Номер 63, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

63. Найдите уравнение касательной к графику функции:

1) $f(x) = \frac{1}{2}e^{2x}$, которая параллельна прямой $y = e^{2x} - 10$;

2) $f(x) = e^{3x-2}$, которая параллельна прямой $y = 3x + 17$.

1)

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

По условию, касательная должна быть параллельна прямой $y = e^2x - 10$. Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент данной прямой равен $k = e^2$.

Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, т.е. $f'(x_0)$. Таким образом, мы должны найти $x_0$, для которого выполняется условие $f'(x_0) = e^2$.

Сначала найдем производную функции $f(x) = \frac{1}{2}e^{2x}$:

$f'(x) = (\frac{1}{2}e^{2x})' = \frac{1}{2} \cdot e^{2x} \cdot (2x)' = \frac{1}{2} \cdot e^{2x} \cdot 2 = e^{2x}$.

Теперь приравняем производную к заданному угловому коэффициенту, чтобы найти $x_0$:

$f'(x_0) = e^{2x_0} = e^2$.

Из этого уравнения следует, что $2x_0 = 2$, откуда $x_0 = 1$.

Теперь, когда мы знаем абсциссу точки касания, найдем ее ординату $y_0 = f(x_0)$:

$y_0 = f(1) = \frac{1}{2}e^{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}e^2$.

Итак, у нас есть точка касания $(1; \frac{1}{2}e^2)$ и угловой коэффициент $k = e^2$. Подставим эти значения в уравнение касательной:

$y = \frac{1}{2}e^2 + e^2(x - 1)$

$y = \frac{1}{2}e^2 + e^2x - e^2$

$y = e^2x - \frac{1}{2}e^2$.

Ответ: $y = e^2x - \frac{1}{2}e^2$.

2)

Дана функция $f(x) = e^{3x-2}$. Касательная к ее графику должна быть параллельна прямой $y = 3x + 17$.

Угловой коэффициент прямой $y = 3x + 17$ равен $k = 3$. Следовательно, угловой коэффициент искомой касательной также должен быть равен 3.

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания $x_0$. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (e^{3x-2})' = e^{3x-2} \cdot (3x-2)' = 3e^{3x-2}$.

Приравняем производную к 3, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:

$f'(x_0) = 3e^{3x_0-2} = 3$

$e^{3x_0-2} = 1$.

Поскольку $e^0 = 1$, показатель степени должен быть равен нулю:

$3x_0 - 2 = 0$

$3x_0 = 2$

$x_0 = \frac{2}{3}$.

Найдем ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$:

$y_0 = f(\frac{2}{3}) = e^{3 \cdot \frac{2}{3} - 2} = e^{2-2} = e^0 = 1$.

Теперь у нас есть точка касания $(\frac{2}{3}; 1)$ и угловой коэффициент $k = 3$. Подставим эти данные в уравнение касательной $y = y_0 + k(x - x_0)$:

$y = 1 + 3(x - \frac{2}{3})$

$y = 1 + 3x - 3 \cdot \frac{2}{3}$

$y = 1 + 3x - 2$

$y = 3x - 1$.

Ответ: $y = 3x - 1$.