Страница 11 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

42. Решите уравнение:

1) $log_{3}^{2} x - 4log_{3} x + 3 = 0;$

2) $lg^{2} x - lg x^{2} - 3 = 0;$

3) $log_{5}^{2} x^{3} - 10log_{5} x + 1 = 0;$

4) $\frac{1}{5 - lg x} + \frac{2}{1 + lg x} = 1;$

5) $lg(10x) \cdot lg(0{,}01x) = lg x^{3} - 5;$

6) $lg lg x + lg(lg x^{4} - 3) = 0;$

7) $log_{2}^{2} 4x + log_{2} \frac{x^{2}}{8} = 8;$

8) $0{,}5log_{x} 49 - 3log_{7} x = 2.$

1) $log_3^2 x - 4log_3 x + 3 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Это квадратное уравнение относительно $log_3 x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = log_3 x$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Следовательно, корни:

$t_1 = 1$

$t_2 = 3$

Вернемся к исходной переменной:

1. Если $log_3 x = 1$, то $x = 3^1 = 3$.

2. Если $log_3 x = 3$, то $x = 3^3 = 27$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = 27$.

2) $lg^2 x - lg x^2 - 3 = 0$

ОДЗ: $x > 0$.

Используем свойство логарифма $log_a b^c = c \cdot log_a b$:

$lg x^2 = 2lg x$

Подставим в уравнение:

$lg^2 x - 2lg x - 3 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $t = lg x$.

$t^2 - 2t - 3 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -3. Корни:

$t_1 = 3$

$t_2 = -1$

Возвращаемся к замене:

1. Если $lg x = 3$, то $x = 10^3 = 1000$.

2. Если $lg x = -1$, то $x = 10^{-1} = 0,1$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x_1 = 1000, x_2 = 0,1$.

3) $log_5^2 x^3 - 10log_5 x + 1 = 0$

ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем первый член, используя свойство логарифма $log_a b^c = c \cdot log_a b$:

$log_5^2 x^3 = (log_5 x^3)^2 = (3log_5 x)^2 = 9log_5^2 x$

Уравнение принимает вид:

$9log_5^2 x - 10log_5 x + 1 = 0$

Сделаем замену $t = log_5 x$:

$9t^2 - 10t + 1 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 100 - 36 = 64 = 8^2$

$t_1 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 9} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

$t_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 9} = \frac{18}{18} = 1$

Возвращаемся к замене:

1. Если $log_5 x = \frac{1}{9}$, то $x = 5^{1/9} = \sqrt[9]{5}$.

2. Если $log_5 x = 1$, то $x = 5^1 = 5$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x_1 = 5, x_2 = \sqrt[9]{5}$.

4) $\frac{1}{5 - lg x} + \frac{2}{1 + lg x} = 1$

ОДЗ: $x > 0$, и знаменатели не равны нулю:

$5 - lg x \neq 0 \implies lg x \neq 5 \implies x \neq 10^5$

$1 + lg x \neq 0 \implies lg x \neq -1 \implies x \neq 10^{-1}$

Сделаем замену $t = lg x$:

$\frac{1}{5 - t} + \frac{2}{1 + t} = 1$

Приведем к общему знаменателю $(5 - t)(1 + t)$:

$\frac{1(1 + t) + 2(5 - t)}{(5 - t)(1 + t)} = 1$

$1 + t + 10 - 2t = (5 - t)(1 + t)$

$11 - t = 5 + 5t - t - t^2$

$11 - t = 5 + 4t - t^2$

$t^2 - 5t + 6 = 0$

По теореме Виета, $t_1 = 2, t_2 = 3$.

Возвращаемся к замене:

1. Если $lg x = 2$, то $x = 10^2 = 100$.

2. Если $lg x = 3$, то $x = 10^3 = 1000$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 100, x_2 = 1000$.

5) $lg(10x) \cdot lg(0,01x) = lg x^3 - 5$

ОДЗ: $x > 0$.

Используем свойства логарифма $log_a(bc) = log_a b + log_a c$ и $log_a b^c = c \cdot log_a b$:

$lg(10x) = lg 10 + lg x = 1 + lg x$

$lg(0,01x) = lg(10^{-2}x) = lg 10^{-2} + lg x = -2 + lg x$

$lg x^3 = 3lg x$

Подставляем в уравнение:

$(1 + lg x)(-2 + lg x) = 3lg x - 5$

Сделаем замену $t = lg x$:

$(1 + t)(t - 2) = 3t - 5$

$t^2 - 2t + t - 2 = 3t - 5$

$t^2 - t - 2 = 3t - 5$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

По теореме Виета, $t_1 = 1, t_2 = 3$.

Возвращаемся к замене:

1. Если $lg x = 1$, то $x = 10^1 = 10$.

2. Если $lg x = 3$, то $x = 10^3 = 1000$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 10, x_2 = 1000$.

6) $lg(lg x) + lg(lg x^4 - 3) = 0$

ОДЗ: аргументы всех логарифмов должны быть положительны:

1. $x > 0$

2. $lg x > 0 \implies x > 10^0 \implies x > 1$

3. $lg x^4 - 3 > 0 \implies 4lg x > 3 \implies lg x > \frac{3}{4} \implies x > 10^{3/4}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 10^{3/4}$ (так как $10^{3/4} > 1$).

Используем свойство суммы логарифмов $log_a b + log_a c = log_a(bc)$:

$lg(lg x \cdot (lg x^4 - 3)) = 0$

По определению логарифма:

$lg x \cdot (4lg x - 3) = 10^0 = 1$

Сделаем замену $t = lg x$:

$t(4t - 3) = 1$

$4t^2 - 3t - 1 = 0$

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 = 5^2$

$t_1 = \frac{3 + 5}{8} = 1$

$t_2 = \frac{3 - 5}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$

Возвращаемся к замене:

1. Если $lg x = 1$, то $x = 10^1 = 10$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($10 > 10^{3/4}$).

2. Если $lg x = -1/4$, то этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($lg x > 3/4$). Это посторонний корень.

Ответ: $x = 10$.

7) $log_2^2(4x) + log_2(\frac{x^2}{8}) = 8$

ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем логарифмы:

$log_2^2(4x) = (log_2 4 + log_2 x)^2 = (2 + log_2 x)^2$

$log_2(\frac{x^2}{8}) = log_2 x^2 - log_2 8 = 2log_2 x - 3$

Подставляем в уравнение:

$(2 + log_2 x)^2 + (2log_2 x - 3) = 8$

Сделаем замену $t = log_2 x$:

$(2 + t)^2 + 2t - 3 = 8$

$4 + 4t + t^2 + 2t - 3 = 8$

$t^2 + 6t + 1 = 8$

$t^2 + 6t - 7 = 0$

По теореме Виета, $t_1 = 1, t_2 = -7$.

Возвращаемся к замене:

1. Если $log_2 x = 1$, то $x = 2^1 = 2$.

2. Если $log_2 x = -7$, то $x = 2^{-7} = \frac{1}{128}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = \frac{1}{128}$.

8) $0,5log_x 49 - 3log_7 x = 2$

ОДЗ: $x > 0, x \neq 1$.

Используем формулу перехода к новому основанию $log_b a = \frac{1}{log_a b}$:

$log_x 49 = log_x 7^2 = 2log_x 7 = \frac{2}{log_7 x}$

Подставляем в уравнение:

$0,5 \cdot \frac{2}{log_7 x} - 3log_7 x = 2$

$\frac{1}{log_7 x} - 3log_7 x = 2$

Сделаем замену $t = log_7 x$:

$\frac{1}{t} - 3t = 2$

Умножим обе части на $t$ (при $t \neq 0$, что соответствует $x \neq 1$ из ОДЗ):

$1 - 3t^2 = 2t$

$3t^2 + 2t - 1 = 0$

$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$

$t_1 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{-2 - 4}{6} = -1$

Возвращаемся к замене:

1. Если $log_7 x = \frac{1}{3}$, то $x = 7^{1/3} = \sqrt[3]{7}$.

2. Если $log_7 x = -1$, то $x = 7^{-1} = \frac{1}{7}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = \sqrt[3]{7}, x_2 = \frac{1}{7}$.

43. Решите уравнение:

1) $x^{\lg x - 5} = 0,0001$

2) $x^{\log_4 x} = 256x^3$

3) $2^{\log_2^2 x} + x^{\log_2 x} = 32$

4) $x^{\lg 3} + 3^{\lg x} = 54$

1) $x^{\lg x - 5} = 0,0001$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Представим правую часть уравнения в виде степени числа 10: $0,0001 = 10^{-4}$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

$\lg(x^{\lg x - 5}) = \lg(10^{-4})$

Используя свойство логарифма степени $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$, получаем:

$(\lg x - 5) \cdot \lg x = -4$

Введем замену: пусть $t = \lg x$. Уравнение примет вид:

$(t - 5)t = -4$

$t^2 - 5t + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Следовательно, корни:

$t_1 = 1$

$t_2 = 4$

Вернемся к исходной переменной $x$:

1. Если $\lg x = 1$, то $x = 10^1 = 10$.

2. Если $\lg x = 4$, то $x = 10^4 = 10000$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $10; 10000$.

2) $x^{\log_4 x} = 256x^3$

ОДЗ: $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 4:

$\log_4(x^{\log_4 x}) = \log_4(256x^3)$

Используя свойства логарифма степени и произведения ($\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$):

$(\log_4 x) \cdot (\log_4 x) = \log_4(256) + \log_4(x^3)$

$(\log_4 x)^2 = \log_4(4^4) + 3\log_4 x$

$(\log_4 x)^2 = 4 + 3\log_4 x$

Введем замену: пусть $t = \log_4 x$.

$t^2 = 4 + 3t$

$t^2 - 3t - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно -4. Корни:

$t_1 = 4$

$t_2 = -1$

Вернемся к переменной $x$:

1. Если $\log_4 x = 4$, то $x = 4^4 = 256$.

2. Если $\log_4 x = -1$, то $x = 4^{-1} = 1/4$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1/4; 256$.

3) $2^{\log_2^2 x} + x^{\log_2 x} = 32$

ОДЗ: $x > 0$.

Заметим, что $\log_2^2 x = (\log_2 x)^2$.

Преобразуем второе слагаемое $x^{\log_2 x}$, используя основное логарифмическое тождество $a = b^{\log_b a}$:

$x = 2^{\log_2 x}$

Тогда:

$x^{\log_2 x} = (2^{\log_2 x})^{\log_2 x} = 2^{(\log_2 x) \cdot (\log_2 x)} = 2^{(\log_2 x)^2} = 2^{\log_2^2 x}$

Таким образом, оба слагаемых в левой части уравнения равны. Подставим это в исходное уравнение:

$2^{\log_2^2 x} + 2^{\log_2^2 x} = 32$

$2 \cdot 2^{\log_2^2 x} = 32$

$2^{\log_2^2 x} = 16$

$2^{\log_2^2 x} = 2^4$

Приравниваем показатели степеней:

$\log_2^2 x = 4$

$(\log_2 x)^2 = 4$

Отсюда следует, что $\log_2 x = 2$ или $\log_2 x = -2$.

1. Если $\log_2 x = 2$, то $x = 2^2 = 4$.

2. Если $\log_2 x = -2$, то $x = 2^{-2} = 1/4$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1/4; 4$.

4) $x^{\lg 3} + 3^{\lg x} = 54$

ОДЗ: $x > 0$.

Воспользуемся свойством логарифма $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$. Применим его к первому слагаемому:

$x^{\lg 3} = x^{\log_{10} 3} = 3^{\log_{10} x} = 3^{\lg x}$

Оба слагаемых в левой части уравнения равны. Подставим это в уравнение:

$3^{\lg x} + 3^{\lg x} = 54$

$2 \cdot 3^{\lg x} = 54$

$3^{\lg x} = 27$

$3^{\lg x} = 3^3$

Приравниваем показатели степеней:

$\lg x = 3$

Отсюда $x = 10^3 = 1000$.

Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $1000$.

44. Решите уравнение:

1) $\frac{2\log_3(-x)}{\log_3(-3-4x)} = 1;$

2) $\frac{\log_4(x^2-x-2)-1}{\log_3(x-2)} = 0.$

1) $\frac{2\log_3(-x)}{\log_3(-3-4x)} = 1$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, а знаменатель дроби не должен равняться нулю.

$\begin{cases} -x > 0 \\ -3-4x > 0 \\ \log_3(-3-4x) \neq 0 \end{cases}$

Решим систему неравенств:

1) $-x > 0 \implies x < 0$
2) $-3-4x > 0 \implies -4x > 3 \implies x < -\frac{3}{4}$
3) $\log_3(-3-4x) \neq 0 \implies -3-4x \neq 3^0 \implies -3-4x \neq 1 \implies -4x \neq 4 \implies x \neq -1$

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; -3/4)$.

Теперь решим само уравнение. Умножим обе части на знаменатель:

$2\log_3(-x) = \log_3(-3-4x)$

Используем свойство логарифма $n \log_b a = \log_b a^n$:

$\log_3((-x)^2) = \log_3(-3-4x)$

$\log_3(x^2) = \log_3(-3-4x)$

Так как основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:

$x^2 = -3-4x$

$x^2 + 4x + 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; -3/4)$.

Корень $x_1 = -1$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Это посторонний корень.

Корень $x_2 = -3$ входит в ОДЗ, так как $-3 < -3/4$ и $-3 \neq -1$.

Таким образом, уравнение имеет один корень.

Ответ: -3

2) $\frac{\log_4(x^2 - x - 2) - 1}{\log_3(x - 2)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Также необходимо учесть, что аргументы логарифмов должны быть положительными.

Запишем систему условий (ОДЗ):

$\begin{cases} x^2 - x - 2 > 0 \\ x - 2 > 0 \\ \log_3(x - 2) \neq 0 \end{cases}$

Решим систему:

1) $x^2 - x - 2 > 0$. Корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -1) \cup (2; \infty)$.
2) $x - 2 > 0 \implies x > 2$.
3) $\log_3(x - 2) \neq 0 \implies x - 2 \neq 3^0 \implies x - 2 \neq 1 \implies x \neq 3$.

Пересечение этих условий дает нам ОДЗ: $x \in (2; 3) \cup (3; \infty)$.

Теперь приравняем числитель к нулю:

$\log_4(x^2 - x - 2) - 1 = 0$

$\log_4(x^2 - x - 2) = 1$

По определению логарифма:

$x^2 - x - 2 = 4^1$

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ $x \in (2; 3) \cup (3; \infty)$.

Корень $x_1 = 3$ не входит в ОДЗ, так как $x \neq 3$.

Корень $x_2 = -2$ не входит в ОДЗ, так как $-2$ не принадлежит интервалу $(2; 3) \cup (3; \infty)$.

Так как ни один из корней не удовлетворяет ОДЗ, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений

45. Выясните, при каких значениях $a$ данное уравнение имеет корни, и найдите их:

1) $\log_8(x+2) = \log_8(2x-a)$;

2) $\log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 2ax) = \log_{\frac{1}{3}}(-x - 2a + 2)$.

1) Дано уравнение $ \log_{8}(x + 2) = \log_{8}(2x - a) $.

Это уравнение равносильно системе, в которой аргументы логарифмов равны и положительны:

$ \begin{cases} x + 2 = 2x - a, \\ x + 2 > 0. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $ x $: $ 2x - x = a + 2 $, откуда $ x = a + 2 $.

Подставим это выражение для $ x $ во второе неравенство системы, чтобы найти условия на параметр $ a $:

$ (a + 2) + 2 > 0 $

$ a + 4 > 0 $

$ a > -4 $

Таким образом, уравнение имеет единственный корень $ x = a + 2 $ при выполнении условия $ a > -4 $. Заметим, что если $ x + 2 > 0 $, то из первого уравнения $ x + 2 = 2x - a $ следует, что и $ 2x - a > 0 $, поэтому проверять второе условие области определения не требуется.

Ответ: при $ a > -4 $ корень $ x = a + 2 $.

2) Дано уравнение $ \log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 2ax) = \log_{\frac{1}{3}}(-x - 2a + 2) $.

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - 2ax = -x - 2a + 2, \\ -x - 2a + 2 > 0. \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение в стандартный вид квадратного уравнения относительно $ x $:

$ x^2 - 2ax + x + 2a - 2 = 0 $

$ x^2 + (1 - 2a)x + (2a - 2) = 0 $

Вычислим дискриминант $ D $ этого уравнения:

$ D = (1 - 2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a - 2) = 1 - 4a + 4a^2 - 8a + 8 = 4a^2 - 12a + 9 = (2a - 3)^2 $.

Так как $ D = (2a - 3)^2 \ge 0 $ для любого значения $ a $, квадратное уравнение всегда имеет действительные корни. Найдем их:

$ x = \frac{-(1 - 2a) \pm \sqrt{(2a - 3)^2}}{2} = \frac{2a - 1 \pm |2a - 3|}{2} $.

Корни уравнения: $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 2a - 2 $.

Теперь необходимо проверить, при каких значениях $ a $ найденные корни удовлетворяют неравенству из системы $ -x - 2a + 2 > 0 $, то есть $ x < 2 - 2a $.

Проверка для корня $ x_1 = 1 $:

$ 1 < 2 - 2a \implies 2a < 1 \implies a < 0.5 $.

Следовательно, $ x = 1 $ является корнем исходного логарифмического уравнения только при $ a < 0.5 $.

Проверка для корня $ x_2 = 2a - 2 $:

$ 2a - 2 < 2 - 2a \implies 4a < 4 \implies a < 1 $.

Следовательно, $ x = 2a - 2 $ является корнем исходного логарифмического уравнения только при $ a < 1 $.

Сведем результаты в итоговый ответ:

1. Если $ a < 0.5 $, то оба условия ($ a < 0.5 $ и $ a < 1 $) выполнены. Корни $ 1 $ и $ 2a-2 $ различны (они равны при $ a=1.5 $, что не входит в данный интервал). Таким образом, уравнение имеет два корня: $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 2a - 2 $.

2. Если $ 0.5 \le a < 1 $, то для корня $ x=1 $ условие не выполняется, а для корня $ x=2a-2 $ условие выполняется. Таким образом, уравнение имеет один корень: $ x = 2a - 2 $.

3. Если $ a \ge 1 $, то ни одно из условий не выполняется, и уравнение корней не имеет.

Ответ: при $ a < 0.5 $ корни $ x_1 = 1, x_2 = 2a - 2 $; при $ 0.5 \le a < 1 $ корень $ x = 2a - 2 $; при $ a \ge 1 $ корней нет.

46. При каких значениях $b$ уравнение $2\log_{\frac{1}{2}}(x+3) = \log_{\frac{1}{2}}2bx$ имеет единственный корень?

Исходное уравнение: $2\log_{\frac{1}{2}}(x+3) = \log_{\frac{1}{2}}2bx$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x + 3 > 0 \\ 2bx > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x > -3$. Второе неравенство $2bx > 0$ зависит от знака параметра $b$.

1. Если $b > 0$, то $x > 0$. Система ОДЗ принимает вид: $\begin{cases} x > -3 \\ x > 0 \end{cases}$, что равносильно $x > 0$.

2. Если $b < 0$, то $x < 0$. Система ОДЗ принимает вид: $\begin{cases} x > -3 \\ x < 0 \end{cases}$, что равносильно $-3 < x < 0$.

3. Если $b = 0$, то неравенство $2 \cdot 0 \cdot x > 0$ превращается в $0 > 0$, что неверно. Следовательно, при $b=0$ уравнение не имеет решений, так как ОДЗ является пустым множеством.

Теперь преобразуем исходное уравнение. Используя свойство логарифма $n\log_a M = \log_a M^n$, получаем:

$\log_{\frac{1}{2}}(x+3)^2 = \log_{\frac{1}{2}}2bx$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$(x+3)^2 = 2bx$

$x^2 + 6x + 9 = 2bx$

$x^2 + (6 - 2b)x + 9 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $x$. Исходное логарифмическое уравнение будет иметь единственный корень, если это квадратное уравнение будет иметь единственный корень, удовлетворяющий ОДЗ.

Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:

$D = (6 - 2b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 24b + 4b^2 - 36 = 4b^2 - 24b = 4b(b-6)$.

Рассмотрим три случая в зависимости от знака дискриминанта.

Случай 1: $D = 0$

Квадратное уравнение имеет один корень. Это происходит при $4b(b-6)=0$, то есть при $b=0$ или $b=6$.

- Как мы уже выяснили, при $b=0$ решений нет.

- При $b=6$, дискриминант $D=0$. Уравнение имеет единственный корень $x = -\frac{6-2b}{2} = b-3 = 6-3 = 3$. ОДЗ для $b=6$ (так как $b>0$) — это $x > 0$. Корень $x=3$ удовлетворяет этому условию, следовательно, $b=6$ является решением.

Случай 2: $D < 0$

Квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это происходит при $4b(b-6)<0$, то есть при $0 < b < 6$. В этом случае исходное уравнение также не имеет решений.

Случай 3: $D > 0$

Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Это происходит при $4b(b-6)>0$, то есть при $b < 0$ или $b > 6$. В этом случае, чтобы исходное уравнение имело единственный корень, ровно один из двух корней квадратного уравнения должен принадлежать ОДЗ.

Рассмотрим два подслучая.

Подслучай 3а: $b > 6$

ОДЗ в этом случае: $x > 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + (6-2b)x + 9 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -(6-2b) = 2b-6$ и $x_1 \cdot x_2 = 9$. Так как $x_1 \cdot x_2 = 9 > 0$, корни имеют одинаковый знак. Так как $b > 6$, то $2b > 12$, и $x_1 + x_2 = 2b-6 > 6 > 0$. Сумма корней положительна. Если произведение и сумма корней положительны, то оба корня $x_1$ и $x_2$ положительны. Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x>0$). Следовательно, при $b>6$ исходное уравнение имеет два различных корня. Этот случай нам не подходит.

Подслучай 3б: $b < 0$

ОДЗ в этом случае: $-3 < x < 0$. По теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = 9 > 0$ (корни одного знака) и $x_1 + x_2 = 2b-6$. Так как $b < 0$, то $2b < 0$, и $x_1 + x_2 = 2b-6 < -6 < 0$. Сумма корней отрицательна. Если произведение корней положительно, а сумма отрицательна, то оба корня $x_1$ и $x_2$ отрицательны.

Теперь нам нужно, чтобы ровно один из этих двух отрицательных корней попал в интервал $(-3, 0)$. Пусть $f(x) = x^2 + (6-2b)x + 9$. График этой функции — парабола с ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $x_1$ и $x_2$. Чтобы один корень был в интервале $(-3, 0)$, а другой — нет (т.е. был меньше или равен $-3$), необходимо и достаточно, чтобы значение функции в точке $x=-3$ было отрицательным или равным нулю (так как $f(0)=9>0$). Найдем $f(-3) = (-3)^2 + (6-2b)(-3) + 9 = 9 - 18 + 6b + 9 = 6b$. Условие $f(-3) \leq 0$ дает нам $6b \leq 0$, то есть $b \leq 0$. Мы рассматриваем случай $b < 0$, что полностью удовлетворяет условию $b \leq 0$. При $b<0$ имеем $f(-3) = 6b < 0$. Это означает, что точка $x=-3$ находится между корнями $x_1$ и $x_2$. Так как оба корня отрицательны, то один из них меньше $-3$, а другой — в интервале $(-3, 0)$. Таким образом, при $b < 0$ ровно один корень квадратного уравнения попадает в ОДЗ. Следовательно, при всех $b < 0$ исходное уравнение имеет единственный корень.

Объединяя все полученные результаты, получаем, что уравнение имеет единственный корень при $b=6$ и при $b < 0$.

Ответ: $b \in (-\infty, 0) \cup \{6\}$.

47. Каждому неравенству, записанному в левом столбце, поставьте в соответствие изображение его множества решений из правого столбца.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Для того чтобы сопоставить неравенства с их множествами решений, решим каждое неравенство. Важно помнить, что область допустимых значений (ОДЗ) для всех логарифмических неравенств вида $log_a x$ определяется условием $x > 0$.

А) $log_2 x \ge 1$

1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 2: $1 = log_2 2$.
3. Неравенство примет вид: $log_2 x \ge log_2 2$.
4. Так как основание логарифма $2 > 1$, функция $y = log_2 x$ является возрастающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется: $x \ge 2$.
5. С учетом ОДЗ ($x > 0$) и полученного решения ($x \ge 2$), итоговое решение: $x \ge 2$.
Этому множеству соответствует изображение под номером 2.
Ответ: 2

Б) $log_2 x \le 1$

1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представим правую часть: $1 = log_2 2$.
3. Неравенство примет вид: $log_2 x \le log_2 2$.
4. Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется: $x \le 2$.
5. С учетом ОДЗ ($x > 0$), получаем итоговое решение: $0 < x \le 2$.
Этому множеству соответствует изображение под номером 3.
Ответ: 3

В) $log_2 x \ge -1$

1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представим правую часть: $-1 = log_2 (2^{-1}) = log_2 (1/2)$.
3. Неравенство примет вид: $log_2 x \ge log_2 (1/2)$.
4. Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется: $x \ge 1/2$.
5. С учетом ОДЗ ($x > 0$), итоговое решение: $x \ge 1/2$.
Этому множеству соответствует изображение под номером 1.
Ответ: 1

Г) $log_2 x \le -1$

1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Представим правую часть: $-1 = log_2 (1/2)$.
3. Неравенство примет вид: $log_2 x \le log_2 (1/2)$.
4. Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется: $x \le 1/2$.
5. С учетом ОДЗ ($x > 0$), получаем итоговое решение: $0 < x \le 1/2$.
Этому множеству соответствует изображение под номером 4.
Ответ: 4

Заполним таблицу в соответствии с найденными решениями: