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

55. Вычислите значение производной данной функции в точке $x_0$:

1) $f(x) = e^{2x} - e^{-3x^2}$, $x_0 = 0;$

2) $f(x) = 2^{4x-5x^2+1}$, $x_0 = 1;$

3) $f(x) = e^{3x}(x^2+1)$, $x_0 = -1;$

4) $f(x) = \frac{e^{4x}}{\sin 2x}$, $x_0 = \frac{\pi}{4}.$

1) Дана функция $f(x) = e^{2x} - e^{-3x^2}$ и точка $x_0 = 0$.

Для нахождения производной $f'(x)$ воспользуемся правилом дифференцирования разности функций и правилом дифференцирования сложной функции $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.

Производная первого слагаемого: $(e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = 2e^{2x}$.

Производная второго слагаемого: $(e^{-3x^2})' = e^{-3x^2} \cdot (-3x^2)' = e^{-3x^2} \cdot (-6x) = -6xe^{-3x^2}$.

Следовательно, производная исходной функции равна:

$f'(x) = (e^{2x})' - (e^{-3x^2})' = 2e^{2x} - (-6xe^{-3x^2}) = 2e^{2x} + 6xe^{-3x^2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(0) = 2e^{2 \cdot 0} + 6 \cdot 0 \cdot e^{-3 \cdot 0^2} = 2e^0 + 0 \cdot e^0 = 2 \cdot 1 + 0 = 2$.

Ответ: 2

2) Дана функция $f(x) = 2^{4x-5x^2+1}$ и точка $x_0 = 1$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования показательной функции $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \cdot \ln(a) \cdot u'(x)$.

В данном случае $a=2$, $u(x) = 4x-5x^2+1$. Найдем производную $u'(x)$:

$u'(x) = (4x-5x^2+1)' = 4 - 10x$.

Тогда производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = 2^{4x-5x^2+1} \cdot \ln(2) \cdot (4 - 10x)$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = 2^{4(1)-5(1)^2+1} \cdot \ln(2) \cdot (4 - 10 \cdot 1) = 2^{4-5+1} \cdot \ln(2) \cdot (-6) = 2^0 \cdot \ln(2) \cdot (-6)$.

Так как $2^0=1$, получаем:

$f'(1) = 1 \cdot \ln(2) \cdot (-6) = -6\ln(2)$.

Ответ: $-6\ln(2)$

3) Дана функция $f(x) = e^{3x}(x^2 + 1)$ и точка $x_0 = -1$.

Функция является произведением двух функций $u(x) = e^{3x}$ и $v(x) = x^2 + 1$. Для нахождения производной используем правило произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Найдем производные сомножителей:

$u'(x) = (e^{3x})' = e^{3x} \cdot (3x)' = 3e^{3x}$.

$v'(x) = (x^2 + 1)' = 2x$.

Теперь найдем производную $f'(x)$:

$f'(x) = (3e^{3x})(x^2+1) + (e^{3x})(2x)$.

Вынесем общий множитель $e^{3x}$ за скобки:

$f'(x) = e^{3x}(3(x^2+1) + 2x) = e^{3x}(3x^2 + 3 + 2x) = e^{3x}(3x^2 + 2x + 3)$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(-1) = e^{3(-1)}(3(-1)^2 + 2(-1) + 3) = e^{-3}(3 \cdot 1 - 2 + 3) = e^{-3}(4) = 4e^{-3}$.

Ответ: $4e^{-3}$

4) Дана функция $f(x) = \frac{e^{4x}}{\sin(2x)}$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Функция является частным двух функций $u(x) = e^{4x}$ и $v(x) = \sin(2x)$. Для нахождения производной используем правило частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Найдем производные числителя и знаменателя:

$u'(x) = (e^{4x})' = e^{4x} \cdot (4x)' = 4e^{4x}$.

$v'(x) = (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$.

Теперь найдем производную $f'(x)$:

$f'(x) = \frac{(4e^{4x})(\sin(2x)) - (e^{4x})(2\cos(2x))}{(\sin(2x))^2} = \frac{2e^{4x}(2\sin(2x) - \cos(2x))}{\sin^2(2x)}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$. Подставим это значение в аргументы тригонометрических функций и в показатель экспоненты:

$2x_0 = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

$4x_0 = 4 \cdot \frac{\pi}{4} = \pi$

Теперь вычислим значения функций в этой точке: $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Подставляем найденные значения в выражение для производной:

$f'(\frac{\pi}{4}) = \frac{2e^{\pi}(2\sin(\frac{\pi}{2}) - \cos(\frac{\pi}{2}))}{\sin^2(\frac{\pi}{2})} = \frac{2e^{\pi}(2 \cdot 1 - 0)}{1^2} = \frac{4e^{\pi}}{1} = 4e^{\pi}$.

Ответ: $4e^{\pi}$

56. Решите неравенство $f'(x) \le g'(x)$, если:

1) $f(x) = e^x (x^2 - 3x + 1)$, $g(x) = 2xe^x$;

2) $f(x) = 9^{4x-1}$, $g(x) = 4 \cdot 3^{2x}$.

1)

Даны функции $f(x) = e^x(x^2 - 3x + 1)$ и $g(x) = 2xe^x$. Требуется решить неравенство $f'(x) \le g'(x)$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (e^x)'(x^2 - 3x + 1) + e^x(x^2 - 3x + 1)'$

$f'(x) = e^x(x^2 - 3x + 1) + e^x(2x - 3)$

Вынесем общий множитель $e^x$ за скобки:

$f'(x) = e^x(x^2 - 3x + 1 + 2x - 3) = e^x(x^2 - x - 2)$

Теперь найдем производную функции $g(x)$, также используя правило производной произведения:

$g'(x) = (2x)'e^x + 2x(e^x)'$

$g'(x) = 2e^x + 2xe^x = 2e^x(1 + x)$

Составим и решим неравенство $f'(x) \le g'(x)$:

$e^x(x^2 - x - 2) \le 2e^x(1 + x)$

Так как $e^x > 0$ для любого действительного $x$, мы можем разделить обе части неравенства на $e^x$, не меняя знака неравенства:

$x^2 - x - 2 \le 2(1 + x)$

$x^2 - x - 2 \le 2 + 2x$

$x^2 - 3x - 4 \le 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно -4. Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y = x^2 - 3x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, функция принимает неположительные значения на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $x \in [-1, 4]$.

Ответ: $[-1, 4]$.

2)

Даны функции $f(x) = 9^{4x-1}$ и $g(x) = 4 \cdot 3^{2x}$. Требуется решить неравенство $f'(x) \le g'(x)$.

Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования показательной функции $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln(a) \cdot u'(x)$:

$f'(x) = (9^{4x-1})' = 9^{4x-1} \cdot \ln(9) \cdot (4x-1)'$

$f'(x) = 9^{4x-1} \cdot \ln(3^2) \cdot 4 = 9^{4x-1} \cdot 2\ln(3) \cdot 4$

$f'(x) = 8\ln(3) \cdot (3^2)^{4x-1} = 8\ln(3) \cdot 3^{8x-2}$

Теперь найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (4 \cdot 3^{2x})' = 4 \cdot (3^{2x})' = 4 \cdot (3^{2x} \cdot \ln(3) \cdot (2x)')$

$g'(x) = 4 \cdot 3^{2x} \cdot \ln(3) \cdot 2 = 8\ln(3) \cdot 3^{2x}$

Составим и решим неравенство $f'(x) \le g'(x)$:

$8\ln(3) \cdot 3^{8x-2} \le 8\ln(3) \cdot 3^{2x}$

Так как $8\ln(3) > 0$ (поскольку $\ln(3) > \ln(1) = 0$), мы можем разделить обе части неравенства на $8\ln(3)$, не меняя знака неравенства:

$3^{8x-2} \le 3^{2x}$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Поэтому неравенство для степеней равносильно неравенству для их показателей:

$8x - 2 \le 2x$

$8x - 2x \le 2$

$6x \le 2$

$x \le \frac{2}{6}$

$x \le \frac{1}{3}$

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, \frac{1}{3}]$.

Ответ: $(-\infty, \frac{1}{3}]$.

57. Найдите производную функции:

1) $y = \log_8 x;$

2) $y = \ln 4x;$

3) $y = \ln(x^2 + 2x);$

4) $y = \log_{0,3}(2x^2 - 4x + 3);$

5) $y = \ln^4 x;$

6) $y = x^3 \ln x;$

7) $y = \frac{\ln x}{x^2};$

8) $y = \frac{x^3}{\ln^2 x}.$

1) $y = \log_8 x$

Производная логарифмической функции с основанием $a$ находится по формуле $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$.

Для данной функции основание $a = 8$, поэтому:

$y' = (\log_8 x)' = \frac{1}{x \ln 8}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{x \ln 8}$.

2) $y = \ln 4x$

Используем правило дифференцирования сложной функции $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$. В данном случае $u = 4x$.

Сначала находим производную внутренней функции: $u' = (4x)' = 4$.

Тогда производная всей функции:

$y' = (\ln(4x))' = \frac{1}{4x} \cdot (4x)' = \frac{1}{4x} \cdot 4 = \frac{1}{x}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{x}$.

3) $y = \ln(x^2 + 2x)$

Это сложная функция вида $y = \ln u$, где $u = x^2 + 2x$. Ее производная находится по формуле $y' = \frac{u'}{u}$.

Находим производную внутренней функции: $u' = (x^2 + 2x)' = 2x + 2$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{2x + 2}{x^2 + 2x}$.

Ответ: $y' = \frac{2x + 2}{x^2 + 2x}$.

4) $y = \log_{0.3}(2x^2 - 4x + 3)$

Это сложная функция вида $y = \log_a u$, где $a=0.3$ и $u = 2x^2 - 4x + 3$. Ее производная находится по формуле $y' = \frac{u'}{u \ln a}$.

Находим производную внутренней функции: $u' = (2x^2 - 4x + 3)' = 4x - 4$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{4x - 4}{(2x^2 - 4x + 3) \ln 0.3}$.

Ответ: $y' = \frac{4x - 4}{(2x^2 - 4x + 3) \ln 0.3}$.

5) $y = \ln^4 x$

Функцию можно представить в виде $y = (\ln x)^4$. Это сложная функция вида $y = u^4$, где $u = \ln x$. Ее производная находится по цепному правилу: $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$.

В данном случае $n=4$ и $u' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.

$y' = 4(\ln x)^{4-1} \cdot (\ln x)' = 4 \ln^3 x \cdot \frac{1}{x} = \frac{4 \ln^3 x}{x}$.

Ответ: $y' = \frac{4 \ln^3 x}{x}$.

6) $y = x^3 \ln x$

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = x^3$ и $v = \ln x$.

Находим производные: $u' = (x^3)' = 3x^2$ и $v' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.

Подставляем в формулу:

$y' = (3x^2) \cdot \ln x + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 \ln x + x^2$.

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки: $y' = x^2(3 \ln x + 1)$.

Ответ: $y' = x^2(3 \ln x + 1)$.

7) $y = \frac{\ln x}{x^2}$

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u = \ln x$ и $v = x^2$.

Находим производные: $u' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$ и $v' = (x^2)' = 2x$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - (\ln x) \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{x - 2x \ln x}{x^4}$.

Упрощаем, вынося $x$ в числителе за скобки и сокращая дробь:

$y' = \frac{x(1 - 2 \ln x)}{x^4} = \frac{1 - 2 \ln x}{x^3}$.

Ответ: $y' = \frac{1 - 2 \ln x}{x^3}$.

8) $y = \frac{x^3}{\ln^2 x}$

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u = x^3$ и $v = \ln^2 x$.

Находим производные: $u' = (x^3)' = 3x^2$.

Для нахождения $v'$ используем цепное правило: $v' = (\ln^2 x)' = 2(\ln x)^{1} \cdot (\ln x)' = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \ln x}{x}$.

Подставляем в формулу частного:

$y' = \frac{3x^2 \cdot \ln^2 x - x^3 \cdot \frac{2 \ln x}{x}}{(\ln^2 x)^2} = \frac{3x^2 \ln^2 x - 2x^2 \ln x}{\ln^4 x}$.

Упрощаем, вынося $x^2 \ln x$ в числителе за скобки и сокращая дробь:

$y' = \frac{x^2 \ln x(3 \ln x - 2)}{\ln^4 x} = \frac{x^2(3 \ln x - 2)}{\ln^3 x}$.

Ответ: $y' = \frac{x^2(3 \ln x - 2)}{\ln^3 x}$.

58. Вычислите значение производной данной функции в точке $x_0$:

1) $f(x) = \ln(2x + 1)$, $x_0 = 1,5$;

2) $f(x) = \frac{1}{6}\ln(-9x)$, $x_0 = -\frac{1}{12}$;

3) $f(x) = \ln \cos \frac{x}{2}$, $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

1) Дана функция $f(x) = \ln(2x + 1)$ и точка $x_0 = 1,5$.

Чтобы найти значение производной в точке, сначала необходимо найти производную функции $f(x)$. Это сложная функция, поэтому для ее дифференцирования воспользуемся правилом производной сложной функции (цепным правилом): $(\ln(u(x)))' = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x)$.

В данном случае $u(x) = 2x + 1$, а её производная $u'(x) = 2$.

Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (\ln(2x + 1))' = \frac{1}{2x + 1} \cdot (2x + 1)' = \frac{1}{2x + 1} \cdot 2 = \frac{2}{2x + 1}$.

Теперь подставим значение $x_0 = 1,5$ в выражение для производной:

$f'(1,5) = \frac{2}{2 \cdot 1,5 + 1} = \frac{2}{3 + 1} = \frac{2}{4} = 0,5$.

Ответ: $0,5$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{1}{6}\ln(-9x)$ и точка $x_0 = -\frac{1}{12}$.

Найдем производную функции $f(x)$. Применяем правило дифференцирования произведения константы на функцию и цепное правило.

$f'(x) = \left(\frac{1}{6}\ln(-9x)\right)' = \frac{1}{6} \cdot (\ln(-9x))'$.

Для нахождения производной $(\ln(-9x))'$ используем цепное правило, где $u(x) = -9x$ и $u'(x) = -9$.

$(\ln(-9x))' = \frac{1}{-9x} \cdot (-9x)' = \frac{1}{-9x} \cdot (-9) = \frac{1}{x}$.

Подставляем результат обратно в выражение для $f'(x)$:

$f'(x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{6x}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -\frac{1}{12}$:

$f'\left(-\frac{1}{12}\right) = \frac{1}{6 \cdot \left(-\frac{1}{12}\right)} = \frac{1}{-\frac{6}{12}} = \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -2$.

Ответ: $-2$.

3) Дана функция $f(x) = \ln\cos\frac{x}{2}$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

Найдем производную функции. Это сложная функция, для дифференцирования которой необходимо применить цепное правило дважды. Общая формула: $(f(g(h(x))))' = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В нашем случае $f(u) = \ln(u)$, $g(v) = \cos(v)$, $h(x) = \frac{x}{2}$.

Их производные: $f'(u) = \frac{1}{u}$, $g'(v) = -\sin(v)$, $h'(x) = \frac{1}{2}$.

Собираем производную исходной функции:

$f'(x) = \frac{1}{\cos\frac{x}{2}} \cdot \left(-\sin\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}} = -\frac{1}{2}\tan\frac{x}{2}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\tan\left(\frac{\frac{\pi}{3}}{2}\right) = -\frac{1}{2}\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)$.

Зная, что значение тангенса для $\frac{\pi}{6}$ равно $\frac{1}{\sqrt{3}}$ (или $\frac{\sqrt{3}}{3}$), получаем:

$f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{6}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{6}$.

59. Решите неравенство $f'(x) \geq g'(x)$, если $f(x) = 1.5x^2 + 2x$, $g(x) = \ln(-2x)$.

Для решения неравенства $f'(x) \ge g'(x)$ сначала найдем производные заданных функций и определим область допустимых значений (ОДЗ).

Даны функции $f(x) = 1,5x^2 + 2x$ и $g(x) = \ln(-2x)$.

Область определения функции $g(x) = \ln(-2x)$ находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$-2x > 0$

Разделив обе части на -2 и изменив знак неравенства, получаем $x < 0$. Это и есть ОДЗ для всего неравенства, так как функция $f(x)$ и ее производная определены при любых действительных $x$.

Теперь найдем производные:

$f'(x) = (1,5x^2 + 2x)' = 1,5 \cdot 2x^{2-1} + 2 = 3x + 2$.

Для $g(x)$ используем правило производной сложной функции:

$g'(x) = (\ln(-2x))' = \frac{1}{-2x} \cdot (-2x)' = \frac{1}{-2x} \cdot (-2) = \frac{1}{x}$.

Подставим производные в исходное неравенство $f'(x) \ge g'(x)$:

$3x + 2 \ge \frac{1}{x}$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$3x + 2 - \frac{1}{x} \ge 0$

$\frac{3x \cdot x + 2 \cdot x - 1}{x} \ge 0$

$\frac{3x^2 + 2x - 1}{x} \ge 0$

Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя найдем из квадратного уравнения $3x^2 + 2x - 1 = 0$:

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

Корни: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = -1$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Нуль знаменателя: $x = 0$.

Нанесем точки $-1$, $0$ и $1/3$ на числовую ось. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), нули числителя ($x=-1$ и $x=1/3$) являются решениями и отмечаются закрашенными точками. Нуль знаменателя ($x=0$) всегда исключается из решения и отмечается выколотой точкой.

Определим знаки дроби $\frac{3x^2 + 2x - 1}{x}$ на полученных интервалах:

• При $x \in (1/3; +\infty)$, например $x=1$: $\frac{3(1)^2+2(1)-1}{1} = 4 > 0$. Знак "+".
• При $x \in (0; 1/3)$, например $x=0.1$: $\frac{3(0.1)^2+2(0.1)-1}{0.1} = \frac{-0.77}{0.1} < 0$. Знак "–".
• При $x \in (-1; 0)$, например $x=-0.5$: $\frac{3(-0.5)^2+2(-0.5)-1}{-0.5} = \frac{0.75-1-1}{-0.5} > 0$. Знак "+".
• При $x \in (-\infty; -1)$, например $x=-2$: $\frac{3(-2)^2+2(-2)-1}{-2} = \frac{7}{-2} < 0$. Знак "–".

Выбираем интервалы, где значение дроби больше или равно нулю (знак "+"). Решением неравенства является объединение промежутков: $x \in [-1; 0) \cup [1/3; +\infty)$.

На последнем шаге сопоставим полученное решение с ОДЗ ($x < 0$).

Найдем пересечение множеств $[-1; 0) \cup [1/3; +\infty)$ и $(-\infty; 0)$.

Общим для обоих множеств является интервал $[-1; 0)$.

Ответ: $x \in [-1; 0)$.

60. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x) = x^2 \ln(x^2 + 5x - 23)$ в точке с абсциссой $x_0 = 3$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен значению производной этой функции в данной точке.

Заданная функция: $f(x) = x^2 \ln(x^2 + 5x - 23)$.

Точка, в которой нужно найти угловой коэффициент, имеет абсциссу $x_0 = 3$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$, где $u = x^2$ и $v = \ln(x^2 + 5x - 23)$.

Найдем производные для $u$ и $v$:

$u' = (x^2)' = 2x$

Для нахождения производной $v$ используем правило дифференцирования сложной функции (производная натурального логарифма): $(\ln(g(x)))' = \frac{g'(x)}{g(x)}$.

$v' = (\ln(x^2 + 5x - 23))' = \frac{(x^2 + 5x - 23)'}{x^2 + 5x - 23} = \frac{2x + 5}{x^2 + 5x - 23}$

Теперь подставим найденные производные в формулу производной произведения:

$f'(x) = (x^2)' \cdot \ln(x^2 + 5x - 23) + x^2 \cdot (\ln(x^2 + 5x - 23))'$

$f'(x) = 2x \ln(x^2 + 5x - 23) + x^2 \frac{2x + 5}{x^2 + 5x - 23}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$:

$f'(3) = 2 \cdot 3 \cdot \ln(3^2 + 5 \cdot 3 - 23) + 3^2 \cdot \frac{2 \cdot 3 + 5}{3^2 + 5 \cdot 3 - 23}$

Вычислим значение выражения в скобках под логарифмом и в знаменателе дроби:

$3^2 + 5 \cdot 3 - 23 = 9 + 15 - 23 = 24 - 23 = 1$

Подставим это значение обратно в выражение для $f'(3)$:

$f'(3) = 6 \cdot \ln(1) + 9 \cdot \frac{2 \cdot 3 + 5}{1}$

Мы знаем, что $\ln(1) = 0$. Вычислим числитель дроби:

$2 \cdot 3 + 5 = 6 + 5 = 11$

Теперь подставим все значения:

$f'(3) = 6 \cdot 0 + 9 \cdot \frac{11}{1} = 0 + 99 = 99$

Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0 = 3$ равен 99.

Ответ: 99

61. Составьте уравнение касательной к графику функции:

1) $f(x) = xe^{-x}$ в точке с абсциссой $x_0 = 0$;

2) $f(x) = e^{x^2 - 5x + 6}$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$;

3) $f(x) = 5^{3x - 4}$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$;

4) $f(x) = \ln(7x + 8)$ в точке с абсциссой $x_0 = -1$;

5) $f(x) = 2 - \ln(x + 1)$ в точке его пересечения с осью ординат.

1) Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет общий вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для функции $f(x) = xe^{-x}$ и точки $x_0 = 0$ выполним следующие шаги:

1. Найдем значение функции в точке $x_0=0$:

$f(0) = 0 \cdot e^{-0} = 0 \cdot 1 = 0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x)' \cdot e^{-x} + x \cdot (e^{-x})' = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1-x)$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0=0$:

$f'(0) = e^{-0}(1-0) = 1 \cdot 1 = 1$.

4. Подставим найденные значения $f(0)=0$ и $f'(0)=1$ в уравнение касательной:

$y = 0 + 1 \cdot (x - 0)$

$y = x$.

Ответ: $y = x$.

2) Для функции $f(x) = e^{x^2 - 5x + 6}$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0=1$:

$f(1) = e^{1^2 - 5 \cdot 1 + 6} = e^{1-5+6} = e^2$.

2. Найдем производную функции, используя правило для сложной функции $(e^u)' = e^u \cdot u'$:

$f'(x) = e^{x^2 - 5x + 6} \cdot (x^2 - 5x + 6)' = e^{x^2 - 5x + 6} \cdot (2x - 5)$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0=1$:

$f'(1) = e^{1^2 - 5 \cdot 1 + 6} \cdot (2 \cdot 1 - 5) = e^2 \cdot (2 - 5) = -3e^2$.

4. Подставим значения $f(1)=e^2$ и $f'(1)=-3e^2$ в уравнение касательной:

$y = e^2 + (-3e^2)(x - 1) = e^2 - 3e^2x + 3e^2 = 4e^2 - 3e^2x$.

Ответ: $y = -3e^2x + 4e^2$.

3) Для функции $f(x) = 5^{3x-4}$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0=2$:

$f(2) = 5^{3 \cdot 2 - 4} = 5^{6-4} = 5^2 = 25$.

2. Найдем производную функции, используя правило $(a^u)' = a^u \ln(a) \cdot u'$:

$f'(x) = 5^{3x-4} \cdot \ln(5) \cdot (3x-4)' = 3 \ln(5) \cdot 5^{3x-4}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0=2$:

$f'(2) = 3 \ln(5) \cdot 5^{3 \cdot 2 - 4} = 3 \ln(5) \cdot 5^2 = 75 \ln(5)$.

4. Подставим значения $f(2)=25$ и $f'(2)=75 \ln(5)$ в уравнение касательной:

$y = 25 + 75 \ln(5) (x - 2) = 25 + 75x \ln(5) - 150 \ln(5)$.

Ответ: $y = 75x \ln(5) + 25 - 150 \ln(5)$.

4) Для функции $f(x) = \ln(7x+8)$ в точке с абсциссой $x_0 = -1$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0=-1$:

$f(-1) = \ln(7(-1) + 8) = \ln(-7+8) = \ln(1) = 0$.

2. Найдем производную функции, используя правило $(\ln u)' = \frac{1}{u} \cdot u'$:

$f'(x) = \frac{1}{7x+8} \cdot (7x+8)' = \frac{7}{7x+8}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0=-1$:

$f'(-1) = \frac{7}{7(-1)+8} = \frac{7}{1} = 7$.

4. Подставим значения $f(-1)=0$ и $f'(-1)=7$ в уравнение касательной:

$y = 0 + 7(x - (-1)) = 7(x+1) = 7x+7$.

Ответ: $y = 7x+7$.

5) Для функции $f(x) = 2 - \ln(x+1)$ в точке ее пересечения с осью ординат.

1. Точка пересечения графика с осью ординат (осью y) соответствует значению абсциссы $x=0$. Таким образом, $x_0 = 0$.

2. Найдем значение функции в точке $x_0=0$:

$f(0) = 2 - \ln(0+1) = 2 - \ln(1) = 2 - 0 = 2$.

3. Найдем производную функции:

$f'(x) = (2 - \ln(x+1))' = 0 - \frac{1}{x+1} \cdot (x+1)' = -\frac{1}{x+1}$.

4. Найдем значение производной в точке $x_0=0$:

$f'(0) = -\frac{1}{0+1} = -1$.

5. Подставим значения $f(0)=2$ и $f'(0)=-1$ в уравнение касательной:

$y = 2 + (-1)(x - 0) = 2 - x$.

Ответ: $y = -x + 2$.