Страница 13 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

49. Решите неравенство:

1) $\log_3 \frac{2-3x}{x} \ge -1;$

2) $\log_4 \frac{3x-1}{x} \le 0,5;$

3) $\log_{0,3} \log_6 \frac{x+1}{4-x} \ge 0.$

1) Решим неравенство $\log_3 \frac{2-3x}{x} \ge -1$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\frac{2-3x}{x} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$2-3x = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$

$x = 0$

На числовой прямой отмечаем точки 0 и $\frac{2}{3}$. Они делят прямую на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; \frac{2}{3})$ и $(\frac{2}{3}; +\infty)$. Определим знак выражения на каждом интервале. Выражение положительно на интервале $(0; \frac{2}{3})$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; \frac{2}{3})$.

Теперь решим само неравенство. Так как основание логарифма $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\frac{2-3x}{x} \ge 3^{-1}$

$\frac{2-3x}{x} \ge \frac{1}{3}$

$\frac{2-3x}{x} - \frac{1}{3} \ge 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{3(2-3x) - x}{3x} \ge 0$

$\frac{6 - 9x - x}{3x} \ge 0$

$\frac{6 - 10x}{3x} \ge 0$

Снова используем метод интервалов. Нули числителя и знаменателя:

$6 - 10x = 0 \Rightarrow x = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$3x = 0 \Rightarrow x = 0$

На числовой прямой отмечаем точки 0 (выколотая) и $\frac{3}{5}$ (закрашенная). Выражение $\frac{6 - 10x}{3x}$ положительно на интервале $(0; \frac{3}{5}]$.

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

Решение: $x \in (0; \frac{3}{5}]$

ОДЗ: $x \in (0; \frac{2}{3})$

Так как $\frac{3}{5} = 0.6$ и $\frac{2}{3} \approx 0.67$, то $\frac{3}{5} < \frac{2}{3}$. Пересечением является интервал $(0; \frac{3}{5}]$.

Ответ: $x \in (0; \frac{3}{5}]$.

2) Решим неравенство $\log_4 \frac{3x-1}{x} \le 0,5$.

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\frac{3x-1}{x} > 0$

Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.

Теперь решаем неравенство. Основание логарифма $4 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется. Представим $0,5$ как $\frac{1}{2}$:

$\frac{3x-1}{x} \le 4^{0,5}$

$\frac{3x-1}{x} \le \sqrt{4}$

$\frac{3x-1}{x} \le 2$

$\frac{3x-1}{x} - 2 \le 0$

$\frac{3x-1 - 2x}{x} \le 0$

$\frac{x-1}{x} \le 0$

Решая это неравенство методом интервалов, получаем $x \in (0; 1]$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ:

Решение: $x \in (0; 1]$

ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$

Пересечение этих множеств дает интервал $(\frac{1}{3}; 1]$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{3}; 1]$.

3) Решим неравенство $\log_{0,3} \log_6 \frac{x+1}{4-x} \ge 0$.

Найдем ОДЗ. Для этого неравенства должны выполняться два условия:

1. Аргумент внутреннего логарифма должен быть положительным:

$\frac{x+1}{4-x} > 0$

Это неравенство выполняется на интервале $x \in (-1; 4)$.

2. Аргумент внешнего логарифма, который сам является логарифмом, должен быть положительным:

$\log_6 \frac{x+1}{4-x} > 0$

Так как основание $6 > 1$, это эквивалентно:

$\frac{x+1}{4-x} > 6^0 \Rightarrow \frac{x+1}{4-x} > 1$

$\frac{x+1}{4-x} - 1 > 0 \Rightarrow \frac{x+1 - (4-x)}{4-x} > 0 \Rightarrow \frac{2x-3}{4-x} > 0$

Это неравенство выполняется на интервале $x \in (\frac{3}{2}; 4)$.

Общее ОДЗ является пересечением этих двух интервалов: $(-1; 4) \cap (\frac{3}{2}; 4) = (\frac{3}{2}; 4)$.

Теперь решим исходное неравенство. Основание внешнего логарифма $0,3 < 1$, поэтому при его снятии знак неравенства меняется на противоположный:

$\log_6 \frac{x+1}{4-x} \le 0,3^0$

$\log_6 \frac{x+1}{4-x} \le 1$

Основание внутреннего логарифма $6 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:

$\frac{x+1}{4-x} \le 6^1$

$\frac{x+1}{4-x} - 6 \le 0$

$\frac{x+1 - 6(4-x)}{4-x} \le 0$

$\frac{x+1 - 24 + 6x}{4-x} \le 0$

$\frac{7x-23}{4-x} \le 0$

Решая это неравенство методом интервалов, получаем $x \in (-\infty; \frac{23}{7}] \cup (4; +\infty)$.

Наконец, найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

Решение: $x \in (-\infty; \frac{23}{7}] \cup (4; +\infty)$

ОДЗ: $x \in (\frac{3}{2}; 4)$

Пересечение этих множеств дает интервал $(\frac{3}{2}; \frac{23}{7}]$.

Ответ: $x \in (\frac{3}{2}; \frac{23}{7}]$.

50. Найдите множество решений неравенства:

1) $log_5 x + log_5 (x + 4) \ge 1;$

2) $log_{0.5} (x + 1) + log_{0.5} (x - 2) \ge -2;$

3) $log_{0.4} (x - 1) + log_{0.4} x \ge log_{0.4} (x + 3);$

4) $log_3 (2x + 1) - log_3 (x + 5) \ge 1 - log_3 (x - 1).$

1) $\log_5 x + \log_5 (x+4) \ge 1$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x > 0 \\ x+4 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > -4 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > 0$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$:

$\log_5 (x(x+4)) \ge 1$

Представим 1 в виде логарифма по основанию 5: $1 = \log_5 5$.

$\log_5 (x^2 + 4x) \ge \log_5 5$

Так как основание логарифма $5 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$x^2 + 4x \ge 5$

$x^2 + 4x - 5 \ge 0$

Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$.

Парабола $y = x^2 + 4x - 5$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $y \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -5] \cup [1, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$(-\infty, -5] \cup [1, +\infty) \cap (0, +\infty) = [1, +\infty)$.

Ответ: $[1, +\infty)$.

2) $\log_{0.5} (x+1) + \log_{0.5} (x-2) \ge -2$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x+1 > 0 \\ x-2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x > 2 \end{cases}$

Пересечением является $x > 2$. ОДЗ: $x \in (2, +\infty)$.

Применим свойство суммы логарифмов:

$\log_{0.5} ((x+1)(x-2)) \ge -2$

Представим -2 в виде логарифма по основанию 0.5: $-2 = \log_{0.5} (0.5)^{-2} = \log_{0.5} (\frac{1}{2})^{-2} = \log_{0.5} 4$.

$\log_{0.5} (x^2 - x - 2) \ge \log_{0.5} 4$

Так как основание логарифма $0.5 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - x - 2 \le 4$

$x^2 - x - 6 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - x - 6$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $y \le 0$ выполняется при $x \in [-2, 3]$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$[-2, 3] \cap (2, +\infty) = (2, 3]$.

Ответ: $(2, 3]$.

3) $\log_{0.4} (x-1) + \log_{0.4} x \ge \log_{0.4} (x+3)$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x-1 > 0 \\ x > 0 \\ x+3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x > 0 \\ x > -3 \end{cases}$

Пересечением является $x > 1$. ОДЗ: $x \in (1, +\infty)$.

Применим свойство суммы логарифмов в левой части:

$\log_{0.4} ((x-1)x) \ge \log_{0.4} (x+3)$

$\log_{0.4} (x^2 - x) \ge \log_{0.4} (x+3)$

Так как основание логарифма $0.4 < 1$, логарифмическая функция является убывающей, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - x \le x+3$

$x^2 - 2x - 3 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - 2x - 3$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $y \le 0$ выполняется при $x \in [-1, 3]$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$[-1, 3] \cap (1, +\infty) = (1, 3]$.

Ответ: $(1, 3]$.

4) $\log_3(2x+1) - \log_3(x+5) \ge 1 - \log_3(x-1)$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 2x+1 > 0 \\ x+5 > 0 \\ x-1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1/2 \\ x > -5 \\ x > 1 \end{cases}$

Пересечением является $x > 1$. ОДЗ: $x \in (1, +\infty)$.

Перенесем все логарифмы в левую часть неравенства:

$\log_3(2x+1) - \log_3(x+5) + \log_3(x-1) \ge 1$

Используем свойства логарифмов ($\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$ и $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$):

$\log_3 \left(\frac{(2x+1)(x-1)}{x+5}\right) \ge 1$

Представим 1 в виде логарифма по основанию 3: $1 = \log_3 3$.

$\log_3 \left(\frac{(2x+1)(x-1)}{x+5}\right) \ge \log_3 3$

Так как основание логарифма $3 > 1$, функция является возрастающей, и знак неравенства сохраняется:

$\frac{(2x+1)(x-1)}{x+5} \ge 3$

$\frac{2x^2 - 2x + x - 1}{x+5} - 3 \ge 0$

$\frac{2x^2 - x - 1 - 3(x+5)}{x+5} \ge 0$

$\frac{2x^2 - 4x - 16}{x+5} \ge 0$

Разделим числитель на 2: $\frac{x^2 - 2x - 8}{x+5} \ge 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x^2 - 2x - 8 = 0$, откуда $x_1 = -2, x_2 = 4$. Нуль знаменателя: $x = -5$.

На числовой оси отмечаем точки -5 (выколотая), -2 (закрашенная), 4 (закрашенная). Они разбивают ось на интервалы $(-\infty, -5)$, $(-5, -2]$, $[-2, 4]$, $[4, +\infty)$. Определяем знаки выражения на интервалах, получаем $x \in (-5, -2] \cup [4, +\infty)$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ ($x > 1$):

$((-5, -2] \cup [4, +\infty)) \cap (1, +\infty) = [4, +\infty)$.

Ответ: $[4, +\infty)$.

51. Решите неравенство:

1) $\log^2_{0,2} (x-1) \le 4;$

2) $\log^2_3 x - 2\log_3 x - 8 > 0;$

3) $\log^2_2 x - 3\log_2 x - 4 \le 0;$

4) $2\log^2_{\frac{1}{4}} (x+2) + 3\log_{\frac{1}{4}} (x+2) \le 2;$

5) $\log^2_{0,4} (-x) - 0,25\log_{0,4} x^4 \le 2;$

6) $\lg x^2 \cdot \lg 0,0001x \le 10;$

7) $\frac{\log^2_3 x + \log_3 x - 20}{\log_3 x - 2} \le 0;$

8) $3\lg x + 3\log_x 10 \ge 10.$

1) $\log_{0,2}^2(x-1) \le 4$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$x - 1 > 0 \implies x > 1$.
Исходное неравенство можно записать как $(\log_{0,2}(x-1))^2 \le 4$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_{0,2}(x-1)$. Неравенство принимает вид:
$t^2 \le 4$
$t^2 - 4 \le 0$
$(t-2)(t+2) \le 0$
Решением этого неравенства является промежуток $-2 \le t \le 2$.
Вернемся к исходной переменной:
$-2 \le \log_{0,2}(x-1) \le 2$
Это двойное неравенство эквивалентно системе двух неравенств:
$\begin{cases} \log_{0,2}(x-1) \le 2 \\ \log_{0,2}(x-1) \ge -2 \end{cases}$
Решим первое неравенство: $\log_{0,2}(x-1) \le 2$. Так как основание логарифма $0,2 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:
$x-1 \ge 0,2^2$
$x-1 \ge 0,04$
$x \ge 1,04$
Решим второе неравенство: $\log_{0,2}(x-1) \ge -2$. Знак также меняется:
$x-1 \le 0,2^{-2}$
$x-1 \le (\frac{1}{5})^{-2}$
$x-1 \le 5^2$
$x-1 \le 25$
$x \le 26$
Объединяя решения $x \ge 1,04$ и $x \le 26$, получаем $1,04 \le x \le 26$.
С учетом ОДЗ ($x > 1$), решение остается тем же.
Ответ: $[1,04; 26]$.

2) $\log_3^2 x - 2\log_3 x - 8 > 0$

ОДЗ: $x > 0$.
Сделаем замену $t = \log_3 x$. Получаем квадратное неравенство:
$t^2 - 2t - 8 > 0$
Найдем корни уравнения $t^2 - 2t - 8 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 4$, $t_2 = -2$.
Неравенство можно записать в виде $(t-4)(t+2) > 0$.
Решением является совокупность $t < -2$ или $t > 4$.
Возвращаемся к переменной $x$:
1) $\log_3 x < -2$. Так как основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется.
$x < 3^{-2} \implies x < \frac{1}{9}$.
2) $\log_3 x > 4$.
$x > 3^4 \implies x > 81$.
Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем $0 < x < \frac{1}{9}$ или $x > 81$.
Ответ: $(0; \frac{1}{9}) \cup (81; +\infty)$.

3) $\log_2^2 x - 3\log_2 x - 4 \le 0$

ОДЗ: $x > 0$.
Сделаем замену $t = \log_2 x$.
$t^2 - 3t - 4 \le 0$
Найдем корни уравнения $t^2 - 3t - 4 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 4$, $t_2 = -1$.
Неравенство можно записать как $(t-4)(t+1) \le 0$.
Решением является $-1 \le t \le 4$.
Возвращаемся к переменной $x$:
$-1 \le \log_2 x \le 4$
Так как основание $2 > 1$, знаки неравенств сохраняются.
$2^{-1} \le x \le 2^4$
$\frac{1}{2} \le x \le 16$
Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $[0,5; 16]$.

4) $2\log_{\frac{1}{4}}^2(x+2) + 3\log_{\frac{1}{4}}(x+2) \le 2$

ОДЗ: $x+2 > 0 \implies x > -2$.
Сделаем замену $t = \log_{\frac{1}{4}}(x+2)$.
$2t^2 + 3t \le 2$
$2t^2 + 3t - 2 \le 0$
Найдем корни уравнения $2t^2 + 3t - 2 = 0$.
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
$t_1 = \frac{-3+5}{4} = \frac{1}{2}$, $t_2 = \frac{-3-5}{4} = -2$.
Неравенство имеет вид $2(t-\frac{1}{2})(t+2) \le 0$.
Решением является $-2 \le t \le \frac{1}{2}$.
Возвращаемся к $x$:
$-2 \le \log_{\frac{1}{4}}(x+2) \le \frac{1}{2}$
Так как основание $\frac{1}{4} < 1$, знаки неравенств меняются.
$(\frac{1}{4})^{-2} \ge x+2 \ge (\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}}$
$16 \ge x+2 \ge \frac{1}{2}$
$16-2 \ge x \ge \frac{1}{2}-2$
$14 \ge x \ge -1,5$
Решение $[-1,5; 14]$ удовлетворяет ОДЗ ($x > -2$).
Ответ: $[-1,5; 14]$.

5) $\log_{0,4}^2(-x) - 0,25\log_{0,4}x^4 \le 2$

ОДЗ: $-x > 0 \implies x < 0$. Также $x^4 > 0$, что выполняется для всех $x \ne 0$. Итоговая ОДЗ: $x < 0$.
Преобразуем второй логарифм. Так как по ОДЗ $x < 0$, то $-x > 0$. Мы можем записать $x^4 = (-x)^4$.
$\log_{0,4}x^4 = \log_{0,4}(-x)^4 = 4\log_{0,4}(-x)$.
Подставим в неравенство:
$\log_{0,4}^2(-x) - 0,25 \cdot 4\log_{0,4}(-x) \le 2$
$\log_{0,4}^2(-x) - \log_{0,4}(-x) - 2 \le 0$
Сделаем замену $t = \log_{0,4}(-x)$.
$t^2 - t - 2 \le 0$
Корни уравнения $t^2 - t - 2 = 0$: $t_1 = 2, t_2 = -1$.
Неравенство имеет вид $(t-2)(t+1) \le 0$.
Решение: $-1 \le t \le 2$.
Возвращаемся к $x$:
$-1 \le \log_{0,4}(-x) \le 2$
Основание $0,4 < 1$, меняем знаки.
$0,4^{-1} \ge -x \ge 0,4^2$
$2,5 \ge -x \ge 0,16$
Умножим на -1, снова меняя знаки:
$-2,5 \le x \le -0,16$
Это решение полностью входит в ОДЗ ($x < 0$).
Ответ: $[-2,5; -0,16]$.

6) $\lg x^2 \cdot \lg 0,0001x \le 10$

ОДЗ: $x^2 > 0 \implies x \ne 0$ и $0,0001x > 0 \implies x > 0$. Итоговая ОДЗ: $x > 0$.
Так как $x > 0$, то $\lg x^2 = 2\lg x$.
Используем свойство логарифма произведения: $\lg(0,0001x) = \lg(10^{-4}) + \lg x = -4 + \lg x$.
Подставим в неравенство:
$(2\lg x)(-4 + \lg x) \le 10$
Сделаем замену $t = \lg x$.
$2t(t-4) \le 10$
$2t^2 - 8t - 10 \le 0$
$t^2 - 4t - 5 \le 0$
Корни $t^2 - 4t - 5 = 0$: $t_1=5, t_2=-1$.
Неравенство $(t-5)(t+1) \le 0$ имеет решение $-1 \le t \le 5$.
Возвращаемся к $x$:
$-1 \le \lg x \le 5$
Основание $10 > 1$, знаки сохраняются.
$10^{-1} \le x \le 10^5$
$0,1 \le x \le 100000$
Решение удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).
Ответ: $[0,1; 100000]$.

7) $\frac{\log_3^2 x + \log_3 x - 20}{\log_3 x - 2} \le 0$

ОДЗ: $x > 0$ и знаменатель не равен нулю: $\log_3 x - 2 \ne 0 \implies \log_3 x \ne 2 \implies x \ne 9$.
Сделаем замену $t = \log_3 x$.
$\frac{t^2+t-20}{t-2} \le 0$
Найдем корни числителя: $t^2+t-20=0$. По теореме Виета $t_1 = -5, t_2 = 4$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(t+5)(t-4)}{t-2} \le 0$.
Решим методом интервалов. Критические точки: -5, 2, 4.
При $t>4$: $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.
При $2<t<4$: $\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$.
При $-5<t<2$: $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$.
При $t<-5$: $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$.
Нам нужны интервалы, где выражение $\le 0$. Это $t \le -5$ и $2 < t \le 4$.
Возвращаемся к $x$:
1) $\log_3 x \le -5 \implies x \le 3^{-5} \implies x \le \frac{1}{243}$.
2) $2 < \log_3 x \le 4 \implies 3^2 < x \le 3^4 \implies 9 < x \le 81$.
Учитывая ОДЗ ($x>0, x \ne 9$), получаем два интервала: $(0; \frac{1}{243}]$ и $(9; 81]$.
Ответ: $(0; \frac{1}{243}] \cup (9; 81]$.

8) $3\lg x + 3\log_x 10 \ge 10$

ОДЗ: $x > 0$ (из $\lg x$) и $x > 0, x \ne 1$ (из $\log_x 10$). Итоговая ОДЗ: $x > 0, x \ne 1$.
Используем формулу перехода к новому основанию: $\log_x 10 = \frac{\lg 10}{\lg x} = \frac{1}{\lg x}$.
Неравенство принимает вид: $3\lg x + \frac{3}{\lg x} \ge 10$.
Сделаем замену $t = \lg x$. Так как $x \ne 1$, то $t \ne 0$.
$3t + \frac{3}{t} - 10 \ge 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{3t^2 - 10t + 3}{t} \ge 0$
Найдем корни числителя $3t^2 - 10t + 3 = 0$.
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.
$t_1 = \frac{10+8}{6} = 3$, $t_2 = \frac{10-8}{6} = \frac{1}{3}$.
Неравенство имеет вид $\frac{3(t-3)(t-1/3)}{t} \ge 0$.
Решим методом интервалов. Критические точки: 0, 1/3, 3.
При $t>3$: $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.
При $1/3<t<3$: $\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$.
При $0<t<1/3$: $\frac{(-)(-)}{(+)} > 0$.
При $t<0$: $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$.
Нам нужны интервалы, где выражение $\ge 0$. Это $0 < t \le \frac{1}{3}$ и $t \ge 3$.
Возвращаемся к $x$:
1) $0 < \lg x \le \frac{1}{3} \implies 10^0 < x \le 10^{1/3} \implies 1 < x \le \sqrt[3]{10}$.
2) $\lg x \ge 3 \implies x \ge 10^3 \implies x \ge 1000$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $(1; \sqrt[3]{10}] \cup [1000; +\infty)$.

52. Решите неравенство:

1) $\log_x (x^2 - 7x + 12) < 1;$

2) $\log_{2x+4} (x^2 + 1) \le 1.$

1) $\log_x(x^2 - 7x + 12) < 1$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для логарифма $\log_a b$ должны выполняться условия: $a > 0$, $a \ne 1$ и $b > 0$.

В нашем случае:

1. Основание: $x > 0$ и $x \ne 1$.
2. Аргумент: $x^2 - 7x + 12 > 0$.

Решим квадратное неравенство $x^2 - 7x + 12 > 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$. Так как ветви параболы $y = x^2 - 7x + 12$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 3) \cup (4, \infty)$.

Объединяя все условия ОДЗ ($x > 0$, $x \ne 1$, $x \in (-\infty, 3) \cup (4, \infty)$), получаем: $x \in (0, 1) \cup (1, 3) \cup (4, \infty)$.

Теперь решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $x$: $1 = \log_x(x)$. Неравенство примет вид:

$\log_x(x^2 - 7x + 12) < \log_x(x)$

Решение неравенства зависит от значения основания $x$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание $0 < x < 1$.

В этом случае логарифмическая функция является убывающей, поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 7x + 12 > x$

$x^2 - 8x + 12 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 12 = 0$. Корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$. Неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 2) \cup (6, \infty)$.

Найдем пересечение этого решения с условием случая ($0 < x < 1$): $(0, 1) \cap ((-\infty, 2) \cup (6, \infty)) = (0, 1)$.

Случай 2: Основание $x > 1$.

В этом случае логарифмическая функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 7x + 12 < x$

$x^2 - 8x + 12 < 0$

Корни уравнения $x^2 - 8x + 12 = 0$ равны 2 и 6. Неравенство выполняется при $x \in (2, 6)$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ для данного случая ($x \in (1, 3) \cup (4, \infty)$): $(2, 6) \cap ((1, 3) \cup (4, \infty)) = (2, 3) \cup (4, 6)$.

Объединяем решения из обоих случаев:

$x \in (0, 1) \cup (2, 3) \cup (4, 6)$.

Ответ: $x \in (0, 1) \cup (2, 3) \cup (4, 6)$.

2) $\log_{2x+4}(x^2 + 1) \le 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. Основание: $2x+4 > 0$ и $2x+4 \ne 1$.
2. Аргумент: $x^2 + 1 > 0$.

Из условия на основание получаем:

$2x > -4 \implies x > -2$

$2x \ne -3 \implies x \ne -1.5$

Неравенство $x^2 + 1 > 0$ выполняется для любого действительного числа $x$, так как $x^2 \ge 0$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-2, -1.5) \cup (-1.5, \infty)$.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма: $1 = \log_{2x+4}(2x+4)$. Неравенство примет вид:

$\log_{2x+4}(x^2 + 1) \le \log_{2x+4}(2x+4)$

Рассмотрим два случая в зависимости от значения основания.

Случай 1: Основание $0 < 2x+4 < 1$.

Это соответствует интервалу $-2 < x < -1.5$. Логарифмическая функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется:

$x^2 + 1 \ge 2x + 4$

$x^2 - 2x - 3 \ge 0$

Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.

Найдем пересечение этого решения с условием случая ($-2 < x < -1.5$): $(-2, -1.5) \cap ((-\infty, -1] \cup [3, \infty)) = (-2, -1.5)$.

Случай 2: Основание $2x+4 > 1$.

Это соответствует $x > -1.5$. Логарифмическая функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:

$x^2 + 1 \le 2x + 4$

$x^2 - 2x - 3 \le 0$

Корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Неравенство выполняется при $x \in [-1, 3]$.

Найдем пересечение этого решения с условием случая ($x > -1.5$): $[-1, 3] \cap (-1.5, \infty) = [-1, 3]$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ:

$x \in (-2, -1.5) \cup [-1, 3]$.

Ответ: $x \in (-2, -1.5) \cup [-1, 3]$.

53. При каких значениях $a$ число $-1$ является решением неравенства $\log_a(1-3x) < 4$?

Для того чтобы число $-1$ было решением неравенства $\log_a(1 - 3x) < 4$, необходимо, чтобы при подстановке $x = -1$ в это неравенство получилось верное числовое неравенство. Выполним подстановку:

$\log_a(1 - 3(-1)) < 4$

$\log_a(1 + 3) < 4$

$\log_a(4) < 4$

Теперь решим полученное неравенство относительно $a$. По определению логарифма, его основание $a$ должно удовлетворять условиям $a > 0$ и $a \ne 1$. Решение логарифмического неравенства зависит от величины основания, поэтому рассмотрим два случая.

Случай 1: $0 < a < 1$

В этом случае логарифмическая функция является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам (потенцировании) знак неравенства меняется на противоположный. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием $a$: $4 = 4 \cdot \log_a(a) = \log_a(a^4)$.

Неравенство $\log_a(4) < \log_a(a^4)$ равносильно неравенству:

$4 > a^4$

$a^4 < 4$

Решая это неравенство, получаем $a^2 < 2$. Поскольку в рассматриваемом случае $a > 0$, то $a < \sqrt{2}$.

Найдем пересечение полученного решения с условием данного случая: $\begin{cases} 0 < a < 1 \\ a < \sqrt{2} \end{cases}$. Учитывая, что $\sqrt{2} \approx 1.414$, решением для этого случая будет интервал $a \in (0, 1)$.

Случай 2: $a > 1$

В этом случае логарифмическая функция является возрастающей, поэтому при потенцировании знак неравенства сохраняется.

Неравенство $\log_a(4) < \log_a(a^4)$ равносильно неравенству:

$4 < a^4$

$a^4 > 4$

Решая это неравенство, получаем $a^2 > 2$. Поскольку в рассматриваемом случае $a > 1$, то $a > \sqrt{2}$.

Найдем пересечение полученного решения с условием данного случая: $\begin{cases} a > 1 \\ a > \sqrt{2} \end{cases}$. Решением для этого случая будет интервал $a \in (\sqrt{2}, +\infty)$.

Объединяя решения, полученные в обоих случаях, находим все значения $a$, при которых число $-1$ является решением исходного неравенства.

Ответ: $a \in (0, 1) \cup (\sqrt{2}, +\infty)$.

54. Найдите производную функции:

1) $y = e^{6x}$

2) $y = e^{x^3}$

3) $y = e^{4x-x^2}$

4) $y = 5^{-x}$

5) $y = 6^{2x-5}$

6) $y = 0.4^{\tan x}$

7) $y = 10 \cdot 7^{4-0.2x^2}$

8) $y = e^x(x^2 + 3x - 6)$

9) $y = 2^{-x} \sqrt{x}$

10) $y = 3\sqrt{x}(x-5)$

11) $y = \frac{5x - 4}{5x + 2}$

12) $y = e^{\cot 4x}$

1) Дана функция $y = e^{6x}$.
Это сложная функция вида $y = e^{u(x)}$, где $u(x) = 6x$.
Производная находится по правилу дифференцирования сложной функции: $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.
Находим производную внутренней функции: $u'(x) = (6x)' = 6$.
Подставляем в формулу: $y' = e^{6x} \cdot (6x)' = e^{6x} \cdot 6 = 6e^{6x}$.
Ответ: $y' = 6e^{6x}$

2) Дана функция $y = e^{x^3}$.
Это сложная функция вида $y = e^{u(x)}$, где $u(x) = x^3$.
Используем правило дифференцирования сложной функции: $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.
Производная внутренней функции: $u'(x) = (x^3)' = 3x^2$.
Следовательно, $y' = e^{x^3} \cdot (x^3)' = e^{x^3} \cdot 3x^2 = 3x^2e^{x^3}$.
Ответ: $y' = 3x^2e^{x^3}$

3) Дана функция $y = e^{4x-x^2}$.
Это сложная функция вида $y = e^{u(x)}$, где $u(x) = 4x-x^2$.
Применяем правило дифференцирования сложной функции: $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.
Находим производную показателя степени: $u'(x) = (4x-x^2)' = 4 - 2x$.
Получаем: $y' = e^{4x-x^2} \cdot (4x-x^2)' = e^{4x-x^2} \cdot (4 - 2x) = (4 - 2x)e^{4x-x^2}$.
Ответ: $y' = (4 - 2x)e^{4x-x^2}$

4) Дана функция $y = 5^{-x}$.
Это показательная функция вида $y = a^{u(x)}$, где $a=5$ и $u(x)=-x$.
Ее производная находится по формуле: $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \cdot \ln(a) \cdot u'(x)$.
Производная показателя: $u'(x) = (-x)' = -1$.
Тогда, $y' = 5^{-x} \cdot \ln(5) \cdot (-1) = -5^{-x}\ln(5)$.
Ответ: $y' = -5^{-x}\ln(5)$

5) Дана функция $y = 6^{2x-5}$.
Это показательная функция вида $y = a^{u(x)}$, где $a=6$ и $u(x)=2x-5$.
Используем формулу производной показательной функции: $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \cdot \ln(a) \cdot u'(x)$.
Производная показателя: $u'(x) = (2x-5)' = 2$.
Подставляя, получаем: $y' = 6^{2x-5} \cdot \ln(6) \cdot 2 = 2 \cdot 6^{2x-5}\ln(6)$.
Ответ: $y' = 2 \cdot 6^{2x-5}\ln(6)$

6) Дана функция $y = 0,4\tg x$.
Используем правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$ и формулу производной тангенса $(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.
$y' = (0,4\tg x)' = 0,4 \cdot (\tg x)' = 0,4 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{0,4}{\cos^2 x}$.
Ответ: $y' = \frac{0,4}{\cos^2 x}$

7) Дана функция $y = 10 \cdot 7^{4-0,2x^2}$. (Предполагая, что выражение в задании означает именно это).
Используем правило производной произведения константы на функцию и правило для показательной функции $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \cdot \ln(a) \cdot u'(x)$.
Здесь $a=7$, $u(x) = 4 - 0,2x^2$.
Производная показателя: $u'(x) = (4 - 0,2x^2)' = -0,2 \cdot 2x = -0,4x$.
$y' = 10 \cdot (7^{4-0,2x^2})' = 10 \cdot 7^{4-0,2x^2} \cdot \ln(7) \cdot (-0,4x) = -4x \cdot 7^{4-0,2x^2}\ln(7)$.
Ответ: $y' = -4x \cdot 7^{4-0,2x^2}\ln(7)$

8) Дана функция $y = e^x(x^2 + 3x - 6)$.
Применяем правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = e^x$ и $v(x) = x^2 + 3x - 6$.
Тогда $u'(x) = (e^x)' = e^x$ и $v'(x) = (x^2 + 3x - 6)' = 2x + 3$.
$y' = (e^x)'(x^2 + 3x - 6) + e^x(x^2 + 3x - 6)' = e^x(x^2 + 3x - 6) + e^x(2x + 3)$.
Вынесем $e^x$ за скобки: $y' = e^x(x^2 + 3x - 6 + 2x + 3) = e^x(x^2 + 5x - 3)$.
Ответ: $y' = e^x(x^2 + 5x - 3)$

9) Дана функция $y = 2^{-x}\sqrt{x}$.
Применяем правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = 2^{-x}$ и $v(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$.
Находим производные: $u'(x) = (2^{-x})' = 2^{-x}\ln(2) \cdot (-1) = -2^{-x}\ln(2)$.
$v'(x) = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$y' = (-2^{-x}\ln(2)) \cdot \sqrt{x} + 2^{-x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 2^{-x} \left( -\sqrt{x}\ln(2) + \frac{1}{2\sqrt{x}} \right)$.
Приведем к общему знаменателю: $y' = 2^{-x} \left( \frac{-2x\ln(2) + 1}{2\sqrt{x}} \right) = \frac{2^{-x}(1 - 2x\ln(2))}{2\sqrt{x}}$.
Ответ: $y' = \frac{2^{-x}(1 - 2x\ln(2))}{2\sqrt{x}}$

10) Дана функция $y = 3\sqrt[3]{x}(x-5)$.
Сначала упростим выражение: $y = 3x^{1/3}(x-5) = 3(x^{1/3} \cdot x - 5x^{1/3}) = 3(x^{4/3} - 5x^{1/3}) = 3x^{4/3} - 15x^{1/3}$.
Теперь находим производную, используя правило степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$.
$y' = (3x^{4/3})' - (15x^{1/3})' = 3 \cdot \frac{4}{3}x^{4/3-1} - 15 \cdot \frac{1}{3}x^{1/3-1} = 4x^{1/3} - 5x^{-2/3}$.
Можно записать ответ с корнями: $y' = 4\sqrt[3]{x} - \frac{5}{x^{2/3}} = 4\sqrt[3]{x} - \frac{5}{\sqrt[3]{x^2}}$.
Ответ: $y' = 4x^{1/3} - 5x^{-2/3}$

11) Дана функция $y = \frac{5x-4}{5^x+2}$.
Используем правило производной частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u(x) = 5x-4$ и $v(x) = 5^x+2$.
Находим производные: $u'(x) = 5$ и $v'(x) = (5^x)' + (2)' = 5^x\ln(5)$.
Подставляем в формулу: $y' = \frac{5(5^x+2) - (5x-4)5^x\ln(5)}{(5^x+2)^2}$.
Можно раскрыть скобки в числителе: $y' = \frac{5 \cdot 5^x + 10 - 5x \cdot 5^x\ln(5) + 4 \cdot 5^x\ln(5)}{(5^x+2)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{5(5^x+2) - (5x-4)5^x\ln(5)}{(5^x+2)^2}$

12) Дана функция $y = e^{\ctg(4x)}$.
Это сложная функция, применяем цепное правило дважды. $y=e^u, u=\ctg(v), v=4x$.
$y' = (e^{\ctg(4x)})' \cdot (\ctg(4x))' \cdot (4x)'$.
$(e^{\ctg(4x)})' = e^{\ctg(4x)}$.
$(\ctg(4x))' = -\frac{1}{\sin^2(4x)}$.
$(4x)'=4$.
Собираем все вместе: $y' = e^{\ctg(4x)} \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2(4x)}\right) \cdot 4 = -\frac{4e^{\ctg(4x)}}{\sin^2(4x)}$.
Ответ: $y' = -\frac{4e^{\ctg(4x)}}{\sin^2(4x)}$