Страница 10 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

38. Постройте график функции:

1) $y = \log_3 (x - 2)$;

2) $y = \log_3 x - 2$;

3) $y = -\log_3 x$;

4) $y = \log_3 (-x)$;

5) $y = \left|\log_{\frac{1}{3}} x\right|$;

6) $y = \log_{\frac{1}{3}} |x|$.

1) $y = \log_3(x - 2)$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \log_3 x$ с помощью параллельного переноса (сдвига) на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

Найдём основные характеристики функции.

Область определения: аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x - 2 > 0$, откуда $x > 2$. Таким образом, $D(y) = (2; +\infty)$.

Вертикальная асимптота: прямая $x = 2$.

Точка пересечения с осью Ox (когда $y=0$): $\log_3(x - 2) = 0 \Rightarrow x - 2 = 3^0 \Rightarrow x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3$. Точка пересечения — $(3, 0)$.

Для точности построения найдем еще одну точку. Например, при $x = 5$: $y = \log_3(5 - 2) = \log_3 3 = 1$. Точка на графике — $(5, 1)$.

Ответ: График функции $y = \log_3(x - 2)$ — это стандартная возрастающая логарифмическая кривая, сдвинутая на 2 единицы вправо. Вертикальная асимптота $x=2$. График проходит через точки $(3, 0)$ и $(5, 1)$.

2) $y = \log_3 x - 2$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \log_3 x$ с помощью параллельного переноса (сдвига) на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

Найдём основные характеристики функции.

Область определения: $x > 0$. Таким образом, $D(y) = (0; +\infty)$.

Вертикальная асимптота: прямая $x = 0$ (ось Oy).

Точка пересечения с осью Ox (когда $y=0$): $\log_3 x - 2 = 0 \Rightarrow \log_3 x = 2 \Rightarrow x = 3^2 = 9$. Точка пересечения — $(9, 0)$.

Для точности построения найдем еще одну точку. Например, при $x = 1$: $y = \log_3 1 - 2 = 0 - 2 = -2$. Точка на графике — $(1, -2)$. При $x=3$: $y = \log_3 3 - 2 = 1-2 = -1$. Точка на графике — $(3, -1)$.

Ответ: График функции $y = \log_3 x - 2$ — это стандартная возрастающая логарифмическая кривая, сдвинутая на 2 единицы вниз. Вертикальная асимптота $x=0$. График проходит через точки $(1, -2)$, $(3, -1)$ и $(9, 0)$.

3) $y = -\log_3 x$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \log_3 x$ с помощью симметричного отражения относительно оси Ox.

Найдём основные характеристики функции.

Область определения: $x > 0$. Таким образом, $D(y) = (0; +\infty)$.

Вертикальная асимптота: прямая $x = 0$ (ось Oy).

Точка пересечения с осью Ox (когда $y=0$): $-\log_3 x = 0 \Rightarrow \log_3 x = 0 \Rightarrow x = 3^0 = 1$. Точка пересечения — $(1, 0)$.

Так как исходная функция $y=\log_3 x$ возрастающая, то после отражения функция $y=-\log_3 x$ становится убывающей.

Контрольная точка: при $x=3$: $y = -\log_3 3 = -1$. Точка на графике — $(3, -1)$.

Ответ: График функции $y = -\log_3 x$ — это убывающая логарифмическая кривая, симметричная графику $y = \log_3 x$ относительно оси Ox. Вертикальная асимптота $x=0$. График проходит через точки $(1, 0)$ и $(3, -1)$.

4) $y = \log_3(-x)$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \log_3 x$ с помощью симметричного отражения относительно оси Oy.

Найдём основные характеристики функции.

Область определения: $-x > 0$, откуда $x < 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0)$.

Вертикальная асимптота: прямая $x = 0$ (ось Oy).

Точка пересечения с осью Ox (когда $y=0$): $\log_3(-x) = 0 \Rightarrow -x = 3^0 \Rightarrow -x = 1 \Rightarrow x = -1$. Точка пересечения — $(-1, 0)$.

Контрольная точка: при $x=-3$: $y = \log_3(-(-3)) = \log_3 3 = 1$. Точка на графике — $(-3, 1)$.

Ответ: График функции $y = \log_3(-x)$ — это возрастающая логарифмическая кривая, симметричная графику $y = \log_3 x$ относительно оси Oy. Вертикальная асимптота $x=0$. График проходит через точки $(-1, 0)$ и $(-3, 1)$ и расположен в левой полуплоскости.

5) $y = |\log_{\frac{1}{3}} x|$

Для построения этого графика сначала построим график функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$. Так как основание логарифма $1/3 < 1$, эта функция является убывающей. Затем применим преобразование модуля: часть графика, расположенную ниже оси Ox ($y<0$), симметрично отразим вверх относительно оси Ox. Часть графика, расположенная выше оси Ox ($y \ge 0$), останется без изменений.

Найдём основные характеристики функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$:

Область определения: $x > 0$.

Вертикальная асимптота: $x = 0$.

Точка пересечения с осью Ox: $x = 1$. Точка $(1,0)$.

Значения: $y > 0$ при $0 < x < 1$; $y < 0$ при $x > 1$.

Применяя модуль, получаем график $y = |\log_{\frac{1}{3}} x|$:

Область определения: $D(y) = (0; +\infty)$.

Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.

Точка пересечения (касания) с осью Ox: $(1, 0)$. В этой точке график имеет излом.

Контрольные точки: при $x = 1/3, y = |\log_{\frac{1}{3}}(1/3)| = |1| = 1$. Точка $(1/3, 1)$. При $x = 3, y = |\log_{\frac{1}{3}} 3| = |-1| = 1$. Точка $(3, 1)$.

Ответ: График состоит из двух частей, сходящихся в точке $(1,0)$. На интервале $(0, 1)$ он совпадает с графиком убывающей функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$. На интервале $(1, +\infty)$ он является отражением графика $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ относительно оси Ox и представляет собой возрастающую кривую.

6) $y = \log_{\frac{1}{3}}|x|$

Для построения этого графика сначала построим график функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ для $x > 0$. Затем, так как функция $y = \log_{\frac{1}{3}}|x|$ является чётной ($f(-x) = \log_{\frac{1}{3}}|-x| = \log_{\frac{1}{3}}|x| = f(x)$), ее график симметричен относительно оси Oy. Поэтому мы отражаем построенную для $x>0$ часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить часть графика для $x<0$.

Найдём основные характеристики функции.

Область определения: $|x| > 0$, что означает $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Вертикальная асимптота: прямая $x = 0$ (ось Oy).

Точки пересечения с осью Ox (когда $y=0$): $\log_{\frac{1}{3}}|x| = 0 \Rightarrow |x| = (1/3)^0 \Rightarrow |x| = 1 \Rightarrow x = 1$ или $x = -1$. Точки пересечения — $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

Контрольные точки: для $x>0$ имеем $(1/3, 1)$ и $(3, -1)$. В силу симметрии для $x<0$ имеем точки $(-1/3, 1)$ и $(-3, -1)$.

Ответ: График функции состоит из двух симметричных относительно оси Oy ветвей. Правая ветвь ($x>0$) совпадает с графиком $y = \log_{\frac{1}{3}} x$. Левая ветвь ($x<0$) является ее зеркальным отражением. Вертикальная асимптота $x=0$. График пересекает ось Ox в точках $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

39. Решите уравнение:

1) $\log_3(2x - 5) = 3;$

2) $\log_{0,2}(x + 4) = -2;$

3) $\log_{\frac{1}{27}}(x^2 - 8x) = -\frac{2}{3};$

4) $\log_7 \log_3 \log_2 x = 0;$

5) $\log_2(9 - 2^x) = 3 - x;$

6) $\log_{x-2}(4x^2 - 14x + 7) = 2.$

1) $ \log_3(2x - 5) = 3 $

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$ 2x - 5 > 0 $
$ 2x > 5 $
$ x > 2.5 $

Решим уравнение, используя основное логарифмическое тождество $ \log_a b = c \iff a^c = b $.
$ 2x - 5 = 3^3 $
$ 2x - 5 = 27 $
$ 2x = 32 $
$ x = 16 $

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию ОДЗ: $ 16 > 2.5 $. Корень подходит.

Ответ: $ 16 $

2) $ \log_{0.2}(x + 4) = -2 $

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть больше нуля.
$ x + 4 > 0 $
$ x > -4 $

Решаем уравнение по определению логарифма. Заметим, что $ 0.2 = \frac{1}{5} $.
$ x + 4 = (0.2)^{-2} $
$ x + 4 = \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} $
$ x + 4 = 5^2 $
$ x + 4 = 25 $
$ x = 21 $

Проверка ОДЗ: $ 21 > -4 $. Корень удовлетворяет условию.

Ответ: $ 21 $

3) $ \log_{\frac{1}{27}}(x^2 - 8x) = -\frac{2}{3} $

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть строго положительным.
$ x^2 - 8x > 0 $
$ x(x - 8) > 0 $
Решением этого неравенства является объединение интервалов $ (-\infty; 0) \cup (8; +\infty) $.

Решаем уравнение. Основание логарифма $ \frac{1}{27} = 3^{-3} $.
$ x^2 - 8x = \left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{2}{3}} $
$ x^2 - 8x = (27)^{\frac{2}{3}} $
$ x^2 - 8x = (3^3)^{\frac{2}{3}} $
$ x^2 - 8x = 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} $
$ x^2 - 8x = 3^2 $
$ x^2 - 8x = 9 $
$ x^2 - 8x - 9 = 0 $
По теореме Виета, корни уравнения: $ x_1 = 9 $, $ x_2 = -1 $.

Проверяем корни по ОДЗ.
$ x_1 = 9 $: $ 9 \in (8; +\infty) $, корень подходит.
$ x_2 = -1 $: $ -1 \in (-\infty; 0) $, корень подходит.

Ответ: $ -1; 9 $

4) $ \log_7\log_3\log_2 x = 0 $

Найдем ОДЗ. Для вложенных логарифмов необходимо, чтобы каждый аргумент был положителен.
1) $ x > 0 $
2) $ \log_2 x > 0 \implies \log_2 x > \log_2 1 \implies x > 1 $
3) $ \log_3(\log_2 x) > 0 \implies \log_3(\log_2 x) > \log_3 1 \implies \log_2 x > 1 \implies x > 2 $
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $ x > 2 $.

Решаем уравнение, последовательно избавляясь от логарифмов, начиная с внешнего.
$ \log_7(\log_3\log_2 x) = 0 $
$ \log_3\log_2 x = 7^0 $
$ \log_3\log_2 x = 1 $
$ \log_2 x = 3^1 $
$ \log_2 x = 3 $
$ x = 2^3 $
$ x = 8 $

Проверка ОДЗ: $ 8 > 2 $. Корень подходит.

Ответ: $ 8 $

5) $ \log_2(9 - 2^x) = 3 - x $

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положителен.
$ 9 - 2^x > 0 $
$ 9 > 2^x $
$ \log_2 9 > \log_2(2^x) $
$ x < \log_2 9 $ (Так как $ \log_2 8 = 3 $, то $ \log_2 9 \approx 3.17 $)

Решаем уравнение по определению логарифма.
$ 9 - 2^x = 2^{3-x} $
$ 9 - 2^x = \frac{2^3}{2^x} $
$ 9 - 2^x = \frac{8}{2^x} $
Сделаем замену $ t = 2^x $, где $ t > 0 $.
$ 9 - t = \frac{8}{t} $
Умножим обе части на $ t $ (т.к. $ t \neq 0 $):
$ 9t - t^2 = 8 $
$ t^2 - 9t + 8 = 0 $
По теореме Виета, корни $ t_1 = 1 $, $ t_2 = 8 $. Оба корня положительны.
Возвращаемся к замене:
1) $ 2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x_1 = 0 $
2) $ 2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x_2 = 3 $

Проверяем корни по ОДЗ: $ x < \log_2 9 $.
$ x_1 = 0 $: $ 0 < \log_2 9 $, корень подходит.
$ x_2 = 3 $: $ 3 = \log_2 8 < \log_2 9 $, корень подходит.

Ответ: $ 0; 3 $

6) $ \log_{x-2}(4x^2 - 14x + 7) = 2 $

ОДЗ для логарифма с переменным основанием:
1) Аргумент должен быть положителен: $ 4x^2 - 14x + 7 > 0 $. Корни квадратного трехчлена $ x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 112}}{8} = \frac{14 \pm \sqrt{84}}{8} = \frac{7 \pm \sqrt{21}}{4} $. Неравенство выполняется при $ x \in (-\infty; \frac{7 - \sqrt{21}}{4}) \cup (\frac{7 + \sqrt{21}}{4}; +\infty) $.
2) Основание должно быть положительно: $ x - 2 > 0 \implies x > 2 $.
3) Основание не должно быть равно единице: $ x - 2 \neq 1 \implies x \neq 3 $.
Объединяя условия, получаем: $ x \in (\frac{7 + \sqrt{21}}{4}; 3) \cup (3; +\infty) $, так как $ 2 < \frac{7 + \sqrt{21}}{4} < 3 $.

Решаем уравнение по определению логарифма.
$ 4x^2 - 14x + 7 = (x-2)^2 $
$ 4x^2 - 14x + 7 = x^2 - 4x + 4 $
$ 3x^2 - 10x + 3 = 0 $
Находим корни квадратного уравнения:
$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2 $
$ x_1 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $
$ x_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3 $

Проверяем найденные корни на соответствие ОДЗ.
$ x_1 = \frac{1}{3} $. Этот корень не удовлетворяет условию $ x > 2 $.
$ x_2 = 3 $. Этот корень не удовлетворяет условию $ x \neq 3 $.
Оба найденных значения не входят в область допустимых значений, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет

40. Решите уравнение:

1) $\log_{12}(5x - 6) = \log_{12}(x + 2);$

2) $\log_{0,6}(3x - 4) = \log_{0,6}(2x - 3);$

3) $\log_{8}(x^2 - 7x + 4) = \log_{8}(x - 3);$

4) $2\log_{5}(-x) = \log_{5}(6x + 16).$

1) $ \log_{12}(5x - 6) = \log_{12}(x + 2) $

Данное логарифмическое уравнение эквивалентно системе:

$ \begin{cases} 5x - 6 = x + 2 \\ 5x - 6 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:

$ 5x - x = 2 + 6 $

$ 4x = 8 $

$ x = 2 $

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $ x=2 $ условиям (области допустимых значений):

$ 5(2) - 6 = 10 - 6 = 4 > 0 $

$ 2 + 2 = 4 > 0 $

Оба условия выполняются, следовательно, $ x=2 $ является корнем уравнения.

Ответ: 2

2) $ \log_{0,6}(3x - 4) = \log_{0,6}(2x - 3) $

Приравняем выражения под знаками логарифмов, учитывая область допустимых значений (ОДЗ), где оба выражения строго больше нуля.

$ \begin{cases} 3x - 4 = 2x - 3 \\ 3x - 4 > 0 \\ 2x - 3 > 0 \end{cases} $

Решим уравнение:

$ 3x - 2x = 4 - 3 $

$ x = 1 $

Теперь проверим выполнение условий ОДЗ для $ x=1 $:

$ 3(1) - 4 = 3 - 4 = -1 $. Условие $ -1 > 0 $ не выполняется.

Так как найденный корень не входит в область допустимых значений, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет

3) $ \log_{8}(x^2 - 7x + 4) = \log_{8}(x - 3) $

Уравнение равносильно системе, в которой выражения под логарифмами равны и положительны:

$ \begin{cases} x^2 - 7x + 4 = x - 3 \\ x - 3 > 0 \end{cases} $

Достаточно проверить только одно условие $ x - 3 > 0 $, так как из равенства будет следовать, что и второе выражение $ x^2 - 7x + 4 $ также будет положительным.

Решим уравнение:

$ x^2 - 7x - x + 4 + 3 = 0 $

$ x^2 - 8x + 7 = 0 $

По теореме Виета находим корни:

$ x_1 = 1 $, $ x_2 = 7 $

Проверим найденные корни на соответствие условию ОДЗ $ x > 3 $:

Для $ x_1 = 1 $: $ 1 > 3 $ (неверно). Этот корень является посторонним.

Для $ x_2 = 7 $: $ 7 > 3 $ (верно). Этот корень подходит.

Ответ: 7

4) $ 2\log_{5}(-x) = \log_{5}(6x + 16) $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительны:

$ \begin{cases} -x > 0 \\ 6x + 16 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 0 \\ 6x > -16 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 0 \\ x > -\frac{16}{6} \end{cases} \implies -\frac{8}{3} < x < 0 $

Теперь преобразуем левую часть уравнения, используя свойство логарифма $ n \log_a b = \log_a b^n $:

$ \log_{5}((-x)^2) = \log_{5}(6x + 16) $

$ \log_{5}(x^2) = \log_{5}(6x + 16) $

Приравняем выражения под знаками логарифмов:

$ x^2 = 6x + 16 $

$ x^2 - 6x - 16 = 0 $

Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 $

$ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 10}{2} = -2 $

$ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 10}{2} = 8 $

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($ -\frac{8}{3} < x < 0 $):

Корень $ x_1 = -2 $ удовлетворяет условию, так как $ -\frac{8}{3} \approx -2.67 $, и $ -2.67 < -2 < 0 $.

Корень $ x_2 = 8 $ не удовлетворяет условию $ x < 0 $, поэтому является посторонним.

Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: -2

41. Решите уравнение:

1) $\log_3(x + 1) + \log_3(x + 3) = 1$;

2) $\log_4(x - 2) = 1 - \log_4(x + 1)$;

3) $\log_5(x + 3) - \log_5(1 - x) = \log_5(2x + 3)$;

4) $\log_2(4 \cdot 3^x - 6) - \log_2(9^x - 6) = 1$;

5) $2\log_4(4 - x) = 4 - \log_2(-2 - x)$;

6) $1 - \lg 5 = \lg(x - 3) - \frac{1}{2}\lg(3x - 2)$;

7) $2\log_7(x - 2) = \log_7(x - 10)^2 - 2$.

1) $log_3(x + 1) + log_3(x + 3) = 1$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x > -3 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > -1$.

Используем свойство суммы логарифмов $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$:

$log_3((x + 1)(x + 3)) = 1$

По определению логарифма ($log_a(b) = c \iff a^c = b$):

$(x + 1)(x + 3) = 3^1$

$x^2 + 3x + x + 3 = 3$

$x^2 + 4x = 0$

$x(x + 4) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -4$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > -1$):

• $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $0 > -1$.
• $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию $-4 > -1$. Это посторонний корень.

Ответ: $0$

2) $log_4(x - 2) = 1 - log_4(x + 1)$

Перенесем логарифм в левую часть:

$log_4(x - 2) + log_4(x + 1) = 1$

ОДЗ:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > -1 \end{cases}$

Пересечение: $x > 2$.

Применяем свойство суммы логарифмов:

$log_4((x - 2)(x + 1)) = 1$

По определению логарифма:

$(x - 2)(x + 1) = 4^1$

$x^2 + x - 2x - 2 = 4$

$x^2 - x - 6 = 0$

Решаем квадратное уравнение по теореме Виета:

$x_1 = 3$, $x_2 = -2$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 2$):

• $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 > 2$.
• $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 > 2$. Это посторонний корень.

Ответ: $3$

3) $log_5(x + 3) - log_5(1 - x) = log_5(2x + 3)$

ОДЗ:

$\begin{cases} x + 3 > 0 \\ 1 - x > 0 \\ 2x + 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -3 \\ x < 1 \\ x > -1.5 \end{cases}$

Пересечение: $-1.5 < x < 1$.

Используем свойство разности логарифмов $log_a(b) - log_a(c) = log_a(b/c)$:

$log_5(\frac{x + 3}{1 - x}) = log_5(2x + 3)$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$\frac{x + 3}{1 - x} = 2x + 3$

$x + 3 = (2x + 3)(1 - x)$

$x + 3 = 2x - 2x^2 + 3 - 3x$

$x + 3 = -2x^2 - x + 3$

$2x^2 + 2x = 0$

$2x(x + 1) = 0$

Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($-1.5 < x < 1$):

• $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $-1.5 < 0 < 1$.
• $x_2 = -1$ удовлетворяет условию $-1.5 < -1 < 1$.

Оба корня подходят.

Ответ: $-1; 0$

4) $log_2(4 \cdot 3^x - 6) - log_2(9^x - 6) = 1$

ОДЗ:

$\begin{cases} 4 \cdot 3^x - 6 > 0 \\ 9^x - 6 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3^x > 1.5 \\ (3^x)^2 > 6 \end{cases} \implies \begin{cases} 3^x > 1.5 \\ 3^x > \sqrt{6} \end{cases}$

Так как $\sqrt{6} \approx 2.45$, а $2.45 > 1.5$, то ОДЗ: $3^x > \sqrt{6}$.

Используем свойство разности логарифмов:

$log_2(\frac{4 \cdot 3^x - 6}{9^x - 6}) = 1$

По определению логарифма:

$\frac{4 \cdot 3^x - 6}{9^x - 6} = 2^1$

$4 \cdot 3^x - 6 = 2(9^x - 6)$

Сделаем замену $y = 3^x$ (где $y > 0$):

$4y - 6 = 2(y^2 - 6)$

$4y - 6 = 2y^2 - 12$

$2y^2 - 4y - 6 = 0$

$y^2 - 2y - 3 = 0$

По теореме Виета: $y_1 = 3$, $y_2 = -1$.

Корень $y_2 = -1$ не подходит, так как $y = 3^x > 0$.

Возвращаемся к замене: $3^x = 3 \implies x = 1$.

Проверяем корень на соответствие ОДЗ ($3^x > \sqrt{6}$):

$3^1 > \sqrt{6} \implies 3 > \sqrt{6} \implies 9 > 6$. Верно.

Ответ: $1$

5) $2log_4(4 - x) = 4 - log_2(-2 - x)$

ОДЗ:

$\begin{cases} 4 - x > 0 \\ -2 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 4 \\ x < -2 \end{cases}$

Пересечение: $x < -2$.

Приведем логарифмы к одному основанию 2, используя формулу $log_{a^k}(b) = \frac{1}{k}log_a(b)$:

$2log_{2^2}(4 - x) = 4 - log_2(-2 - x)$

$2 \cdot \frac{1}{2}log_2(4 - x) = 4 - log_2(-2 - x)$

$log_2(4 - x) + log_2(-2 - x) = 4$

Применяем свойство суммы логарифмов:

$log_2((4 - x)(-2 - x)) = 4$

По определению логарифма:

$(4 - x)(-2 - x) = 2^4$

$-8 - 4x + 2x + x^2 = 16$

$x^2 - 2x - 24 = 0$

По теореме Виета: $x_1 = 6$, $x_2 = -4$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x < -2$):

• $x_1 = 6$ не удовлетворяет условию $6 < -2$.
• $x_2 = -4$ удовлетворяет условию $-4 < -2$.

Ответ: $-4$

6) $1 - lg(5) = lg(x - 3) - \frac{1}{2}lg(3x - 2)$

ОДЗ:

$\begin{cases} x - 3 > 0 \\ 3x - 2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ x > 2/3 \end{cases}$

Пересечение: $x > 3$.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов ($1 = lg(10)$, $lg(a) - lg(b) = lg(a/b)$, $n \cdot lg(a) = lg(a^n)$):

$lg(10) - lg(5) = lg(x - 3) - lg(\sqrt{3x - 2})$

$lg(\frac{10}{5}) = lg(\frac{x - 3}{\sqrt{3x - 2}})$

$lg(2) = lg(\frac{x - 3}{\sqrt{3x - 2}})$

Приравниваем аргументы:

$2 = \frac{x - 3}{\sqrt{3x - 2}}$

$2\sqrt{3x - 2} = x - 3$

Возводим обе части в квадрат. Отметим, что правая часть $x-3$ должна быть неотрицательной, что уже учтено в ОДЗ ($x>3$).

$4(3x - 2) = (x - 3)^2$

$12x - 8 = x^2 - 6x + 9$

$x^2 - 18x + 17 = 0$

По теореме Виета: $x_1 = 17$, $x_2 = 1$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 3$):

• $x_1 = 17$ удовлетворяет условию $17 > 3$.
• $x_2 = 1$ не удовлетворяет условию $1 > 3$.

Ответ: $17$

7) $2log_7(x - 2) = log_7(x - 10)^2 - 2$

ОДЗ:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ (x - 10)^2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x \ne 10 \end{cases}$

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов ($n \cdot log_a(b) = log_a(b^n)$, $k = log_a(a^k)$):

$log_7((x - 2)^2) = log_7((x - 10)^2) - log_7(7^2)$

$log_7((x - 2)^2) = log_7(\frac{(x - 10)^2}{49})$

Приравниваем аргументы:

$(x - 2)^2 = \frac{(x - 10)^2}{49}$

$49(x - 2)^2 = (x - 10)^2$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$7|x - 2| = |x - 10|$

Согласно ОДЗ $x > 2$, поэтому $x-2 > 0$ и $|x - 2| = x - 2$.

$7(x - 2) = |x - 10|$

Рассмотрим два случая:

1. Если $x - 10 \ge 0$, то есть $x \ge 10$ (что соответствует ОДЗ):

$7(x - 2) = x - 10$

$7x - 14 = x - 10$

$6x = 4 \implies x = 4/6 = 2/3$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge 10$.

2. Если $x - 10 < 0$, то есть $2 < x < 10$ (что соответствует ОДЗ):

$7(x - 2) = -(x - 10)$

$7x - 14 = -x + 10$

$8x = 24 \implies x = 3$. Этот корень удовлетворяет условию $2 < x < 10$.

Ответ: $3$