Номер 44, страница 11 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

44. Решите уравнение:

1) $\frac{2\log_3(-x)}{\log_3(-3-4x)} = 1;$

2) $\frac{\log_4(x^2-x-2)-1}{\log_3(x-2)} = 0.$

1) $\frac{2\log_3(-x)}{\log_3(-3-4x)} = 1$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, а знаменатель дроби не должен равняться нулю.

$\begin{cases} -x > 0 \\ -3-4x > 0 \\ \log_3(-3-4x) \neq 0 \end{cases}$

Решим систему неравенств:

1) $-x > 0 \implies x < 0$
2) $-3-4x > 0 \implies -4x > 3 \implies x < -\frac{3}{4}$
3) $\log_3(-3-4x) \neq 0 \implies -3-4x \neq 3^0 \implies -3-4x \neq 1 \implies -4x \neq 4 \implies x \neq -1$

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; -3/4)$.

Теперь решим само уравнение. Умножим обе части на знаменатель:

$2\log_3(-x) = \log_3(-3-4x)$

Используем свойство логарифма $n \log_b a = \log_b a^n$:

$\log_3((-x)^2) = \log_3(-3-4x)$

$\log_3(x^2) = \log_3(-3-4x)$

Так как основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:

$x^2 = -3-4x$

$x^2 + 4x + 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; -3/4)$.

Корень $x_1 = -1$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Это посторонний корень.

Корень $x_2 = -3$ входит в ОДЗ, так как $-3 < -3/4$ и $-3 \neq -1$.

Таким образом, уравнение имеет один корень.

Ответ: -3

2) $\frac{\log_4(x^2 - x - 2) - 1}{\log_3(x - 2)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Также необходимо учесть, что аргументы логарифмов должны быть положительными.

Запишем систему условий (ОДЗ):

$\begin{cases} x^2 - x - 2 > 0 \\ x - 2 > 0 \\ \log_3(x - 2) \neq 0 \end{cases}$

Решим систему:

1) $x^2 - x - 2 > 0$. Корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -1) \cup (2; \infty)$.
2) $x - 2 > 0 \implies x > 2$.
3) $\log_3(x - 2) \neq 0 \implies x - 2 \neq 3^0 \implies x - 2 \neq 1 \implies x \neq 3$.

Пересечение этих условий дает нам ОДЗ: $x \in (2; 3) \cup (3; \infty)$.

Теперь приравняем числитель к нулю:

$\log_4(x^2 - x - 2) - 1 = 0$

$\log_4(x^2 - x - 2) = 1$

По определению логарифма:

$x^2 - x - 2 = 4^1$

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ $x \in (2; 3) \cup (3; \infty)$.

Корень $x_1 = 3$ не входит в ОДЗ, так как $x \neq 3$.

Корень $x_2 = -2$ не входит в ОДЗ, так как $-2$ не принадлежит интервалу $(2; 3) \cup (3; \infty)$.

Так как ни один из корней не удовлетворяет ОДЗ, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений