Номер 69, страница 16 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

69. При каких значениях $a$ функция $f(x) = 4e^{-x} - ax + 6$ не имеет критических точек?

Критическими точками функции называются внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Данная функция $f(x) = 4e^{-x} - ax + 6$ определена и дифференцируема на всей числовой оси, так как она является комбинацией элементарных функций (экспоненциальной, линейной и константы), которые дифференцируемы на всей области определения. Следовательно, критические точки могут существовать только там, где производная равна нулю.

Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (4e^{-x} - ax + 6)' = (4e^{-x})' - (ax)' + (6)'$
$f'(x) = 4e^{-x} \cdot (-1) - a \cdot 1 + 0 = -4e^{-x} - a$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти значения $x$, которые являются кандидатами в критические точки:
$f'(x) = 0$
$-4e^{-x} - a = 0$

Выразим из этого уравнения $e^{-x}$:
$-4e^{-x} = a$
$e^{-x} = -\frac{a}{4}$

Функция не будет иметь критических точек, если это уравнение не будет иметь решений относительно $x$.
Мы знаем, что показательная функция $e^y$ всегда принимает только положительные значения, то есть $e^y > 0$ для любого действительного $y$. В нашем случае $y = -x$, поэтому $e^{-x} > 0$ для любого $x \in R$.

Следовательно, уравнение $e^{-x} = -\frac{a}{4}$ не будет иметь решений, если его правая часть будет меньше либо равна нулю:
$-\frac{a}{4} \le 0$

Решим это неравенство относительно $a$. Умножим обе части неравенства на -4. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$a \ge 0 \cdot (-4)$
$a \ge 0$

Таким образом, при $a \ge 0$ уравнение $f'(x)=0$ не имеет решений, а значит функция $f(x)$ не имеет критических точек.

Ответ: $a \in [0, +\infty)$