Номер 64, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

64. Найдите уравнение горизонтальной касательной к графику функции $f(x) = (3x + 6)(3x - 60)$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Горизонтальная касательная — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox), ее угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания. Следовательно, чтобы найти точку, в которой касательная горизонтальна, нужно найти значение $x$, при котором производная функции обращается в ноль: $f'(x) = 0$.

1. Найдем производную функции $f(x)$.

Данная функция: $f(x) = (3^x + 6)(3^x - 60)$.

Для упрощения вычислений раскроем скобки, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-c) = a^2 + (b-c)a - bc$ или просто перемножив. Пусть $t = 3^x$.

$f(x) = (t + 6)(t - 60) = t^2 - 60t + 6t - 360 = t^2 - 54t - 360$.

Подставим $3^x$ обратно вместо $t$:

$f(x) = (3^x)^2 - 54 \cdot 3^x - 360 = 3^{2x} - 54 \cdot 3^x - 360$.

Теперь найдем производную этой функции. Вспомним, что производная показательной функции $(a^u)' = a^u \ln(a) \cdot u'$.

$f'(x) = (3^{2x})' - (54 \cdot 3^x)' - (360)'$

$f'(x) = 3^{2x} \cdot \ln(3) \cdot (2x)' - 54 \cdot 3^x \cdot \ln(3) - 0$

$f'(x) = 2 \cdot 3^{2x} \ln(3) - 54 \cdot 3^x \ln(3)$

2. Найдем абсциссу точки касания.

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$2 \cdot 3^{2x} \ln(3) - 54 \cdot 3^x \ln(3) = 0$

Вынесем общий множитель $2 \cdot 3^x \ln(3)$ за скобки:

$2 \cdot 3^x \ln(3) (3^x - 27) = 0$

Так как $2 \neq 0$, $3^x > 0$ для любого $x$, и $\ln(3) \neq 0$, то равенство выполняется только тогда, когда выражение в скобках равно нулю:

$3^x - 27 = 0$

$3^x = 27$

$3^x = 3^3$

$x = 3$

Таким образом, касательная к графику функции горизонтальна в точке с абсциссой $x_0 = 3$.

3. Найдем ординату точки касания.

Уравнение горизонтальной касательной имеет вид $y = c$, где $c$ — это значение функции в точке касания. Найдем $f(3)$:

$f(3) = (3^3 + 6)(3^3 - 60)$

$f(3) = (27 + 6)(27 - 60)$

$f(3) = (33)(-33)$

$f(3) = -1089$

Следовательно, точка касания имеет координаты $(3, -1089)$.

4. Запишем уравнение касательной.

Так как касательная является горизонтальной прямой, проходящей через точку с ординатой $-1089$, ее уравнение будет $y = -1089$.

Ответ: $y = -1089$