Страница 15 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

62. Найдите абсциссу точки графика функции $f(x) = \ln(1 - 2x)$, в которой касательная к нему наклонена к оси абсцисс под углом $\alpha = 135^{\circ}$.

Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$. Также угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс: $k = \tan(\alpha)$.

По условию задачи, угол наклона касательной $\alpha = 135^{\circ}$. Найдем угловой коэффициент:
$k = \tan(135^{\circ}) = \tan(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\tan(45^{\circ}) = -1$.

Теперь найдем производную функции $f(x) = \ln(1 - 2x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (\ln(1 - 2x))' = \frac{1}{1 - 2x} \cdot (1 - 2x)' = \frac{1}{1 - 2x} \cdot (-2) = \frac{-2}{1 - 2x}$.

Чтобы найти абсциссу точки касания, приравняем производную к найденному угловому коэффициенту:
$f'(x) = k$
$\frac{-2}{1 - 2x} = -1$

Решим это уравнение относительно $x$:
$2 = 1 \cdot (1 - 2x)$
$2 = 1 - 2x$
$2x = 1 - 2$
$2x = -1$
$x = -0.5$

Проверим, принадлежит ли найденное значение области определения функции $f(x) = \ln(1 - 2x)$. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$1 - 2x > 0$
$1 > 2x$
$x < 0.5$
Значение $x = -0.5$ удовлетворяет условию $x < 0.5$, следовательно, является решением.

Ответ: -0.5

63. Найдите уравнение касательной к графику функции:

1) $f(x) = \frac{1}{2}e^{2x}$, которая параллельна прямой $y = e^{2x} - 10$;

2) $f(x) = e^{3x-2}$, которая параллельна прямой $y = 3x + 17$.

1)

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

По условию, касательная должна быть параллельна прямой $y = e^2x - 10$. Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент данной прямой равен $k = e^2$.

Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, т.е. $f'(x_0)$. Таким образом, мы должны найти $x_0$, для которого выполняется условие $f'(x_0) = e^2$.

Сначала найдем производную функции $f(x) = \frac{1}{2}e^{2x}$:

$f'(x) = (\frac{1}{2}e^{2x})' = \frac{1}{2} \cdot e^{2x} \cdot (2x)' = \frac{1}{2} \cdot e^{2x} \cdot 2 = e^{2x}$.

Теперь приравняем производную к заданному угловому коэффициенту, чтобы найти $x_0$:

$f'(x_0) = e^{2x_0} = e^2$.

Из этого уравнения следует, что $2x_0 = 2$, откуда $x_0 = 1$.

Теперь, когда мы знаем абсциссу точки касания, найдем ее ординату $y_0 = f(x_0)$:

$y_0 = f(1) = \frac{1}{2}e^{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}e^2$.

Итак, у нас есть точка касания $(1; \frac{1}{2}e^2)$ и угловой коэффициент $k = e^2$. Подставим эти значения в уравнение касательной:

$y = \frac{1}{2}e^2 + e^2(x - 1)$

$y = \frac{1}{2}e^2 + e^2x - e^2$

$y = e^2x - \frac{1}{2}e^2$.

Ответ: $y = e^2x - \frac{1}{2}e^2$.

2)

Дана функция $f(x) = e^{3x-2}$. Касательная к ее графику должна быть параллельна прямой $y = 3x + 17$.

Угловой коэффициент прямой $y = 3x + 17$ равен $k = 3$. Следовательно, угловой коэффициент искомой касательной также должен быть равен 3.

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания $x_0$. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (e^{3x-2})' = e^{3x-2} \cdot (3x-2)' = 3e^{3x-2}$.

Приравняем производную к 3, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:

$f'(x_0) = 3e^{3x_0-2} = 3$

$e^{3x_0-2} = 1$.

Поскольку $e^0 = 1$, показатель степени должен быть равен нулю:

$3x_0 - 2 = 0$

$3x_0 = 2$

$x_0 = \frac{2}{3}$.

Найдем ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$:

$y_0 = f(\frac{2}{3}) = e^{3 \cdot \frac{2}{3} - 2} = e^{2-2} = e^0 = 1$.

Теперь у нас есть точка касания $(\frac{2}{3}; 1)$ и угловой коэффициент $k = 3$. Подставим эти данные в уравнение касательной $y = y_0 + k(x - x_0)$:

$y = 1 + 3(x - \frac{2}{3})$

$y = 1 + 3x - 3 \cdot \frac{2}{3}$

$y = 1 + 3x - 2$

$y = 3x - 1$.

Ответ: $y = 3x - 1$.

64. Найдите уравнение горизонтальной касательной к графику функции $f(x) = (3x + 6)(3x - 60)$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Горизонтальная касательная — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox), ее угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания. Следовательно, чтобы найти точку, в которой касательная горизонтальна, нужно найти значение $x$, при котором производная функции обращается в ноль: $f'(x) = 0$.

1. Найдем производную функции $f(x)$.

Данная функция: $f(x) = (3^x + 6)(3^x - 60)$.

Для упрощения вычислений раскроем скобки, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-c) = a^2 + (b-c)a - bc$ или просто перемножив. Пусть $t = 3^x$.

$f(x) = (t + 6)(t - 60) = t^2 - 60t + 6t - 360 = t^2 - 54t - 360$.

Подставим $3^x$ обратно вместо $t$:

$f(x) = (3^x)^2 - 54 \cdot 3^x - 360 = 3^{2x} - 54 \cdot 3^x - 360$.

Теперь найдем производную этой функции. Вспомним, что производная показательной функции $(a^u)' = a^u \ln(a) \cdot u'$.

$f'(x) = (3^{2x})' - (54 \cdot 3^x)' - (360)'$

$f'(x) = 3^{2x} \cdot \ln(3) \cdot (2x)' - 54 \cdot 3^x \cdot \ln(3) - 0$

$f'(x) = 2 \cdot 3^{2x} \ln(3) - 54 \cdot 3^x \ln(3)$

2. Найдем абсциссу точки касания.

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$2 \cdot 3^{2x} \ln(3) - 54 \cdot 3^x \ln(3) = 0$

Вынесем общий множитель $2 \cdot 3^x \ln(3)$ за скобки:

$2 \cdot 3^x \ln(3) (3^x - 27) = 0$

Так как $2 \neq 0$, $3^x > 0$ для любого $x$, и $\ln(3) \neq 0$, то равенство выполняется только тогда, когда выражение в скобках равно нулю:

$3^x - 27 = 0$

$3^x = 27$

$3^x = 3^3$

$x = 3$

Таким образом, касательная к графику функции горизонтальна в точке с абсциссой $x_0 = 3$.

3. Найдем ординату точки касания.

Уравнение горизонтальной касательной имеет вид $y = c$, где $c$ — это значение функции в точке касания. Найдем $f(3)$:

$f(3) = (3^3 + 6)(3^3 - 60)$

$f(3) = (27 + 6)(27 - 60)$

$f(3) = (33)(-33)$

$f(3) = -1089$

Следовательно, точка касания имеет координаты $(3, -1089)$.

4. Запишем уравнение касательной.

Так как касательная является горизонтальной прямой, проходящей через точку с ординатой $-1089$, ее уравнение будет $y = -1089$.

Ответ: $y = -1089$

65. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = e^{2x} - 2xe;$

2) $f(x) = e^{12x-x^2+4};$

3) $f(x) = e^{x^3};$

4) $f(x) = (2x - 1)e^{4x};$

5) $f(x) = (9 - x)e^{9-x};$

6) $f(x) = xe^{-\frac{x}{3}};$

7) $f(x) = (x^2 - x - 5)e^{x+4};$

8) $f(x) = \frac{e^x}{x - 1};$

9) $f(x) = 1 - x\ln x;$

10) $f(x) = x^4\ln x;$

11) $f(x) = x^3 \log_3 x;$

12) $f(x) = \frac{x}{\ln^2 x}.$

1) $f(x) = e^{2x} - 2xe$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции: $f'(x) = (e^{2x} - 2xe)' = (e^{2x})' - (2ex)' = 2e^{2x} - 2e$.

3. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:
$2e^{2x} - 2e = 0$
$e^{2x} = e$
$2x = 1$
$x = 1/2$.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые критическая точка делит область определения: $(-\infty; 1/2)$ и $(1/2; +\infty)$.
При $x < 1/2$, например $x=0$, имеем $f'(0) = 2e^0 - 2e = 2 - 2e < 0$, значит, функция убывает.
При $x > 1/2$, например $x=1$, имеем $f'(1) = 2e^2 - 2e = 2e(e-1) > 0$, значит, функция возрастает.

5. В точке $x = 1/2$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1/2; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 1/2]$. Точка минимума: $x_{min} = 1/2$.

2) $f(x) = e^{12x-x^2+4}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (e^{12x-x^2+4})' = e^{12x-x^2+4} \cdot (12x-x^2+4)' = (12-2x)e^{12x-x^2+4}$.

3. Найдём критические точки. Так как $e^{12x-x^2+4} > 0$ для любого $x$, то знак производной зависит только от множителя $(12-2x)$.
$12-2x = 0$
$2x = 12$
$x = 6$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 6)$ и $(6; +\infty)$.
При $x < 6$, $12-2x > 0$, значит $f'(x) > 0$ и функция возрастает.
При $x > 6$, $12-2x < 0$, значит $f'(x) < 0$ и функция убывает.

5. В точке $x = 6$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 6]$, убывает на промежутке $[6; +\infty)$. Точка максимума: $x_{max} = 6$.

3) $f(x) = e^{x^3}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции: $f'(x) = (e^{x^3})' = e^{x^3} \cdot (x^3)' = 3x^2e^{x^3}$.

3. Найдём критические точки: $3x^2e^{x^3} = 0$. Так как $e^{x^3} > 0$, то $3x^2 = 0$, откуда $x=0$.

4. Определим знаки производной. Так как $e^{x^3} > 0$ и $3x^2 \ge 0$ для всех $x$, то $f'(x) \ge 0$ на всей области определения. Производная равна нулю только в точке $x=0$. Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой.

5. Поскольку производная не меняет знак, точек экстремума у функции нет.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, точек экстремума нет.

4) $f(x) = (2x-1)e^{4x}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную, используя правило произведения: $f'(x) = (2x-1)'e^{4x} + (2x-1)(e^{4x})' = 2e^{4x} + (2x-1) \cdot 4e^{4x} = e^{4x}(2 + 8x - 4) = (8x-2)e^{4x}$.

3. Найдём критические точки: $(8x-2)e^{4x} = 0$. Так как $e^{4x} > 0$, то $8x-2=0$, откуда $x = 2/8 = 1/4$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 1/4)$ и $(1/4; +\infty)$.
При $x < 1/4$, $8x-2 < 0$, значит $f'(x) < 0$ и функция убывает.
При $x > 1/4$, $8x-2 > 0$, значит $f'(x) > 0$ и функция возрастает.

5. В точке $x = 1/4$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1/4; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 1/4]$. Точка минимума: $x_{min} = 1/4$.

5) $f(x) = (9-x)e^{9-x}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную: $f'(x) = (9-x)'e^{9-x} + (9-x)(e^{9-x})' = -1 \cdot e^{9-x} + (9-x) \cdot e^{9-x} \cdot (-1) = e^{9-x}(-1 - (9-x)) = e^{9-x}(x-10)$.

3. Найдём критические точки: $e^{9-x}(x-10) = 0$. Так как $e^{9-x} > 0$, то $x-10=0$, откуда $x = 10$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 10)$ и $(10; +\infty)$.
При $x < 10$, $x-10 < 0$, значит $f'(x) < 0$ и функция убывает.
При $x > 10$, $x-10 > 0$, значит $f'(x) > 0$ и функция возрастает.

5. В точке $x = 10$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[10; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 10]$. Точка минимума: $x_{min} = 10$.

6) $f(x) = xe^{-x/3}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную: $f'(x) = (x)'e^{-x/3} + x(e^{-x/3})' = 1 \cdot e^{-x/3} + x \cdot e^{-x/3} \cdot (-1/3) = e^{-x/3}(1 - x/3)$.

3. Найдём критические точки: $e^{-x/3}(1 - x/3) = 0$. Так как $e^{-x/3} > 0$, то $1 - x/3 = 0$, откуда $x = 3$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$.
При $x < 3$, $1 - x/3 > 0$, значит $f'(x) > 0$ и функция возрастает.
При $x > 3$, $1 - x/3 < 0$, значит $f'(x) < 0$ и функция убывает.

5. В точке $x = 3$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 3]$, убывает на промежутке $[3; +\infty)$. Точка максимума: $x_{max} = 3$.

7) $f(x) = (x^2-x-5)e^{x+4}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную: $f'(x) = (x^2-x-5)'e^{x+4} + (x^2-x-5)(e^{x+4})' = (2x-1)e^{x+4} + (x^2-x-5)e^{x+4} = e^{x+4}(2x-1+x^2-x-5) = e^{x+4}(x^2+x-6)$.

3. Найдём критические точки: $e^{x+4}(x^2+x-6) = 0$. Так как $e^{x+4} > 0$, то $x^2+x-6=0$. Решая квадратное уравнение (например, по теореме Виета), находим корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; 2)$ и $(2; +\infty)$. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком квадратного трёхчлена $x^2+x-6$ (парабола с ветвями вверх).
При $x \in (-\infty; -3)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
При $x \in (-3; 2)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
При $x \in (2; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x = -3$ производная меняет знак с "+" на "-", это точка максимума. В точке $x = 2$ производная меняет знак с "-" на "+", это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[2; +\infty)$, убывает на промежутке $[-3; 2]$. Точка максимума: $x_{max} = -3$, точка минимума: $x_{min} = 2$.

8) $f(x) = \frac{e^x}{x-1}$

1. Область определения функции: знаменатель не равен нулю, $x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$. $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Найдём производную по правилу частного: $f'(x) = \frac{(e^x)'(x-1) - e^x(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{e^x(x-1) - e^x \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{e^x(x-1-1)}{(x-1)^2} = \frac{e^x(x-2)}{(x-1)^2}$.

3. Найдём критические точки: $f'(x)=0 \Rightarrow e^x(x-2) = 0$. Так как $e^x > 0$, то $x-2=0$, откуда $x=2$. Производная не определена в точке $x=1$, которая не входит в область определения функции.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$ и $(2; +\infty)$. Знаменатель $(x-1)^2 > 0$ и $e^x > 0$, поэтому знак $f'(x)$ зависит от знака $(x-2)$.
При $x \in (-\infty; 1)$, $x-2 < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
При $x \in (1; 2)$, $x-2 < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
При $x \in (2; +\infty)$, $x-2 > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x = 2$ производная меняет знак с "-" на "+", это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[2; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; 1)$ и $(1; 2]$. Точка минимума: $x_{min} = 2$.

9) $f(x) = 1 - x\ln x$

1. Область определения функции: под знаком логарифма должно быть положительное число, $x>0$. $D(f) = (0; +\infty)$.

2. Найдём производную: $f'(x) = (1)' - (x\ln x)' = 0 - ((x)'\ln x + x(\ln x)') = - (1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}) = -(\ln x + 1)$.

3. Найдём критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow -(\ln x + 1) = 0 \Rightarrow \ln x = -1 \Rightarrow x = e^{-1} = 1/e$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(0; 1/e)$ и $(1/e; +\infty)$.
При $x \in (0; 1/e)$, $\ln x < -1$, $\ln x + 1 < 0$, значит $f'(x) = -(\ln x + 1) > 0$ и функция возрастает.
При $x \in (1/e; +\infty)$, $\ln x > -1$, $\ln x + 1 > 0$, значит $f'(x) = -(\ln x + 1) < 0$ и функция убывает.

5. В точке $x = 1/e$ производная меняет знак с "+" на "-", это точка максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(0; 1/e]$, убывает на промежутке $[1/e; +\infty)$. Точка максимума: $x_{max} = 1/e$.

10) $f(x) = x^4\ln x$

1. Область определения функции: $x>0$. $D(f) = (0; +\infty)$.

2. Найдём производную: $f'(x) = (x^4)'\ln x + x^4(\ln x)' = 4x^3\ln x + x^4 \cdot \frac{1}{x} = 4x^3\ln x + x^3 = x^3(4\ln x + 1)$.

3. Найдём критические точки: $x^3(4\ln x + 1)=0$. Так как $x>0$, $x^3 \neq 0$. Значит, $4\ln x + 1 = 0 \Rightarrow \ln x = -1/4 \Rightarrow x = e^{-1/4}$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(0; e^{-1/4})$ и $(e^{-1/4}; +\infty)$. Так как $x^3 > 0$ в области определения, знак $f'(x)$ зависит от знака $(4\ln x + 1)$.
При $x \in (0; e^{-1/4})$, $\ln x < -1/4$, $4\ln x + 1 < 0$, значит $f'(x) < 0$ и функция убывает.
При $x \in (e^{-1/4}; +\infty)$, $\ln x > -1/4$, $4\ln x + 1 > 0$, значит $f'(x) > 0$ и функция возрастает.

5. В точке $x = e^{-1/4}$ производная меняет знак с "-" на "+", это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[e^{-1/4}; +\infty)$, убывает на промежутке $(0; e^{-1/4}]$. Точка минимума: $x_{min} = e^{-1/4}$.

11) $f(x) = x^3\log_3 x$

1. Область определения функции: $x>0$. $D(f) = (0; +\infty)$. Используем формулу перехода к натуральному логарифму: $f(x) = x^3 \frac{\ln x}{\ln 3}$.

2. Найдём производную: $f'(x) = \frac{1}{\ln 3}(x^3\ln x)' = \frac{1}{\ln 3}((x^3)'\ln x + x^3(\ln x)') = \frac{1}{\ln 3}(3x^2\ln x + x^3 \frac{1}{x}) = \frac{x^2(3\ln x + 1)}{\ln 3}$.

3. Найдём критические точки: $f'(x)=0$. Так как $x>0$ и $\ln 3 > 0$, то $3\ln x + 1 = 0 \Rightarrow \ln x = -1/3 \Rightarrow x = e^{-1/3}$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(0; e^{-1/3})$ и $(e^{-1/3}; +\infty)$. Так как $\frac{x^2}{\ln 3} > 0$, знак $f'(x)$ зависит от знака $(3\ln x + 1)$.
При $x \in (0; e^{-1/3})$, $\ln x < -1/3$, $3\ln x + 1 < 0$, значит $f'(x) < 0$ и функция убывает.
При $x \in (e^{-1/3}; +\infty)$, $\ln x > -1/3$, $3\ln x + 1 > 0$, значит $f'(x) > 0$ и функция возрастает.

5. В точке $x = e^{-1/3}$ производная меняет знак с "-" на "+", это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[e^{-1/3}; +\infty)$, убывает на промежутке $(0; e^{-1/3}]$. Точка минимума: $x_{min} = e^{-1/3}$.

12) $f(x) = \frac{x}{\ln^2 x}$

1. Область определения функции: $x>0$ и $\ln^2 x \neq 0 \Rightarrow \ln x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$. $D(f) = (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Найдём производную: $f'(x) = \frac{(x)'\ln^2 x - x(\ln^2 x)'}{(\ln^2 x)^2} = \frac{1 \cdot \ln^2 x - x \cdot 2\ln x \cdot \frac{1}{x}}{\ln^4 x} = \frac{\ln^2 x - 2\ln x}{\ln^4 x} = \frac{\ln x(\ln x - 2)}{\ln^4 x} = \frac{\ln x - 2}{\ln^3 x}$.

3. Найдём критические точки: $f'(x)=0 \Rightarrow \ln x - 2 = 0 \Rightarrow \ln x = 2 \Rightarrow x = e^2$. Производная не определена в точке $x=1$, которая не входит в область определения.

4. Определим знаки производной на интервалах $(0; 1)$, $(1; e^2)$ и $(e^2; +\infty)$.
При $x \in (0; 1)$: $\ln x < 0$. Тогда $\ln x - 2 < 0$ и $\ln^3 x < 0$. $f'(x) = \frac{(-)}{(-)} > 0$, функция возрастает.
При $x \in (1; e^2)$: $\ln x > 0$. Тогда $\ln x - 2 < 0$ и $\ln^3 x > 0$. $f'(x) = \frac{(-)}{(+)} < 0$, функция убывает.
При $x \in (e^2; +\infty)$: $\ln x > 2$. Тогда $\ln x - 2 > 0$ и $\ln^3 x > 0$. $f'(x) = \frac{(+)}{(+)} > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x = e^2$ производная меняет знак с "-" на "+", это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(0; 1)$ и $[e^2; +\infty)$, убывает на промежутке $(1; e^2]$. Точка минимума: $x_{min} = e^2$.

66. Найдите наименьшее значение функции:

1) $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{8x-x^2-19};$

2) $f(x) = \log_2(x^2 + 4x + 8) + 6.$

1) $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{8x-x^2-19}$

Данная функция является показательной функцией вида $y=a^u$, где основание $a = \frac{1}{3}$ и показатель $u(x) = 8x-x^2-19$.

Поскольку основание степени $a = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. Это означает, что наименьшее значение функции $f(x)$ будет достигаться при наибольшем значении показателя $u(x)$.

Найдем наибольшее значение функции $u(x) = -x^2+8x-19$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицателен). Свое наибольшее значение она принимает в вершине.

Координата $x$ вершины параболы $ax^2+bx+c$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Для $u(x) = -x^2+8x-19$ имеем $a=-1$, $b=8$.

$x_0 = -\frac{8}{2(-1)} = 4$.

Найдем наибольшее значение показателя, подставив $x=4$ в $u(x)$:

$u_{max} = u(4) = -(4)^2 + 8(4) - 19 = -16 + 32 - 19 = 16 - 19 = -3$.

Теперь, когда мы нашли наибольшее значение показателя, мы можем найти наименьшее значение исходной функции $f(x)$:

$f_{min} = \left(\frac{1}{3}\right)^{u_{max}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = (3^{-1})^{-3} = 3^{(-1) \cdot (-3)} = 3^3 = 27$.

Ответ: 27.

2) $f(x) = \log_2(x^2 + 4x + 8) + 6$

Данная функция является логарифмической функцией вида $y=\log_b(u)+c$, где основание $b=2$ и аргумент $u(x) = x^2+4x+8$.

Поскольку основание логарифма $b=2$ больше 1, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что наименьшее значение функции $f(x)$ будет достигаться при наименьшем значении ее аргумента $u(x)$.

Найдем наименьшее значение функции $u(x) = x^2+4x+8$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Свое наименьшее значение она принимает в вершине.

Координата $x$ вершины параболы находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Для $u(x) = x^2+4x+8$ имеем $a=1$, $b=4$.

$x_0 = -\frac{4}{2(1)} = -2$.

Найдем наименьшее значение аргумента, подставив $x=-2$ в $u(x)$:

$u_{min} = u(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 8 = 4 - 8 + 8 = 4$.

Поскольку $u_{min}=4>0$, область определения логарифма соблюдается.

Теперь, когда мы нашли наименьшее значение аргумента, мы можем найти наименьшее значение исходной функции $f(x)$:

$f_{min} = \log_2(u_{min}) + 6 = \log_2(4) + 6$.

Так как $2^2=4$, то $\log_2(4)=2$.

$f_{min} = 2 + 6 = 8$.

Ответ: 8.

67. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке:

1) $f(x) = 8x^2 + 2x - 1$, $[-2; 0];$

2) $f(x) = 3^{-x} + 3^x$, $[-1; 2];$

3) $f(x) = e^{3x+2}(4x^2 - 5x)$, $[0; 2].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке воспользуемся следующим алгоритмом:
1. Находим производную функции.
2. Находим критические точки (точки, в которых производная равна нулю или не существует) и отбираем те, что принадлежат заданному промежутку.
3. Вычисляем значения функции в отобранных критических точках и на концах промежутка.
4. Сравниваем полученные значения и выбираем из них наибольшее и наименьшее.

1) $f(x) = 8x^2 + 2x - 1$, на промежутке $[-2; 0]$.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (8x^2 + 2x - 1)' = 16x + 2$.

2. Найдем критические точки. Для этого приравняем производную к нулю:

$16x + 2 = 0$

$16x = -2$

$x = -2/16 = -1/8$.

Точка $x = -1/8$ принадлежит промежутку $[-2; 0]$.

3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах промежутка:

$f(-2) = 8(-2)^2 + 2(-2) - 1 = 8 \cdot 4 - 4 - 1 = 32 - 5 = 27$.

$f(0) = 8(0)^2 + 2(0) - 1 = -1$.

$f(-1/8) = 8(-1/8)^2 + 2(-1/8) - 1 = 8(1/64) - 2/8 - 1 = 1/8 - 1/4 - 1 = 1/8 - 2/8 - 8/8 = -9/8$.

4. Сравним полученные значения: $27$, $-1$ и $-9/8$.

Наибольшее значение функции равно $27$, а наименьшее равно $-9/8$.

Ответ: наибольшее значение $27$, наименьшее значение $-9/8$.

2) $f(x) = 3^{-x} + 3^x$, на промежутке $[-1; 2]$.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (3^{-x} + 3^x)' = (3^{-x})' + (3^x)' = -3^{-x} \ln 3 + 3^x \ln 3 = \ln 3 (3^x - 3^{-x})$.

2. Найдем критические точки:

$\ln 3 (3^x - 3^{-x}) = 0$.

Поскольку $\ln 3 \ne 0$, то $3^x - 3^{-x} = 0$.

$3^x = 3^{-x}$

$x = -x$

$2x = 0$

$x = 0$.

Точка $x = 0$ принадлежит промежутку $[-1; 2]$.

3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах промежутка:

$f(-1) = 3^{-(-1)} + 3^{-1} = 3^1 + 1/3 = 3 + 1/3 = 10/3$.

$f(2) = 3^{-2} + 3^2 = 1/9 + 9 = 82/9$.

$f(0) = 3^{-0} + 3^0 = 1 + 1 = 2$.

4. Сравним полученные значения: $10/3$, $82/9$ и $2$.

Приведем дроби к общему знаменателю: $10/3 = 30/9$; $2 = 18/9$.

Сравниваем: $30/9$, $82/9$ и $18/9$.

Наибольшее значение функции равно $82/9$, а наименьшее равно $2$.

Ответ: наибольшее значение $82/9$, наименьшее значение $2$.

3) $f(x) = e^{3x+2}(4x^2 - 5x)$, на промежутке $[0; 2]$.

1. Найдем производную функции, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (e^{3x+2})'(4x^2 - 5x) + e^{3x+2}(4x^2 - 5x)'$

$f'(x) = 3e^{3x+2}(4x^2 - 5x) + e^{3x+2}(8x - 5)$

$f'(x) = e^{3x+2}(3(4x^2 - 5x) + (8x - 5))$

$f'(x) = e^{3x+2}(12x^2 - 15x + 8x - 5)$

$f'(x) = e^{3x+2}(12x^2 - 7x - 5)$.

2. Найдем критические точки:

$e^{3x+2}(12x^2 - 7x - 5) = 0$.

Поскольку $e^{3x+2} > 0$ для любого $x$, то $12x^2 - 7x - 5 = 0$.

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-5) = 49 + 240 = 289 = 17^2$.

$x_1 = \frac{7 - 17}{2 \cdot 12} = \frac{-10}{24} = -5/12$.

$x_2 = \frac{7 + 17}{2 \cdot 12} = \frac{24}{24} = 1$.

Промежутку $[0; 2]$ принадлежит только точка $x = 1$.

3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах промежутка:

$f(0) = e^{3(0)+2}(4(0)^2 - 5(0)) = e^2 \cdot 0 = 0$.

$f(2) = e^{3(2)+2}(4(2)^2 - 5(2)) = e^8(4 \cdot 4 - 10) = e^8(16 - 10) = 6e^8$.

$f(1) = e^{3(1)+2}(4(1)^2 - 5(1)) = e^5(4 - 5) = e^5(-1) = -e^5$.

4. Сравним полученные значения: $0$, $6e^8$ и $-e^5$.

Так как $e \approx 2.718$, то $e^5 > 0$ и $e^8 > 0$. Следовательно, $-e^5 < 0 < 6e^8$.

Наибольшее значение функции равно $6e^8$, а наименьшее равно $-e^5$.

Ответ: наибольшее значение $6e^8$, наименьшее значение $-e^5$.

68. Исследуйте функцию и постройте её график:

1) $f(x) = xe^{-x^2}$;

2) $f(x) = x - \ln x$;

3) $f(x) = \frac{\ln x}{x}$;

4) $f(x) = \ln(4 - x^2)$.

1. Область определения. Функция определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $f(-x) = (-x)e^{-(-x)^2} = -xe^{-x^2} = -f(x)$. Функция является нечетной. График симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.
При $x=0$, $f(0) = 0 \cdot e^0 = 0$. Пересечение с осью Oy в точке $(0,0)$.
При $f(x)=0$, $xe^{-x^2} = 0$. Так как $e^{-x^2} > 0$, то $x=0$. Пересечение с осью Ox в точке $(0,0)$.

4. Асимптоты.
Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой оси.
Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} xe^{-x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{e^{x^2}}$. Применяя правило Лопиталя, получаем $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{2xe^{x^2}} = 0$. Следовательно, $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой при $x \to \pm\infty$.
Наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Найдем первую производную: $f'(x) = (x)'e^{-x^2} + x(e^{-x^2})' = e^{-x^2} - 2x^2e^{-x^2} = e^{-x^2}(1 - 2x^2)$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0 \implies 1 - 2x^2 = 0 \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
При $x \in (-\infty, -1/\sqrt{2})$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
При $x \in (-1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
При $x \in (1/\sqrt{2}, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
В точке $x = -1/\sqrt{2}$ находится точка минимума: $f(-1/\sqrt{2}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-1/2} = -\frac{1}{\sqrt{2e}}$.
В точке $x = 1/\sqrt{2}$ находится точка максимума: $f(1/\sqrt{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2e}}$.

6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.
Найдем вторую производную: $f''(x) = (e^{-x^2}(1 - 2x^2))' = -2xe^{-x^2}(1 - 2x^2) + e^{-x^2}(-4x) = 2xe^{-x^2}(2x^2 - 3)$.
Приравняем вторую производную к нулю: $f''(x) = 0 \implies x=0$ или $2x^2 - 3 = 0 \implies x = \pm \sqrt{3/2}$.
При $x \in (-\infty, -\sqrt{3/2})$, $f''(x) < 0$, график выпуклый.
При $x \in (-\sqrt{3/2}, 0)$, $f''(x) > 0$, график вогнутый.
При $x \in (0, \sqrt{3/2})$, $f''(x) < 0$, график выпуклый.
При $x \in (\sqrt{3/2}, +\infty)$, $f''(x) > 0$, график вогнутый.
Точки перегиба: $x=0$, $x=\pm\sqrt{3/2}$. Значения функции в этих точках: $f(0)=0$, $f(\pm\sqrt{3/2}) = \pm\sqrt{3/2}e^{-3/2}$.

7. Построение графика.
На основе проведенного анализа строим график. Он симметричен относительно начала координат, имеет максимум и минимум, три точки перегиба и асимптотически приближается к оси Ox на бесконечности.

Ответ: График функции представляет собой кривую, симметричную относительно начала координат. Она выходит из нуля при $x \to -\infty$, достигает минимума в точке $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2e}})$, проходит через начало координат (которое является точкой перегиба), достигает максимума в точке $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2e}})$ и асимптотически приближается к оси Ох при $x \to +\infty$. Точки перегиба также находятся при $x = \pm \sqrt{3/2}$.

1. Область определения. Аргумент логарифма должен быть положительным: $x > 0$. $D(f) = (0, +\infty)$.

2. Четность/нечетность. Область определения несимметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с осями координат.
Пересечения с осью Oy нет, так как $x \ne 0$.
Пересечение с осью Ox: $x - \ln x = 0 \implies x = \ln x$. Это уравнение не имеет решений, так как минимальное значение функции $x-\ln x$ равно 1 (см. п. 5). График не пересекает ось Ox.

4. Асимптоты.
Вертикальная асимптота: $\lim_{x \to 0^+} (x - \ln x) = 0 - (-\infty) = +\infty$. Прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой.
Горизонтальные асимптоты: $\lim_{x \to +\infty} (x - \ln x) = \lim_{x \to +\infty} x(1 - \frac{\ln x}{x}) = +\infty$. Горизонтальных асимптот нет.
Наклонные асимптоты: $k = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} (1 - \frac{\ln x}{x}) = 1$. $b = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to +\infty} (x - \ln x - x) = \lim_{x \to +\infty} (-\ln x) = -\infty$. Наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Найдем первую производную: $f'(x) = 1 - \frac{1}{x}$.
Критическая точка: $f'(x) = 0 \implies 1 - \frac{1}{x} = 0 \implies x = 1$.
При $x \in (0, 1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
При $x \in (1, +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
В точке $x=1$ находится точка минимума: $f(1) = 1 - \ln 1 = 1$.

6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.
Найдем вторую производную: $f''(x) = (1 - 1/x)' = \frac{1}{x^2}$.
Так как $x^2 > 0$ на всей области определения, то $f''(x) > 0$. График функции всегда вогнутый (выпуклый вниз). Точек перегиба нет.

7. Построение графика.
График начинается от вертикальной асимптоты $x=0$ (стремясь к $+\infty$), убывает до точки минимума $(1,1)$, а затем возрастает до $+\infty$. График всегда вогнутый.

Ответ: График функции расположен в первом квадранте. Ось Оу ($x=0$) является вертикальной асимптотой, к которой график стремится при $x \to 0^+$. Функция убывает до точки глобального минимума $(1, 1)$, а затем возрастает. Функция везде вогнута (выпукла вниз).

1. Область определения. $x > 0$. $D(f) = (0, +\infty)$.

2. Четность/нечетность. Область определения несимметрична, функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с осями координат.
Пересечения с осью Oy нет ($x \ne 0$).
Пересечение с осью Ox: $\frac{\ln x}{x} = 0 \implies \ln x = 0 \implies x = 1$. Точка пересечения $(1,0)$.

4. Асимптоты.
Вертикальная асимптота: $\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x} = \frac{-\infty}{0^+} = -\infty$. Прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой.
Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ (по правилу Лопиталя). Прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой.
Наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Найдем первую производную: $f'(x) = \frac{(\frac{1}{x})x - \ln x}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$.
Критическая точка: $f'(x) = 0 \implies 1 - \ln x = 0 \implies \ln x = 1 \implies x = e$.
При $x \in (0, e)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
При $x \in (e, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
В точке $x=e$ находится точка максимума: $f(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e}$.

6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.
Найдем вторую производную: $f''(x) = \frac{-\frac{1}{x} \cdot x^2 - (1 - \ln x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x\ln x}{x^4} = \frac{2\ln x - 3}{x^3}$.
Приравняем вторую производную к нулю: $f''(x) = 0 \implies 2\ln x - 3 = 0 \implies x = e^{3/2}$.
При $x \in (0, e^{3/2})$, $f''(x) < 0$, график выпуклый.
При $x \in (e^{3/2}, +\infty)$, $f''(x) > 0$, график вогнутый.
В точке $x = e^{3/2}$ находится точка перегиба. $f(e^{3/2}) = \frac{3/2}{e^{3/2}} = \frac{3}{2e^{3/2}}$.

7. Построение графика.
График начинается от вертикальной асимптоты $x=0$ (стремясь к $-\infty$), возрастает, пересекая ось Ox в точке $(1,0)$, достигает максимума в $(e, 1/e)$, меняет выпуклость в точке перегиба $(e^{3/2}, \frac{3}{2e^{3/2}})$ и асимптотически приближается к оси Ox.

Ответ: График функции расположен в правой полуплоскости. Ось Оу ($x=0$) является вертикальной асимптотой ($y \to -\infty$). Ось Ох ($y=0$) является горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$. График пересекает ось Ох в точке $(1,0)$. Функция возрастает до точки глобального максимума $(e, 1/e)$, а затем убывает. Точка перегиба находится в $(e^{3/2}, \frac{3}{2e^{3/2}})$, где функция меняет выпуклость с выпуклой на вогнутую.

1. Область определения. $4 - x^2 > 0 \implies x^2 < 4 \implies -2 < x < 2$. $D(f) = (-2, 2)$.

2. Четность/нечетность. $f(-x) = \ln(4 - (-x)^2) = \ln(4 - x^2) = f(x)$. Функция является четной. График симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.
При $x=0$, $f(0) = \ln(4) = 2\ln 2$. Пересечение с осью Oy в точке $(0, \ln 4)$.
При $f(x)=0$, $\ln(4 - x^2) = 0 \implies 4 - x^2 = 1 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm \sqrt{3}$. Пересечения с осью Ox в точках $(\sqrt{3}, 0)$ и $(-\sqrt{3}, 0)$.

4. Асимптоты.
Вертикальные асимптоты: $\lim_{x \to 2^-} \ln(4 - x^2) = -\infty$ и $\lim_{x \to -2^+} \ln(4 - x^2) = -\infty$. Прямые $x=2$ и $x=-2$ являются вертикальными асимптотами.
Горизонтальных и наклонных асимптот нет, так как область определения ограничена.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Найдем первую производную: $f'(x) = \frac{1}{4 - x^2} \cdot (-2x) = \frac{-2x}{4 - x^2}$.
Критическая точка: $f'(x) = 0 \implies -2x = 0 \implies x = 0$.
При $x \in (-2, 0)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
При $x \in (0, 2)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
В точке $x=0$ находится точка максимума: $f(0) = \ln 4$.

6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.
Найдем вторую производную: $f''(x) = \frac{-2(4 - x^2) - (-2x)(-2x)}{(4 - x^2)^2} = \frac{-8 + 2x^2 - 4x^2}{(4 - x^2)^2} = \frac{-8 - 2x^2}{(4 - x^2)^2} = -\frac{2(4+x^2)}{(4-x^2)^2}$.
Так как $4+x^2 > 0$ и $(4-x^2)^2 > 0$ на области определения, то $f''(x) < 0$. График функции всегда выпуклый (выпуклый вверх). Точек перегиба нет.

7. Построение графика.
График представляет собой симметричную "шапку" между асимптотами $x=-2$ и $x=2$. Он начинается от $-\infty$ у левой асимптоты, возрастает до максимума в $(0, \ln 4)$, а затем убывает до $-\infty$ у правой асимптоты.

Ответ: График функции существует только на интервале $(-2, 2)$ и симметричен относительно оси Оу. Прямые $x=-2$ и $x=2$ являются вертикальными асимптотами. Функция возрастает на $(-2, 0)$ и убывает на $(0, 2)$, достигая глобального максимума в точке $(0, \ln 4)$. График пересекает ось Ох в точках $(\pm\sqrt{3}, 0)$. Функция везде выпукла (выпукла вверх).