Номер 50, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

50. Найдите множество решений неравенства:

1) $log_5 x + log_5 (x + 4) \ge 1;$

2) $log_{0.5} (x + 1) + log_{0.5} (x - 2) \ge -2;$

3) $log_{0.4} (x - 1) + log_{0.4} x \ge log_{0.4} (x + 3);$

4) $log_3 (2x + 1) - log_3 (x + 5) \ge 1 - log_3 (x - 1).$

1) $\log_5 x + \log_5 (x+4) \ge 1$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x > 0 \\ x+4 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > -4 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > 0$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$:

$\log_5 (x(x+4)) \ge 1$

Представим 1 в виде логарифма по основанию 5: $1 = \log_5 5$.

$\log_5 (x^2 + 4x) \ge \log_5 5$

Так как основание логарифма $5 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$x^2 + 4x \ge 5$

$x^2 + 4x - 5 \ge 0$

Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$.

Парабола $y = x^2 + 4x - 5$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $y \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -5] \cup [1, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$(-\infty, -5] \cup [1, +\infty) \cap (0, +\infty) = [1, +\infty)$.

Ответ: $[1, +\infty)$.

2) $\log_{0.5} (x+1) + \log_{0.5} (x-2) \ge -2$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x+1 > 0 \\ x-2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x > 2 \end{cases}$

Пересечением является $x > 2$. ОДЗ: $x \in (2, +\infty)$.

Применим свойство суммы логарифмов:

$\log_{0.5} ((x+1)(x-2)) \ge -2$

Представим -2 в виде логарифма по основанию 0.5: $-2 = \log_{0.5} (0.5)^{-2} = \log_{0.5} (\frac{1}{2})^{-2} = \log_{0.5} 4$.

$\log_{0.5} (x^2 - x - 2) \ge \log_{0.5} 4$

Так как основание логарифма $0.5 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - x - 2 \le 4$

$x^2 - x - 6 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - x - 6$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $y \le 0$ выполняется при $x \in [-2, 3]$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$[-2, 3] \cap (2, +\infty) = (2, 3]$.

Ответ: $(2, 3]$.

3) $\log_{0.4} (x-1) + \log_{0.4} x \ge \log_{0.4} (x+3)$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x-1 > 0 \\ x > 0 \\ x+3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x > 0 \\ x > -3 \end{cases}$

Пересечением является $x > 1$. ОДЗ: $x \in (1, +\infty)$.

Применим свойство суммы логарифмов в левой части:

$\log_{0.4} ((x-1)x) \ge \log_{0.4} (x+3)$

$\log_{0.4} (x^2 - x) \ge \log_{0.4} (x+3)$

Так как основание логарифма $0.4 < 1$, логарифмическая функция является убывающей, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - x \le x+3$

$x^2 - 2x - 3 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - 2x - 3$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $y \le 0$ выполняется при $x \in [-1, 3]$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$[-1, 3] \cap (1, +\infty) = (1, 3]$.

Ответ: $(1, 3]$.

4) $\log_3(2x+1) - \log_3(x+5) \ge 1 - \log_3(x-1)$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 2x+1 > 0 \\ x+5 > 0 \\ x-1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1/2 \\ x > -5 \\ x > 1 \end{cases}$

Пересечением является $x > 1$. ОДЗ: $x \in (1, +\infty)$.

Перенесем все логарифмы в левую часть неравенства:

$\log_3(2x+1) - \log_3(x+5) + \log_3(x-1) \ge 1$

Используем свойства логарифмов ($\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$ и $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$):

$\log_3 \left(\frac{(2x+1)(x-1)}{x+5}\right) \ge 1$

Представим 1 в виде логарифма по основанию 3: $1 = \log_3 3$.

$\log_3 \left(\frac{(2x+1)(x-1)}{x+5}\right) \ge \log_3 3$

Так как основание логарифма $3 > 1$, функция является возрастающей, и знак неравенства сохраняется:

$\frac{(2x+1)(x-1)}{x+5} \ge 3$

$\frac{2x^2 - 2x + x - 1}{x+5} - 3 \ge 0$

$\frac{2x^2 - x - 1 - 3(x+5)}{x+5} \ge 0$

$\frac{2x^2 - 4x - 16}{x+5} \ge 0$

Разделим числитель на 2: $\frac{x^2 - 2x - 8}{x+5} \ge 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x^2 - 2x - 8 = 0$, откуда $x_1 = -2, x_2 = 4$. Нуль знаменателя: $x = -5$.

На числовой оси отмечаем точки -5 (выколотая), -2 (закрашенная), 4 (закрашенная). Они разбивают ось на интервалы $(-\infty, -5)$, $(-5, -2]$, $[-2, 4]$, $[4, +\infty)$. Определяем знаки выражения на интервалах, получаем $x \in (-5, -2] \cup [4, +\infty)$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ ($x > 1$):

$((-5, -2] \cup [4, +\infty)) \cap (1, +\infty) = [4, +\infty)$.

Ответ: $[4, +\infty)$.