Номер 67, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

67. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке:

1) $f(x) = 8x^2 + 2x - 1$, $[-2; 0];$

2) $f(x) = 3^{-x} + 3^x$, $[-1; 2];$

3) $f(x) = e^{3x+2}(4x^2 - 5x)$, $[0; 2].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке воспользуемся следующим алгоритмом:
1. Находим производную функции.
2. Находим критические точки (точки, в которых производная равна нулю или не существует) и отбираем те, что принадлежат заданному промежутку.
3. Вычисляем значения функции в отобранных критических точках и на концах промежутка.
4. Сравниваем полученные значения и выбираем из них наибольшее и наименьшее.

1) $f(x) = 8x^2 + 2x - 1$, на промежутке $[-2; 0]$.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (8x^2 + 2x - 1)' = 16x + 2$.

2. Найдем критические точки. Для этого приравняем производную к нулю:

$16x + 2 = 0$

$16x = -2$

$x = -2/16 = -1/8$.

Точка $x = -1/8$ принадлежит промежутку $[-2; 0]$.

3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах промежутка:

$f(-2) = 8(-2)^2 + 2(-2) - 1 = 8 \cdot 4 - 4 - 1 = 32 - 5 = 27$.

$f(0) = 8(0)^2 + 2(0) - 1 = -1$.

$f(-1/8) = 8(-1/8)^2 + 2(-1/8) - 1 = 8(1/64) - 2/8 - 1 = 1/8 - 1/4 - 1 = 1/8 - 2/8 - 8/8 = -9/8$.

4. Сравним полученные значения: $27$, $-1$ и $-9/8$.

Наибольшее значение функции равно $27$, а наименьшее равно $-9/8$.

Ответ: наибольшее значение $27$, наименьшее значение $-9/8$.

2) $f(x) = 3^{-x} + 3^x$, на промежутке $[-1; 2]$.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (3^{-x} + 3^x)' = (3^{-x})' + (3^x)' = -3^{-x} \ln 3 + 3^x \ln 3 = \ln 3 (3^x - 3^{-x})$.

2. Найдем критические точки:

$\ln 3 (3^x - 3^{-x}) = 0$.

Поскольку $\ln 3 \ne 0$, то $3^x - 3^{-x} = 0$.

$3^x = 3^{-x}$

$x = -x$

$2x = 0$

$x = 0$.

Точка $x = 0$ принадлежит промежутку $[-1; 2]$.

3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах промежутка:

$f(-1) = 3^{-(-1)} + 3^{-1} = 3^1 + 1/3 = 3 + 1/3 = 10/3$.

$f(2) = 3^{-2} + 3^2 = 1/9 + 9 = 82/9$.

$f(0) = 3^{-0} + 3^0 = 1 + 1 = 2$.

4. Сравним полученные значения: $10/3$, $82/9$ и $2$.

Приведем дроби к общему знаменателю: $10/3 = 30/9$; $2 = 18/9$.

Сравниваем: $30/9$, $82/9$ и $18/9$.

Наибольшее значение функции равно $82/9$, а наименьшее равно $2$.

Ответ: наибольшее значение $82/9$, наименьшее значение $2$.

3) $f(x) = e^{3x+2}(4x^2 - 5x)$, на промежутке $[0; 2]$.

1. Найдем производную функции, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (e^{3x+2})'(4x^2 - 5x) + e^{3x+2}(4x^2 - 5x)'$

$f'(x) = 3e^{3x+2}(4x^2 - 5x) + e^{3x+2}(8x - 5)$

$f'(x) = e^{3x+2}(3(4x^2 - 5x) + (8x - 5))$

$f'(x) = e^{3x+2}(12x^2 - 15x + 8x - 5)$

$f'(x) = e^{3x+2}(12x^2 - 7x - 5)$.

2. Найдем критические точки:

$e^{3x+2}(12x^2 - 7x - 5) = 0$.

Поскольку $e^{3x+2} > 0$ для любого $x$, то $12x^2 - 7x - 5 = 0$.

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-5) = 49 + 240 = 289 = 17^2$.

$x_1 = \frac{7 - 17}{2 \cdot 12} = \frac{-10}{24} = -5/12$.

$x_2 = \frac{7 + 17}{2 \cdot 12} = \frac{24}{24} = 1$.

Промежутку $[0; 2]$ принадлежит только точка $x = 1$.

3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах промежутка:

$f(0) = e^{3(0)+2}(4(0)^2 - 5(0)) = e^2 \cdot 0 = 0$.

$f(2) = e^{3(2)+2}(4(2)^2 - 5(2)) = e^8(4 \cdot 4 - 10) = e^8(16 - 10) = 6e^8$.

$f(1) = e^{3(1)+2}(4(1)^2 - 5(1)) = e^5(4 - 5) = e^5(-1) = -e^5$.

4. Сравним полученные значения: $0$, $6e^8$ и $-e^5$.

Так как $e \approx 2.718$, то $e^5 > 0$ и $e^8 > 0$. Следовательно, $-e^5 < 0 < 6e^8$.

Наибольшее значение функции равно $6e^8$, а наименьшее равно $-e^5$.

Ответ: наибольшее значение $6e^8$, наименьшее значение $-e^5$.