Номер 76, страница 17 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

76. Для функции $f$ на промежутке $I$ найдите первообразную $F$, удовлетворяющую данному условию:

1) $f(x) = 6x^2 + 4x - 3$, $I = (-\infty; +\infty)$, $F(-2) = -3$;

2) $f(x) = 15x^{14} - \frac{5}{4\sqrt{x}}$, $I = (0; +\infty)$, $F(1) = 0$;

3) $f(x) = 3 - \frac{1}{x^2}$, $I = (0; +\infty)$, $F(0,5) = 7$.

1) Для функции $f(x) = 6x^2 + 4x - 3$ на промежутке $I = (-\infty; +\infty)$ найдем первообразную $F$, удовлетворяющую условию $F(-2) = -3$.

Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x)$, вычислив неопределенный интеграл. Используем правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$F(x) = \int (6x^2 + 4x - 3)dx = 6 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + 4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - 3x + C = 6 \cdot \frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} - 3x + C = 2x^3 + 2x^2 - 3x + C$.

Общий вид первообразной: $F(x) = 2x^3 + 2x^2 - 3x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Теперь используем данное условие $F(-2) = -3$, чтобы найти значение $C$. Подставим $x = -2$ в выражение для $F(x)$:

$F(-2) = 2(-2)^3 + 2(-2)^2 - 3(-2) + C = 2(-8) + 2(4) + 6 + C = -16 + 8 + 6 + C = -2 + C$.

Так как $F(-2) = -3$, получаем уравнение:

$-2 + C = -3$

$C = -3 + 2 = -1$.

Подставив найденное значение $C = -1$ в общий вид первообразной, получаем искомую функцию:

$F(x) = 2x^3 + 2x^2 - 3x - 1$.

Ответ: $F(x) = 2x^3 + 2x^2 - 3x - 1$.

2) Для функции $f(x) = 15x^{14} - \frac{5}{4\sqrt{x}}$ на промежутке $I = (0; +\infty)$ найдем первообразную $F$, удовлетворяющую условию $F(1) = 0$.

Сначала представим функцию в виде, удобном для интегрирования: $f(x) = 15x^{14} - \frac{5}{4}x^{-1/2}$.

Найдем общий вид первообразной, используя правило интегрирования степенной функции:

$F(x) = \int (15x^{14} - \frac{5}{4}x^{-1/2})dx = 15 \cdot \frac{x^{14+1}}{14+1} - \frac{5}{4} \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = 15 \frac{x^{15}}{15} - \frac{5}{4} \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = x^{15} - \frac{5}{4} \cdot 2x^{1/2} + C = x^{15} - \frac{5}{2}\sqrt{x} + C$.

Общий вид первообразной: $F(x) = x^{15} - \frac{5}{2}\sqrt{x} + C$.

Используем условие $F(1) = 0$ для нахождения константы $C$. Подставим $x = 1$:

$F(1) = 1^{15} - \frac{5}{2}\sqrt{1} + C = 1 - \frac{5}{2} + C = -\frac{3}{2} + C$.

Так как $F(1) = 0$, получаем уравнение:

$-\frac{3}{2} + C = 0$

$C = \frac{3}{2}$.

Подставляем найденное значение $C$ в общий вид первообразной:

$F(x) = x^{15} - \frac{5}{2}\sqrt{x} + \frac{3}{2}$.

Ответ: $F(x) = x^{15} - \frac{5}{2}\sqrt{x} + \frac{3}{2}$.

3) Для функции $f(x) = 3 - \frac{1}{x^2}$ на промежутке $I = (0; +\infty)$ найдем первообразную $F$, удовлетворяющую условию $F(0,5) = 7$.

Представим функцию в виде $f(x) = 3 - x^{-2}$.

Найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int (3 - x^{-2})dx = 3x - \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = 3x - \frac{x^{-1}}{-1} + C = 3x + x^{-1} + C = 3x + \frac{1}{x} + C$.

Общий вид первообразной: $F(x) = 3x + \frac{1}{x} + C$.

Используем условие $F(0,5) = 7$. Подставим $x = 0,5$:

$F(0,5) = 3(0,5) + \frac{1}{0,5} + C = 1,5 + 2 + C = 3,5 + C$.

Так как $F(0,5) = 7$, получаем уравнение:

$3,5 + C = 7$

$C = 7 - 3,5 = 3,5$.

Подставляем найденное значение $C$ в общий вид первообразной:

$F(x) = 3x + \frac{1}{x} + 3,5$.

Ответ: $F(x) = 3x + \frac{1}{x} + 3,5$.