Номер 56, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

56. Решите неравенство $f'(x) \le g'(x)$, если:

1) $f(x) = e^x (x^2 - 3x + 1)$, $g(x) = 2xe^x$;

2) $f(x) = 9^{4x-1}$, $g(x) = 4 \cdot 3^{2x}$.

1)

Даны функции $f(x) = e^x(x^2 - 3x + 1)$ и $g(x) = 2xe^x$. Требуется решить неравенство $f'(x) \le g'(x)$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (e^x)'(x^2 - 3x + 1) + e^x(x^2 - 3x + 1)'$

$f'(x) = e^x(x^2 - 3x + 1) + e^x(2x - 3)$

Вынесем общий множитель $e^x$ за скобки:

$f'(x) = e^x(x^2 - 3x + 1 + 2x - 3) = e^x(x^2 - x - 2)$

Теперь найдем производную функции $g(x)$, также используя правило производной произведения:

$g'(x) = (2x)'e^x + 2x(e^x)'$

$g'(x) = 2e^x + 2xe^x = 2e^x(1 + x)$

Составим и решим неравенство $f'(x) \le g'(x)$:

$e^x(x^2 - x - 2) \le 2e^x(1 + x)$

Так как $e^x > 0$ для любого действительного $x$, мы можем разделить обе части неравенства на $e^x$, не меняя знака неравенства:

$x^2 - x - 2 \le 2(1 + x)$

$x^2 - x - 2 \le 2 + 2x$

$x^2 - 3x - 4 \le 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно -4. Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y = x^2 - 3x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, функция принимает неположительные значения на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $x \in [-1, 4]$.

Ответ: $[-1, 4]$.

2)

Даны функции $f(x) = 9^{4x-1}$ и $g(x) = 4 \cdot 3^{2x}$. Требуется решить неравенство $f'(x) \le g'(x)$.

Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования показательной функции $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln(a) \cdot u'(x)$:

$f'(x) = (9^{4x-1})' = 9^{4x-1} \cdot \ln(9) \cdot (4x-1)'$

$f'(x) = 9^{4x-1} \cdot \ln(3^2) \cdot 4 = 9^{4x-1} \cdot 2\ln(3) \cdot 4$

$f'(x) = 8\ln(3) \cdot (3^2)^{4x-1} = 8\ln(3) \cdot 3^{8x-2}$

Теперь найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (4 \cdot 3^{2x})' = 4 \cdot (3^{2x})' = 4 \cdot (3^{2x} \cdot \ln(3) \cdot (2x)')$

$g'(x) = 4 \cdot 3^{2x} \cdot \ln(3) \cdot 2 = 8\ln(3) \cdot 3^{2x}$

Составим и решим неравенство $f'(x) \le g'(x)$:

$8\ln(3) \cdot 3^{8x-2} \le 8\ln(3) \cdot 3^{2x}$

Так как $8\ln(3) > 0$ (поскольку $\ln(3) > \ln(1) = 0$), мы можем разделить обе части неравенства на $8\ln(3)$, не меняя знака неравенства:

$3^{8x-2} \le 3^{2x}$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Поэтому неравенство для степеней равносильно неравенству для их показателей:

$8x - 2 \le 2x$

$8x - 2x \le 2$

$6x \le 2$

$x \le \frac{2}{6}$

$x \le \frac{1}{3}$

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, \frac{1}{3}]$.

Ответ: $(-\infty, \frac{1}{3}]$.